IX Congreso de Ingeniería de Organización Gijón, 8 y 9 de sepiembre de 2005 Enfoques de Programación Maemáica para la Previsión de la Demanda mediane descomposición de series emporales Josefa Mula Bru, Raúl Poler Escoo 2, David Peidro Payá 3, Angel Oriz Bas 4, 2, 3 CIGIP (Cenro de Invesigación Gesión e Ingeniería de Producción). Universidad Poliécnica de Valencia. Deparameno de Organización de Empresas, Economía Financiera y Conabilidad. Escuela Poliécnica Superior de Alcoy. Plaza Ferrándiz y Carbonell, 2, 0380 Alcoy (Alicane). fmula@cigip.upv.es, rpoler@cigip.upv.es, dapeipa@cigip.upv.es 4 CIGIP (Cenro de Invesigación Gesión e Ingeniería de Producción). Universidad Poliécnica de Valencia. Deparameno de Organización de Empresas, Economía Financiera y Conabilidad. Escuela écnica Superior de Ingenieros Indusriales. Campus Vera, s/n, 4602 Valencia. aoriz@cigip.upv.es Resumen Muchos méodos de previsión esán basados en el concepo de que cuando exise un parón subyacene en una serie de daos, ese parón puede disinguirse de la aleaoriedad mediane el suavizado (promediado) de los valores pasados. El efeco de ese suavizado es eliminar la aleaoriedad de forma que el parón pueda proyecarse en el fuuro y usarse como previsión. En muchos casos el parón puede descomponerse en sub-parones que idenifican separadamene cada componene de las series emporales. al descomposición proporciona un mejor enendimieno del comporamieno de las series, lo que mejora la exaciud de la previsión. El objeivo de ese arículo es deerminar la previsión ópima para el modelo de descomposición de series emporales usando enfoques de Programación Maemáica. Se han resuelo algunos ejemplos para ilusrar ese enfoque. Palabras clave: Programación Maemáica, Previsión de la Demanda, Descomposición de Series emporales.. Inroducción La Previsión de la Demanda fuura es fundamenal para la adecuada gesión de los Procesos de Negocio en las empresas indusriales, ano a nivel esraégico para las decisiones sobre capacidad a largo plazo, como a nivel ácico para la Planificación de Producción. En el nivel organizaivo, los pronósicos de demanda se manifiesan como enradas esenciales para muchas acividades de decisión en varias áreas funcionales, ales como markeing, venas, producción/compras, así como conabilidad y finanzas (Menzer y Biensock, 998). Una adecuada Previsión de la Demanda ambién redundará en una gesión de invenarios más eficiene (Buffa y Miller, 979; Hax y Candea, 984; Silver e al. 998). Las écnicas para la realización de previsiones de demanda pueden clasificarse en res caegorías (Makridakis e al.998): (a) Méodos Cualiaivos. Principalmene basados en la opinión de experos; b) Méodos Causales. Desarrollan modelos que relacionan la demanda con un conjuno de variables independienes; y c) Méodos Cuaniaivos. Los cuales se dividen en dos ipos principales: c.) Series emporales, que predicen la coninuación de parones de daos hisóricos y c.2) Explicaivos, que raan de explicar como deerminadas variables afecan a la previsión.
