INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar y aplicar ecuaciones con dos incógnitas de primer grado en la solución de ejercicios y de problemas del entorno. INDICADORES DE LOGROS Interpreta adecuadamente ecuaciones lineales con dos incógnitas. Construye ecuaciones lineales con dos incógnitas a partir de una situación problema. Esta siempre atento y dispuesto en clase. CONTENIDOS: La línea recta. Interpretación de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Rectas paralelas y perpendiculares Formas de la ecuación de la recta LA LINEA RECTA Es posible calcular el peso esperado (W) en toneladas de una ballena jorobada a partir de su longitud (L) en pies, mediante la fórmula W = 1,7L - 42,8 para valores de L entre 30 y 50 pies. Un modelo gráfico de esta situación se muestra en la siguiente figura. Debido a que el peso depende de la longitud, entonces el eje de abscisas representa la variable L (longitud), y el eje de ordenadas la variable W (peso). Gracias a esta relación lineal es posible encontrar cualquier valor de W conociendo el valor de la longitud, siempre y cuando ésta esté entre 30 y 50 pie s.
Esta y muchas otras situaciones se pueden modelar a través de funciones lineales, las cuales vamos a ver con más profundidad en esta lección. Una expresión de la forma AX + BY + C = 0 con A, B, C R, A 0 ó B 0, X e Y variables independiente y dependiente respectivamente se denomina ecuación general de la línea recta. Al despejar la variable y tenemos una función lineal afín: Se identifican los coeficientes: Luego la función lineal en forma canónica o afín se puede representar como: y = mx + b X: Es la variable independiente y se ubica en el eje x (abscisa). Y: Es la variable dependiente y se ubica en el eje y (ordenada); también se denota por f(x). m: Es la pendiente de la recta e indica el grado de inclinación de la recta con respecto al eje positivo de las x (abscisas). b: Es el intercepto o punto de corte con el eje y (ordenadas). La representación gráfica de la función lineal es una línea recta. INTERPRETACION DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Existen muchos problemas que pueden plantearse a través de ecuaciones con más de una incógnita. Veamos el siguiente ejemplo: María recorrió 10 Km siempre en la misma dirección, una parte del recorrido lo hizo a pie y el resto en camión. Cuántos kilómetros caminó y cuántos recorrió en camión? Es claro que la pregunta anterior da lugar a muchas respuestas. Podríamos decir por ejemplo, que María recorrió:
5 Km a pie y 5 Km en camión, porque 5 + 5 = 10 1 Km a pie y 9 Km en camión, porque 1 + 9 = 10 2.5 Km a pie y 7.5 Km en camión, porque 2.5 + 7.5 = 10 0.8 Km a pie y 9.2 Km en camión, porque 0.8 + 9.2 = 10 Usted puede encontrar otras parejas de números que pueden ser solución del problema. Pero no cualquier pareja de números es solución del problema. Por ejemplo: Los números 3 y 8 no son solución, porque 3 + 8 = 11 10 Los números 1 y 11 tampoco son solución, porque aunque 1 + 11 = 10, María siempre caminó en la misma dirección y entonces no pudo recorrer 1 Km a pie. Si llamamos x a la cantidad de kilómetros que María caminó y si llamamos y a la can tidad de kilómetros recorridos en camión, podemos describir el problema anterior del siguiente modo: x + y = 10 A expresiones de este estilo se las denomina ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ya dijimos que este problema tiene muchísimas soluciones de las que hemos encontrado sólo algunas. Las soluciones que hemos encontrado: x = 5, y = 5 x =1, y = 9 x = 2.5, y = 7.5 x = 0.8, y = 9.2 Pueden ser expresadas como parejas ordenadas: (5, 5); (1, 9); (2.5, 7.5); (0.8, 9.2) y estas parejas ordenadas nos pueden servir para representar gráficamente las soluciones que hemos encontrado. Para ello consideramos los valores de x como abscisa, y los de y como ordenadas. Así, las primeras soluciones quedarán representadas por los siguientes puntos.
