TRIGNMETRÍ ESFÉRI 2001 Kepler k Ikastegia
2 1.1 Introducción La Trigonometría es una rama de la Matemática en la que se analiza la medida de las partes de los triángulos, tanto de los triángulos planos como de los esféricos así como de las figuras que se forman con ellos. sí como en Topografía y en artografía es muy importante la Trigonometría Plana, en stronomía y en Geodesia es fundamental el análisis de los triángulos esféricos. En el posterior desarrollo de la Trigonometría Esférica se considera básico el conocimiento de la Trigonometría Plana y de las propiedades de las funciones trigonométricas. 1.2 Geometría sobre la superficie esférica El análisis de las figuras que se representan sobre la superficie esférica lo lleva a cabo la Geometría Esférica. Los conceptos fundamentales de esta Geometría son los siguientes: circunferencias máximas, circunferencias menores, distancia esférica, ángulo esférico... Mediante estos conceptos se definen el triángulo esférico y su triángulo polar y además se deducen sus propiedades fundamentales. Definición 1.1 Se llama circunferencia máxima o ciclo a la intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro. Definición 1.2 Se llama circunferencia mínima o menor a aquella que se obtiene como intersección de la esfera con planos que no pasan por su centro. Definición 1.3 Se denominan polos de un ciclo a los extremos del diámetro de la esfera que es perpendicular al plano que define el ciclo.
1.2. GEMETRÍ SRE L SUPERFIIE ESFÉRI 3 ircunferencia menor P Polos iclo P Figura 1.1: iclos, polos y circunferencias menores Dados dos ciclos de una superficie esférica siempre se cortan en dos puntos que son los extremos de un diámetro de la esfera; en efecto, los planos que determinan los dos ciclos se cortan en una recta que pasa por el centro de la esfera, es decir, en un diámetro, luego los extremos del mismo son los puntos en que se cortan los ciclos. Definición 1.4 Se llama ángulo esférico entre dos ciclos al ángulo formado por las semitangentes a las circunferencias en uno de sus puntos de contacto. También se puede definir como el ángulo diedro que forman los planos que determinan los ciclos. Figura 1.2: Ángulo esférico Definición 1.5 Se define la distancia esférica entre dos puntos como la longitud del menor arco del ciclo que los contiene. Una de las aplicaciones del concepto anterior es el cálculo de la distancia entre dos lugares geográficos de la Tierra si consideramos que es una esfera. El arco de una circunferencia máxima en una esfera y el segmento de una recta en el plano son conceptos análogos y por tanto, la Geometría Esférica puede desarrollarse de la misma forma en que se ha desarrollado la Geometría Plana.
4 Figura 1.3: Distancia esférica 1.3 Triángulos esféricos. Propiedades Definición 1.6 Se llama triángulo esférico a la porción de superficie esférica limitada por tres arcos de ciclo. a b c Figura 1.4: Triángulo esférico Los lados del triángulo esférico son los arcos a, b y c; los vértices o ángulos, y son los ángulos diedros que forman los arcos dos a dos. bservación 1.1 Los lados de un triángulo esférico, si bien son arcos de ciclo, se considerarán como medidas angulares. En caso de querer conocer la medida de longitud del arco bastará multiplicar por el radio de la esfera. Definición 1.7 uando se unen mediante rectas el centro de la esfera con los vértices de un triángulo esférico, y, se forma un ángulo triedro que se denomina ángulo triedro asociado al triángulo esférico ; los lados del triángulo esférico a, b y c son precisamente los ángulos de las caras del
1.3. TRIÁNGULS ESFÉRIS. PRPIEDDES 5 ángulo triedro. Los ángulos del triángulo esférico, y son justamente los ángulos diedros del ángulo triedro. Figura 1.5: Ángulo triedro asociado a un triángulo esférico. bservación 1.2 Es posible, por tanto, definir también triángulo esférico como la intersección de una esfera con las tres caras de un ángulo triedro con vértice en el centro de la esfera. bservación 1.3 Es evidente que las medidas de los ángulos de las caras del ángulo triedro así como las de sus ángulos diedros son independientes del radio de la esfera, por tanto, las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico también, así es que consideraremos el radio unidad. Teorema 1.1 cada una de las propiedades de un triángulo esférico le corresponde una propiedad análoga de su ángulo triedro asociado. En esta exposición tan sólo se considerarán triángulos esféricos en los que 0 < a, b, c,,, < 180 Definición 1.8 Dado un triángulo esférico, se define su triángulo polar y se denota por, al que se obtiene uniendo por arcos de circunferencia máxima los polos correspondientes a cada uno de los lados, escogiendo en cada caso aquél que se encuentre en el mismo hemisferio que el triángulo esférico.