La elección de la écnica más apropiada depende de un amplio rango de consideraciones, ales como los horizones emporales, objeivos, las propiedades de los daos y muchos oros aspecos. Además, el modelo de previsión debe ser manejable y producir resulados, que sean, a la vez, fidedignos y fáciles de inerprear. En ese arículo se proponen diversos modelos de Programación Maemáica para la Previsión de la Demanda basada en la descomposición muliplicaiva y adiiva de series emporales. En dichos modelos se puede opar por la minimización del error cuadráico medio o del error absoluo medio del ajuse. El arículo se ha esrucurado de la siguiene forma. En la sección 2 se inroducen los modelos de descomposición de series emporales para la Previsión de la Demanda. A coninuación, en la sección 3 se desarrollan los modelos de Programación Maemáica para la Previsión de la Demanda. Seguidamene, en la sección se comparan los resulados alcanzados con el méodo de descomposición clásica de la serie emporal en movimienos caracerísicos. Finalmene, la sección 5 presena las conclusiones de ese arículo. 2. Modelos de descomposición de series emporales Una serie emporal es un conjuno de observaciones omadas en insanes específicos, generalmene a inervalos iguales. Maemáicamene, una serie emporal se define como una función de la variable de iempo: Y. Los méodos de descomposición esablecen que la serie emporal se compone de cuaro movimienos caracerísicos: endencia, esacionalidad, ciclicidad e irregularidad. De esos cuaro movimienos únicamene pueden deerminarse los res primeros, aunque en la mayoría de los casos puede obenerse una adecuada previsión mediane la combinación de endencia y esacionalidad, obviando la ciclicidad que, por oro lado, es un movimieno de cálculo complicado (Makridakis e al.998). Por lo ano, los méodos de descomposición preenden idenificar por separado dos componenes del parón subyacene básico que suelen caracerizar las series de venas y económicas. Ésos son la endencia-ciclo y los facores de esacionalidad: ) endencia-ciclo (). La endencia-ciclo represena los cambios a largo plazo en el nivel de la serie. Dicha endencia puede ser a la baja, al alza o invariable. Cuando se aprecia una endencia alcisa o bajisa, las variaciones pueden ser más o menos acusadas (en forma lineal, exponencial, logarímica, gomperz, ec.). Según la ipología de la endencia se puede represenar según una reca o una curva que generalmene es una variane de una exponencial. Algunas veces, la endencia-ciclo es separada en endencia y componenes cíclicos, pero esa disinción es un poco arificial y la mayoría de los procedimienos de descomposición consideran la endencia y el ciclo como un único componene conocido como endencia-ciclo (). 2) Facor de esacionalidad (E). El facor de esacionalidad se refiere a las variaciones periódicas de longiud consane que son debidas a causas ales como la emperaura, lluvia, mes del año, períodos de vacaciones o políicas empresariales. La principal caracerísica de esos modelos es la consideración de que oda la información requerida para producir la previsión permanece esable denro de las mismas series. Sin embargo, la exaciud de la previsión depende de forma críica de la esabilidad de la endencia del hisórico y del parón. Además, una simple exrapolación de las endencias pasadas podría producir resulados incorrecos cuando algún eveno perurba el parón del hisórico de las series. Armsrong (984) discue los méodos uni-varianes basados en series emporales, ambién denominados méodos de exrapolación, en conraposición con oros enfoques más sofisicados. Kandil e al. (200) demuesran que los modelos que ajusan las
series a una línea reca o a un polinomio son relaivamene mejores comparados con oros modelos para un sisema elécrico de desarrollo rápido, mienras que la mayor pare de los modelos aplicados son válidos para un sisema de desarrollo normal. 