TALLER 1 1. Para cada una de las siguientes ecuaciones, trace la recta que representa a todas las soluciones. a. x + y = 4 Ecuación Canónica: X y b. x + y = 2 Ecuación Canónica: X y 2. Considere la ecuación x y = 3. Complete las siguientes parejas de números para que sean soluciones de la ecuación. 3. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 74m, y se quiere conocer su largo y su ancho. a. Encuentre una ecuación que corresponda al enunciado del problema, en la que x sea el largo del terreno e y sea su ancho. b. Trace la gráfica de soluciones de la ecuación. c. A partir de la gráfica, encuentre tres parejas de números que sean solución del problema y dos parejas que sean solución de la ecuación pero no del problema. INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO La siguiente figura muestra el ángulo formado por una recta y el semieje positivo de las abscisas. Este ángulo recibe el nombre de inclinación de la recta.
Recta u: Recta l En el caso de la recta u, la inclinación es un ángulo agudo, es decir, menor que 90. En el caso de la recta t, la inclinación es un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90 y menor de 180. Cuando la recta es paralela al eje vertical la inclinación es de 90, y cuando la recta es paralela al eje horizontal, la inclinación es de 0. La inclinación de una recta en el plano de sistemas rectangulares, está dada por la medida del ángulo positivo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas. La inclinación de una recta paralela al eje de abscisas es O. Consideremos ahora los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) tomados en la recta de la figura siguiente. Conforme nos desplazamos en forma creciente, a lo largo de dicha recta, un incremento de (y2 - y1) unidades en la dirección vertical, genera un incremento de (x2 - x1) unidades en dirección horizontal. La razón entre estos dos incrementos recibe el nombre de pendiente, la cual simbolizamos con la letra m. Es decir: El valor de m es independiente de la escogencia de los puntos P1 y P2 sobre la recta, ya que como se muestra en la figura siguiente, las razones entre los incrementos son constantes debido a que se forman triángulos semejantes.
El concepto de pendiente se relaciona con el concepto de inclinación, ya que la pendiente no es más que la tangente del ángulo de inclinación. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es decir, m = tan θ, donde m es la pendiente y θ es el ángulo de inclinación de la recta. De acuerdo con lo anterior, se pueden deducir las siguientes propiedades: Si una recta es horizontal, entonces su inclinación es 0, y por tanto, su pendiente también, ya que tan 0 = 0. Si una recta es vertical, entonces su inclinación es 90, y por tanto, su pendiente no está definida, ya que, la tangente de 90 tampoco lo está. Si una recta tiene como inclinación un ángulo agudo, entonces su pendiente es positiva, ya que la tangente de un ángulo del primer cuadrante es positiva.
Si una recta tiene como inclinación un ángulo obtuso, entonces su pendiente es negativa, ya que la tangente de un ángulo entre 90 y 180 es negativa. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A (- 8, - 2) y B (5, 7). Remplazando los valores de las coordenadas de los dos puntos en la expresión: TALLER 2 a.) Determinar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
b.) Determina la pendiente de cada recta. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES RECTAS PARALELAS Al trazar dos rectas paralelas en el plano cartesiano, los ángulos de inclinación son siempre iguales por ser correspondientes entre paralelas. Por tanto, las pendientes deben ser iguales por cuanto las tangentes de ángulos iguales también son iguales. En el único caso en que esta propiedad no se cumple, es cuando las pendientes no existen, es decir, cuando las rectas son verticales. De igual manera, se puede deducir que si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas, es decir m1 = m2 Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales o si ninguna de ellas tiene pendiente. RECTAS PERPENDICULARES Supongamos ahora que las rectas u y t, con inclinaciones α y β, respectivamente, son perpendiculares.
Donde m1 es la pendiente de la recta u y m2 es la pendiente de la recta t. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 siempre que éstas estén definidas. Es decir m1 = -1/ m2 o m1m2 = -1, Esta afirmación no incluye las rectas perpendiculares cuando una de ellas es vertical, ya, que su pendiente no está definida. Ejemplo En la figura la recta t contiene los puntos A (1, 3) y B (4, 6), y la recta u contiene los puntos C (5, 8) y D (- 2, 1). Determina si t y u son paralelas. Solución La pendiente de la recta t es: La pendiente de la recta u es: Como las dos pendientes son iguales, entonces las rectas son paralelas. Ejercicio La recta s contiene los puntos A (-2,5) y B (-4, 6), y la recta p contiene a C (-1, 4) y D (3, 12). Comprueba que s y p son perpendiculares. EJEMPLO Utilizando el concepto de pendiente, demuestra que los puntos A (4,1),B (5,-2) y C (6,-5) son colineales. Solución Para que tres puntos sean colíneales la pendiente del segmento AB debe ser igual a la pendiente del segmento BC.