6 Figura 1.6: Triángulo polar. Propiedades de los triángulos esféricos Se demostrarán algunas de las propiedades utilizando el ángulo triedro asociado al triángulo esférico. 1. ada uno de los lados de un triángulo esférico es menor estrictamente que la suma de los otros dos. a < b + c b < a + c c < a + b Es claro que la propiedad es cierta si los tres lados son iguales; con- X D Y Z Figura 1.7: ada lado es estrictamente menor que la suma de los otros dos sideremos un ángulo triedro XY Z en el que el ángulo c =<) XY es mayor que cualquiera de los ángulos de las otras dos caras, es decir, mayor que b =<) XZ y que a =<) ZY ; escojamos en X un punto arbitrario y en Y otro punto cualquiera. Sea D el punto del segmento tal que los ángulos <) D y <) XZ son iguales. Sea el punto en Z tal que los segmentos D y son iguales. continuación se unen y con. En el triángulo se cumple
1.3. TRIÁNGULS ESFÉRIS. PRPIEDDES 7 + > y = D + D luego + > D + D. hora bien, los triángulos y D son iguales, luego D = y entonces > D. onsecuentemente, como los lados D y del triángulo D son respectivamente iguales a los lados y del triángulo, resulta que a =<) ><) D; por construcción b =<) =<) D, por tanto, <) + <) ><) D + <) D =<) b + a > c 2. La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que 360 Señalaremos tres puntos cualesquiera, y en las aristas del ángulo triedro XY Z; se observa que existen tres triángulos con vértice en y que la suma de los ángulos de estos triángulos es 540, es decir <) + <) + <) + (<) + <) ) + (<) + <) ) + (<) + <) ) = 540. hora bien, por la propiedad anterior, <) + <) ><) X Z Y Figura 1.8: La suma de los lados es menor que 360 <) + <) ><) <) + <) ><) Entonces <) + <) + <) + <) + <) + <) < 540 <) + <) + <) < 540 (<) + <) + <) ) = 360 3. En un triángulo esférico isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son también iguales y recíprocamente. Supongamos que los ángulos b =<) XZ y a =<) ZY son iguales y sea un punto cualquiera del eje Z; tracemos el plano perpendicular al eje X que pasa por y llamemos al punto de corte; asimismo, tracemos
8 Z X D Y Figura 1.9: En un triángulo esférico isósceles los ángulos opuestos a los lados son iguales y recíprocamente. el plano perpendicular al eje Y que pasa por y llamemos al punto de corte; sea D el punto de intersección entre los dos planos anteriores y la cara del ángulo triedro determinada por los ejes X y Y ; es claro por construcción que los triángulos rectángulos y son iguales; se deduce igualmente que los triángulos rectángulos D y D son también iguales, y por tanto, los ángulos y son iguales como queríamos probar. El recíproco se deduce con análogas consideraciones. 4. Si en un triángulo esférico hay dos lados desiguales sus ángulos opuestos son también desiguales y viceversa; a mayor lado corresponde mayor ángulo y recíprocamente; es suficiente razonar como en el apartado anterior y se ve que si b =<) XZ > a =<) ZY entonces el segmento tiene más longitud que luego el ángulo es menor que el ángulo. 5. Si denota el triángulo polar del triángulo esférico entonces es el triángulo polar de. omo es el polo de y es el polo de dista un cuadrante (90 ) de y de, luego es el polo del arco ; análogamente se demuestra que es el polo del arco y que es el polo del arco. Por definición y están a un mismo lado de, es decir, en el mismo hemisferio, y además la distancia entre y cualquier punto de es menor que 180. Entonces, como es el polo de dista 90 de cualquier punto de, y así la distancia entre y es menor que 90. Finalmente, al ser el polo de dista 90 de cualquier punto de luego y están al mismo lado de ; análogamente se demuestra que y están a un mismo lado de y que y