3. Enfoques de Programación Maemáica En esa sección se formulan los modelos de Programación No Lineal, que minimizan el error cuadráico medio (ECM) de ajuse y el error absoluo medio (EAM) de ajuse, asociados con los modelos de descomposición muliplicaiva de series emporales. Además, se formula ambién un modelo de Programación Cuadráica que minimiza el ECM basado en la descomposición adiiva de series emporales, ese modelo se ransforma en un modelo de Programación Lineal cuando se minimiza el EAM. Los modelos son implemenados y resuelos uilizando el Solver de Excel y el lenguaje de modelado MPL (Maximal Sofware Corporaion, 2000) con el Solver CPLEX (CPLEX Opimizaion Co., 994) para problemas lineales y cuadráicos y el Solver CONOP (Drudd, 994) para problemas no lineales. La formulación de los problemas de Programación Maemáica permie obener, adicionalmene a la previsión, información complea sobre las caracerísicas del modelo: parámeros de ajuse, componenes del parón de la demanda y medidas del error de previsión. El EAM consise en hacer cada error de ajuse posiivo a ravés de su valor absoluo y poseriormene promediar los resulados. En el caso del ECM, los errores se hacen posiivos elevando cada uno al cuadrado y seguidamene promediando los cuadrados. El EAM iene la venaja de ser más inerpreable y fácil de explicar a los usuarios no especialisas de la previsión. Por su pare, el ECM iene la venaja de ser más fácil de manejar maemáicamene y por ano es muy frecuenemene uilizado en opimización esadísica. ambién elevar al cuadrado los errores magnifica o proporciona mayor peso a los valores exremos, lo que resula aracivo ya que los grandes errores son menos deseables que los pequeños (Makridakis e al. 998). En los modelos propuesos no se uiliza la función no lineal del valor absoluo sino una ransformación lineal del mismo con lo que desaparece la desvenaja del EAM respeco a su uilización en programación maemáica. 3.. Descomposición Muliplicaiva de Series emporales Un modelo de Descomposición Muliplicaiva de Series emporales es apropiado cuando las flucuaciones de la esacionalidad aumenan y disminuyen proporcionalmene al incremeno y decremeno del nivel de la serie. La descomposición asume que una serie emporal, Y, se forma como sigue: Y = parón + error = f(endencia-ciclo, esacionalidad, error) () Por ano, adicionalmene a los componenes del parón, se asume ambién que esá presene un componene de error o aleaoriedad. Ese error es acepado como la diferencia enre el efeco combinado de los dos sub-parones (, E) de la serie y el dao acual. Ese error es conocido como el componene irregular, I. Exisen varios enfoques alernaivos para descomponer una serie emporal, cuyo objeivo es aislar cada componene de la serie con la mayor precisión posible. El concepo básico en al separación es empírico y consise en remover primero el componene endencia-ciclo y poseriormene aislar el componene de esacionalidad. Cualquier componene residual es asumido como aleaoriedad, que aunque no pueda preverse, puede idenificarse. La represenación maemáica general del enfoque de descomposición es: Y =f(, E, I ) (2)
Donde Y es el valor de la serie emporal (dao acual) en el período, es el componene endencia-ciclo en el período, E es el componene de esacionalidad en el período,e I es el componene irregular (o residual) en el período. El enfoque de descomposición muliplicaiva asume que le ecuación anerior iene la siguiene forma: Y = * E * I (3) Es decir, los componenes endencia-ciclo, esacionalidad e irregular se muliplican para proporcionar la serie observada. 3... Modelo DSM_ECM Se raa de un modelo de Programación No Lineal que opimiza la previsión de la demanda minimizando el Error Cuadráico Medio del ajuse. El modelo DSM_ECM es formulado como sigue. Las variables de decisión y parámeros del modelo se definen en la abla. Minimizar Sujeo a z = = Err 2 end = a + b = (5) P E p = P ev = end E Mes (4) P (6) Pr =, p = Mes (7) Err = Pr ev d = (8) end,, E p, Prev 0 =, P (9) La función objeivo (4) preende minimizar el error cuadráico medio del ajuse. El conjuno de resricciones (5) deermina el facor endencia-ciclo a parir del ajuse de los daos hisóricos de la demanda a una reca. Se asume que el componene de esacionalidad es consane durane un horizone de previsión. Por lo que sólo se requiere calcular un valor para cada mes. Al conjuno de los P valores que se repien formando el componene de esacionalidad es conocido como índices de esacionalidad. La resricción (6) garaniza que la suma de los índices de esacionalidad obenidos para odos los meses del horizone de previsión debería dar P (2 para un horizone de previsión anual). El conjuno de resricciones (7) calcula el valor de la previsión para cada período a parir del produco del facor endencia-ciclo y la esacionalidad. El conjuno de resricciones (8) deermina el error de ajuse para cada período como la diferencia enre la previsión calculada y los hisóricos de la demanda. Por úlimo, la resricción (9) asegura