Hallamos la pendiente del segmento AB: La pendiente del segmento BC es: Por tanto los tres puntos son colíneales. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Recordemos que por geometría euclidiana básica, una línea recta queda determinada por dos puntos. Analíticamente esto significa que dadas dos variables que estén relacionadas en forma lineal, es posible encontrar una ecuación que describa esta relación conociendo solamente dos puntos de la misma. Sabemos que por un punto pasan infinita cantidad de rectas. Sin embargo, una recta t queda determinada si, además de un punto, se conoce su inclinación. Dado que al conocer la inclinación se conoce la pendiente, entonces es posible construir la ecuación de dicha re cta. ECUACION CONOCIDA LA PENDIENTE E INTERSECTO CON LA ORDENADA (b) Se reemplaza el valor de m y b en la expresión explicita de la recta. y = mx + b, así se obtiene la ecuación
EJEMPLO: Si m = ¾ y b = -2, hallar la ecuación de la recta y representarla gráficamente. SOLUCION: Al remplazar los valores dados, se tiene que la ecuación explicita es: Para la representación grafica se ubica el intersecto en y, a partir de él se realizan los desplazamientos vertical y horizontal. Así se determina que el punto A = (4,1), también pertenece a la recta. ECUACION CONOCIDA UN PUNTO Y L A PENDIENTE Para hallar la ecuación de una recta, dados P = (s, t) y el valor de m se deben seguir los siguientes pasos. Se halla el valor del intersecto (b). Para esto, se remplazan s y t por x y y en la expresión y = mx + b. Se remplazan m y b en la ecuación y = mx + b. EJEMPLO: Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por P = (-1, -2) y cuya pendiente es -3. Luego, represéntala gráficamente.
TALLER 3 1. Determinar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las siguientes rectas. a) b) c) d) 2. Completa la siguiente tabla
ECUACION CONOCIDOS DOS PUNTOS Para hallar la ecuación de la recta, dados los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) se procede así: 1. Con la formula se halla la pendiente. 2. Se sustituyen los valores de x y y para hallar el intercecto (b). 3. Se remplazan m y b en la ecuación y = mx + b. EJEMPLO 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (-1, -2) y B = (4, 2). Luego, representarla gráficamente. SOLUCION Primero se halla la pendiente. Así, Luego se halla b. -2 = 4/5 (-1) + b se reemplaza el punto A -2 = - 4/5 + b despejando b se tiene b = - 6/5 Finalmente se halla la ecuación de la recta. Así, Sustituyendo los valores de m y b EJEMPLO 2: Hallar la pendiente, el intersecto en y y el intersecto en x de la recta dada a continuación: -3x + 6y -12 = 0
SOLUCION ECUACION GENERAL DE LA RECTA La expresión Ax + By + C = 0, donde A, B, C ϵ R y A y B no son ceros simultáneamente es llamada ecuación general de la recta. EJEMPLO: Dada la ecuación explicita Y = 5/3 X -- 1/4 obtener la ecuación general de la recta. SOLUCION TALLER 4 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.
Relacionar cada ecuación con su respectiva grafica. TALLER 5 1. Determinar la posición relativa de cada par de rectas y graficarlas en el plano cartesiano. a) b) c) d) 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y cumple la condición. Luego, graficarla en el mismo plano con la recta dada. a) Pasa por (-2, 4) y es paralela a y = 13x 6. b) Pasa por (0, -6) y es perpendicular a y = -5x. c) Pasa por (-8, 8) y es perpendicular a y = 2x + 11. d) Pasa por (-1, 6) y es paralela a y = 2/5x 6.
3. Escribir la ecuación de todas las rectas que forman cada polígono. a) b) 4. Completar la siguiente tabla
5. Resolver 6. Resolver DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE DOCENTE DE MATEMÁTICAS