1.4. RITERIS DE IGULDD DE TRIÁNGULS ESFÉRIS 9 Figura 1.10: Todo triángulo esférico es el polar de su triángulo polar. están a un mismo lado de. En definitiva es el triángulo polar de. 6. Dados y triángulos polares entre sí, se verifica que cada ángulo de uno de los triángulos es igual al suplementario del correspondiente lado opuesto del otro triángulo, es decir, = 180 a = 180 b = 180 c = 180 a = 180 b = 180 c Demostraremos que = 180 c ; en efecto, prolongando los arcos y hasta que corten al arco en los puntos D y E respectivamente, resulta que el arco DE es precisamente la medida del ángulo ; ahora E + D = + DE = c +. Por otra parte, puesto que es el polo de E y es el polo de D es E = D = 90 y así 180 = c + = 180 c. Las otras demostraciones son análogas. 7. La suma de los ángulos de un triángulo esférico está comprendida siempre entre 180 y 540, es decir, 180 < + + < 540 En efecto, sea un triángulo esférico de lados a, b y c, y sea su triángulo polar de lados a, b y c, entonces por la propiedad anterior + + = 540 (a + b + c ) < 540 ; además por la segunda propiedad, se tiene a + b + c < 360 luego 180 < + +. 1.4 riterios de igualdad de triángulos esféricos Dos triángulos esféricos son iguales si:
10 oinciden dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. oinciden dos ángulos y el lado que los une. oinciden los tres lados. oinciden los tres ángulos. 1.5 Área de un triángulo esférico Definición 1.9 Se denomina exceso esférico de un triángulo esférico y se denota por E al valor del ángulo en que la suma de los tres ángulos del triángulo esférico excede a 180, es decir, E = + + 180 o E = + + π según si los ángulos vienen expresados en grados o en radianes respectivamente. Área: Sea un triángulo esférico sobre una esfera de radio R; se calcula su área con la fórmula: S = πr2 E 180 o S = R 2 E 1.6 Fórmulas de essel Las relaciones entre los elementos de un triángulo esférico son independientes del radio de la esfera ya que son las mismas que las que tienen sus correspondientes elementos del ángulo triedro asociado. Tomaremos entonces una esfera de radio R = 1. En este apartado se dan los resultados teóricos que a b c Figura 1.11: Triángulo esférico en esfera de radio unidad.
1.6. FÓRMULS DE ESSEL 11 permiten resolver triángulos esféricos, tanto rectángulos como oblicuángulos, es decir, a partir de tres elementos conocidos se trata de encontrar los otros tres. Teorema 1.2 (de los senos) Los senos de los lados de un triángulo esférico son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. sen a sen = sen b sen = sen c sen Demostración: Tracemos el plano perpendicular al radio que pasa por y el plano perpendicular al radio que pasa por ; la intersección de estos dos planos con el ángulo triedro asociado al triángulo esférico la forman los triángulos planos ED y DF, tal y como se aprecia en la figura omo a b F E D x c H Figura 1.12: Teorema de los senos. el radio de la esfera es R = 1, es claro por construcción que sen b = E, cos b = E, sen a = F y cos a = F ; por otra parte, D = sen E y D = sen F ; así pues sen sen a = sen sen b de donde sen a sen = sen b sen
12 La otra razón, es decir, sen c sen es igual, y para ello se razona análogamente. Teorema 1.3 (del coseno) En un triángulo esférico el coseno de cualquier lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto, es decir, cos a = cos b cos c + sen b sen c cos cos b = cos a cos c + sen a sen c cos cos c = cos a cos b + sen a sen b cos Demostración: Según se aprecia en la figura anterior cos a = F = D cos(c x) = D cos c cos x + D sen c sen x = E cos c+de sen c = cos b cos c+e cos sen c = cos b cos c+sen b sen c cos Los otros dos casos son similares. Teorema 1.4 (Tercer grupo de fórmulas) Está formado por las siguientes fórmulas: cot a sen b = cos b cos + sen cot cot a sen c = cos c cos + sen cot cot b sen c = cos c cos + sen cot cot b sen a = cos a cos + sen cot cot c sen a = cos a cos + sen cot cot c sen b = cos b cos + sen cot Demostración: Demostraremos sólamente la primera ya que las demás son análogas. cos a ( = cos b cos c + ) sen b sen c cos = cos b(cos a cos b + sen a sen b cos ) + sen a sen b sen sen cos = cos 2 b cos a+cos b sen a sen b cos +sen b sen a sen cot cos a(1 cos 2 b) = cos b sen a sen b cos + sen b sen a sen cot cos a sen 2 b = sen a sen b(cos b cos + sen cot ) cot a sen b = cos b cos + sen cot Teorema 1.5 (del coseno para los vértices) plicando el teorema 1.3 al triángulo polar y teniendo en cuenta las relaciones de sus ángulos resultan las siguientes fórmulas: cos = cos cos + sen sen cos a cos = cos cos + sen sen cos b cos = cos cos + sen sen cos c Demostración: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos cos(180 ) =
1.6. FÓRMULS DE ESSEL 13 cos(180 ) cos(180 )+sen(180 ) sen(180 ) cos(180 a) cos = cos cos + sen sen ( cos a) cos = cos cos + sen sen cos a