que los valores de la endencia-ciclo, la esacionalidad y la previsión sean posiivos. Las variables de decisión a, b y Err pueden omar valores negaivos, por lo que son definidas como variables FREE en el lenguaje de modelado MPL. abla. Variables de decisión y parámeros del modelo. Índices Conjuno de periodos del horizone de previsión ( = ) P Conjuno de meses que forman el horizone de previsión (p = P) Variables de Decisión Daos Ep Facor de esacionalidad en el mes p d Hisórico de demanda en el período end Facor de endencia-ciclo en el período Mes Mes correspondiene al período Prev Previsión de demanda en el período Err Error de ajuse en el período ErrA Valor absoluo del error de ajuse en el período A Parámero a de la reca de ajuse B Parámero b de la reca de ajuse
3..2. Modelo DSM_EAM En esa sección el modelo anerior es modificado con el objeivo de minimizar el Error Absoluo Medio del ajuse. El modelo DSM_EAM es formulado como sigue. Las variables de decisión y parámeros del modelo aparecen definidos en la abla. Minimizar Sujeo a z = = ErrA (0) end = a + b = () P E p = P ev = end E Mes P (2) Pr =, p = Mes (3) Err = Pr ev d = (4) ErrA Err = (5) ErrA Err = (6) end,, E p,prev, ErrA 0 =, P (7) La función objeivo (0) preende minimizar el error absoluo medio del ajuse. El conjuno de resricciones (5) y (6) raan de forma lineal la función valor absoluo que además de ser no lineal es una función no diferenciable. Por úlimo, la resricción (7) asegura que los valores de la endencia-ciclo, la esacionalidad, la previsión y el error absoluo en el período sean posiivos. Las resricciones (), (2), (3) y (4) se añaden de forma similar al modelo que las resricciones (5), (6), (7) y (8). 3.2. Descomposición Adiiva de Series emporales Un modelo de Descomposición Adiiva de Series emporales es apropiado cuando la magniud de las flucuaciones de la esacionalidad no varía con el nivel de la serie. La descomposición adiiva asume que una serie emporal, Y, se forma como sigue: Y = parón + error = f(endencia-ciclo, esacionalidad, error) (8) El enfoque de descomposición adiiva asume que le ecuación anerior iene la siguiene forma: Y = E + + I (9) Es decir, los componenes de esacionalidad, endencia-ciclo e irregular se suman para proporcionar la serie observada. 3.2.. Modelo DSA_ECM Se raa de un modelo de Programación Cuadráica que opimiza la previsión de la demanda minimizando el Error Cuadráico Medio del ajuse. El modelo DSA_ECM es formulado como sigue. Las variables de decisión y parámeros del modelo aparecen definidos en la abla.
Minimizar Sujeo a z = = Err 2 (20) end = a + b = (2) P E p ev = end + E Mes = 0 P (22) Pr =, p = Mes (23) Err = Pr ev d = (24) end,prev 0 =, P (25) La función objeivo (20) preende minimizar el error cuadráico medio del ajuse. El conjuno de resricciones (2) deermina el facor endencia-ciclo a parir del ajuse de los daos hisóricos de la demanda a una reca. Igual que en los modelos aneriores se asume que el componene de esacionalidad es consane durane un horizone de previsión. La resricción (22) garaniza que la suma de los índices de esacionalidad obenidos para odos los meses del horizone de previsión sea igual a 0. El conjuno de resricciones (23) calcula el valor de la previsión para cada período a parir de la adición del facor endencia-ciclo y la esacionalidad. El conjuno de resricciones (24) deermina el error de ajuse para cada período como la diferencia enre la previsión calculada y los hisóricos de la demanda. Por úlimo, la resricción (25) asegura que los valores de la endencia-ciclo y la previsión sean posiivos. En ese caso, las variables de decisión a, b, E p y Err pueden omar valores negaivos. 3.2.2. Modelo DSA_EAM En esa sección el modelo anerior es modificado con el objeivo de minimizar el Error Absoluo Medio del ajuse al igual que se hizo aneriormene con el modelo DSM_EAM. El modelo DSA_EAM es formulado como sigue. Las variables de decisión y parámeros del modelo aparecen definidos en la abla. Minimizar Sujeo a z = = ErrA (26) end = a + b = (27) P E p ev = end + E Mes = 0 P (28) Pr =, p = Mes (29) Err = Pr ev d = (30) ErrA Err = (3) ErrA Err = (32) end,, Prev, ErrA 0 =, P (33) 4. Ejemplos numéricos con daos reales Para ilusrar los resulados proporcionados por los modelos de opimización propuesos, se comparan ésos empíricamene con los resulados generados por los méodos radicionales de Previsión de la Demanda basada en descomposición de series emporales.
