TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO
Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES 1 Usamos grados para medir ángulos cuando aplicamos trigonometría a los problemas del mundo real. Por ejemplo, en topografía, construcción, y navegación, el grado es la unidad de medida aceptada.
Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES 1 Cuando estudiamos las funciones trigonométricas dentro de un círculo, colocamos el círculo sobre un plano cartesiano y trabajamos con un ángulo central. El ángulo central tiene un lado sobre el eje de x y un lado terminal que comienza en el centro del círculo e interseca la circunferencia del círculo. En el círculo podemos medir los ángulos en grados o radianes.
Un radián El ángulo central de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio.
Cuánto radianes hay en un círculo? Hay 360 grados en un círculo. Cuántos radianes hay? Hay un poco más de 6 radianes en un círculo De hecho, hay exactamente 2 radianes en un círculo. (Aprox. 6.28 rad.)
RADIANES Si 2 360 180 entonces Si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados, entonces la proporción 180 Rad Grad nos permite cambiar entre radianes y grados.
Convertir entre radianes y grados Vamos a completar la tabla: 180 1 Grad Grad ( 1)( 180 Grad 180 Grad 57. 3 ) ángulo en radianes /3 180 ángulo en grados 1 57.3 30 120 Rad Grad
Convertir (cont.) 180 180 Rad Grad Rad 30 30 180Rad 30 180 Rad 6 Rad 0. 52 ángulo en radianes ángulo en grados 1 57.3 /6 30 /3 120
Convertit cont 180 Rad Grad 3 180 Grad Grad 180 3 180 Grad 3 Grad 60 ángulo en radianes ángulo en grados 1 57.3 /6 30 /3 60 120
RADIANES 180 Rad Grad ángulo en radianes ángulo en grados 180 120 180 rad rad 120 rad 2 3 1 57.3 /6 30 /3 2/3 60 120
PRACTICA: Convertir la medida de radianes a grado o grado a radianes. 180 Rad Grad 20 150 3 300 5 2 2
Un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y con radio igual a 1 se llama un círculo unitario.
Si el punto P(x,y) pertenece al círculo unitario, y el segmento OP es un radio, entonces OP intercepta el círculo formando el arco S y un ángulo central que llamaremos θ.
En el círculo unitario definimos sin(θ) como la distancia vertical desde P hasta el eje de x. sin(θ) = y Similarmente, definimos cos(θ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P. cos(θ) = x Arco s
Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1. En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto. Radio = 3
Dentro del círculo de radio r, las razones trigonométricas se determinan sin( ) cos( ) y r x r x, y tan( ) sin( cos( ) ) y x cot( ) cos( ) sin( ) x y sec( ) 1 cos( ) r x csc( ) 1 sin( ) r y
Ejemplo: Un ángulo central se forma con el punto (2.25, 2.25) que está sobre la circunferencia de un círculo de radio=3. Determine de forma exacta, las 6 razones trigonométricas. Solución: (2.25, 2.25)
Ejemplo: (cont.) Un ángulo central se forma con el punto (2.25, 2.25) que está sobre la circunferencia de un círculo de radio=3. Determine de forma exacta, las 6 razones trigonométricas. Solución: (2.25, 2.25)
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una círculo unitario. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra. Sabemos que: el radio es 1 3 x= y= 5 4 5 Por lo tanto, x 3 4 P, 5 5 y sin( ) tan( ) 4 5 y x cos( ) 4 3 3 5
EJEMPLO 2 (cont.) Las relaciones recíprocas son: csc( ) cot( ) 5 4 y x sec( ) 3 4 5 3 x 3 4 P, 5 5 y
Ejemplo 3: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores exactos de las 6 razones trigonométricos. sin( ) r y 2 2 P 2, 2 cos( ) r x 2 2 tan( ) x y 2 2 1
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos. r csc( ) y r sec( ) x 2 2 2 2 P 2, 2 cot( ) y x 2 2 1
Práctica Hallar los valores de forma exacta las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. P 5 13, 12 13 P 15,8 Radio = 1 Radio = 17
Soluciones Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. P 5 13, Radio = 1 12 13 cos sin tan sec csc cot 5 13 12 13 12 5 13 5 13 12 5 12 Radio = 17 P 15,8 cos sin tan sec csc cot 15 17 8 17 8 15 17 15 17 8 15 8
Relaciones en el círculo En un círculo de radio r, x 2 + y 2 = r 2 o lo que es igual, r = x 2 + y 2 cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 1
Ejemplo Si θ es un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares y si P( 15, 8) está en el lado terminal de θ, determinar el valor de θ y los valores de las seis funciones trigonométricas de θ.
Solución (cont) Aplicando la definición de las funciones trigonométricas para x = 15, y = 8, primeramente debemos determinar r.
Cont.
Ejemplo Determine los valores de las seis funciones trigonométricas de θ Aplicamos las definiciones trigonométricas con x = 4, y = -1, r = x 2 + y 2 = 16 + 1 = 17 P(4, -1) P(4, -1)
Solución (cont.) sin θ tan θ = y r = 1 17 = y x = 1 4 sec θ = r x = 17 4 = 17 17 cos θ = x r = 4 17 csc θ = r y = 17 1 = 17 cot θ = = x y = 4 1 = 4 4 17 17 P (4, -1)
Signos La siguiente tabla muestra los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante:
Ejemplo Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades para hallar las otros valores trigonométricos. Solución De los signos, concluimos que el ángulo está en el cuadrante II. Usando la relación sin 2 θ + cos 2 θ = 1 y el hecho de que el coseno es negativo en el segundo cuadrante podemos determinar que:
Solución (cont.)