El conjuno de daos corresponde a series de demanda real de 6 producos indusriales (producos siderúrgicos para el secor de la consrucción) con períodos de iempo comprendidos enre 32 y 36, casi a pares iguales. Se considera un ciclo esacional de 2 períodos (P = 2). A cada serie se le aplican los 4 modelos planeados, DSM_ECM, DSM_EAM, DSA_ECM, DSA_EAM, y los 2 méodos radicionales, muliplicaivo y adiivo, DSM y DSA. Las esadísicas proporcionadas por los ECM y EAM, uilizados como objeivo a minimizar en los modelos de opimización, se basan en medidas de precisión cuyo amaño depende de la escala de los daos. Por ano, esas medidas no facilian la comparación enre diferenes series emporales y para diferenes inervalos de iempo. Para hacer comparaciones enre series emporales diferenes es necesario uilizar medidas de error porcenuales o relaivas (Makridakis e al. 998). Para comparar los modelos se analizan los valores del error relaivo cuadráico medio (ERCM) y del error relaivo absoluo medio (ERAM): 2 d Pr ev ERCM = (34) = d ERAM = = d Pr ev d Además, se consideran los errores de ajuse del modelo durane los 2 úlimos meses del hisórico de daos, principalmene para eviar aleraciones de los mismos debido a cambios en los parones de la demanda. Obviamene, cuando menores son esos errores, mejor es el ajuse. La abla 2 muesra los errores promediados (ERCM y ERAM) obenidos por cada modelo para las 6 series. abla 2. Ranking de errores medios de ajuse para odas las series. Modelo Promedio ERCM Modelo Promedio ERAM DSM_EAM 0,5402 DSM_EAM 0,39 DSA_EAM 0,7569 DSA_EAM 0,5362 DSA_ECM,0226 DSM_ECM 0,6932 DSM,532 DSA_ECM 0,794 DSM_ECM,2237 DSM 0,7693 DSA 2,6833 DSA 0,8348 (35) El modelo DSM_EAM es el que ha proporcionado el mejor ajuse mienras que el modelo DSA ha generado el peor ajuse. Cuando se comparan los resulados en función del promedio del ERAM odos los modelos propuesos se comporan mejor que los modelos radicionales, DSA y DSM. En el caso de una comparaiva en función del promedio del ERCM, odos los modelos propuesos se comporan mejor que el modelo DSA y que el modelo DSM a excepción del modelo DSM_ECM que presena un error ligeramene superior al del modelo DSM. A coninuación, las 6 series se han clasificado en res grupos en función del número de presenes en la misma. Así, el primer grupo formado por 93 series cuena con menos de, el segundo grupo formado por 0 series iene enre y 20 y el ercer grupo formado por 3 series iene más de 20. A coninuación las ablas 3, 4 y 5 muesran los errores medios de ajuse de cada grupo de series.
abla 3. Ranking de errores medios de ajuse para las series con menos de (93 series). Modelo Promedio ERCM Modelo Promedio ERAM DSM_EAM 0,2082 DSM_EAM 0,552 DSA_EAM 0,5464 DSA_EAM 0,4449 DSA_ECM 0,585 DSM_ECM 0,4983 DSM_ECM 0,6658 DSA_ECM 0,5336 DSM 0,6986 DSM 0,6202 DSA,2083 DSA 0,654 abla 4. Ranking de errores medios de ajuse para las series con enre 0 y 20 (0 series). Modelo Promedio ERCM Codigo Promedio ERAM DSM_EAM,6233 DSM_EAM 0,8027 DSA_EAM,7783 DSA_EAM,0245 DSA_ECM 2,027 DSA_ECM,838 DSM 3,4957 DSM_ECM,4039 DSM_ECM 3,9523 DSM,434 DSA 3,4608 DSA,6364 abla 5. Ranking de errores medios de ajuse para las series con más de 20 (3 series). Codigo Promedio ERCM Codigo Promedio ERAM DSA_EAM,5074 DSA_EAM 0,835 DSM_EAM 2,0957 DSM_EAM,0607 DSM 2,6599 DSM,3538 DSM_ECM 3,87 DSA,5634 DSA_ECM 3,4627 DSM_ECM,5699 DSA 5,82 DSA_ECM,729 En el caso de las series con menos de 20, de forma general, odos los modelos propuesos proporcionan mejores ajuses que los méodos radicionales. Eso deja de ser así cuando exise un gran número de enre la demanda observada mensualmene. Para ese ipo de series con un gran número de valores cero, Segura y Vercher (200) proponen un enfoque de programación maemáica, concreamene de Programación No Lineal, para la Previsión de la Demanda basada en el modelo de suavizado exponencial de Hol-Winers. La Figura muesra el porcenaje de las ocasiones en el que cada modelo ha presenado un comporamieno mejor para odas las series, en érminos de menor error de ajuse, que el reso de los modelos uilizados. Como puede observarse la evaluación de los modelos en función de ambos errores (EAM y ECM) presena resulados similares. Es imporane resalar como para el conjuno de series analizadas los modelos de opimización basados en la descomposición muliplicaiva presenan un mejor comporamieno. Aunque, como es de esperar en el caso de las series con un mayor número de los méodos modelos adiivos generan mejores resulados.
Mejor modelo 00% 90% 80% % menor error de ajuse 70% 60% 50% 40% 30% DSM_EAM DSM_ECM DSA_EAM DSA_ECM DSM DSA 20% 0% 0% ERAM odas ERAM < ERAM -20 ERAM > 20 ERCM odas ERCM < ERCM -20 ERCM >20 Error considerado y grupo de series Figura. Mejor modelo en función de los errores de ajuse (ERAM y ERCM) y grupo de series. 5. Conclusiones El objeivo de ese rabajo ha sido desarrollar y aplicar modelos de opimización para la previsión de la demanda basados en los Méodos Cuaniaivos. Se ha analizado el inerés de uilizar modelos de Programación Maemáica (Programación Lineal, Programación Cuadráica y Programación No Lineal) para la obención de los movimienos caracerísicos de una serie emporal con el objeivo de minimizar los errores de ajuse, en conraposición al méodo clásico de descomposición. Las conclusiones son la obención de funciones de previsión con menor error de ajuse al hisórico mediane los modelos de Programación Maemáica, con un mínimo aumeno del cose compuacional respeco a los méodos clásicos de descomposición de series emporales. Referencias Armsrong, J.S. (984) Forecasing by exrapolaion: conclusions from 25 years of research. Inerfaces, 4, 52-66. Buffa, E.S. y Miller, J.G. (979) Producion Invenory Sysems: Planning and Conrol. hird Ediion. Homewood, IL, Irwin. CPLEX Opimizaion Co. (994) Using he CPLEX callable library. Drud, A. (994) CONOP a large-scale GRG code, ORSA Journal on Compuing 6, 2, 207-26. Hax, A.C. y Candea, D. (984) Producion and Invenory Managemen. Prenice Hall, Englewood Cliffs, New York. Kandil, M.S., El-Debeiky, S.M. y Hasanien, N.E. (200) Overview and comparison of long-erm forecasing echniques for a fas developing uiliy: par I. Elecric Power Sysems Research, 58, - 7.
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