ontenidos Triángulos I Elementos primarios lasificación Elementos secundarios
Triángulos Es un polígono de tres lados. Posee tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. No posee diagonales. Elementos primarios - Vértices - Lados - Ángulos interiores - Ángulos exteriores
Vértices orresponden a la intersección de dos trazos. Se identifican con letra mayúscula. En la figura, los vértices son, y. Lados orresponden a los trazos, y. Se identifican con una letra minúscula. b a = c = a c = b
Ángulos interiores Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, al interior de la figura. Son ángulos interiores del triángulo : = = = Teorema La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º. + + = 180 o
Ángulos interiores Ejemplo Dos ángulos interiores de un triángulo miden 30º y 50º, cuánto mide el tercer ángulo? El tercer ángulo mide 100º, ya que 30º + 50º + 100º = 180º. Teorema En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado, y viceversa. Ejemplo En el triángulo de la figura: c > a > b b c a
Ángulos exteriores Son los ángulos adyacentes de los ángulos interiores. `, ` y ` Son ángulos exteriores. Teorema La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. ` + ` + ` = 360 o Ejemplo En un triángulo se tiene que dos ángulos exteriores miden 120º y 110º, cuánto mide el tercer ángulo exterior? El ángulo exterior mide 130º, ya que 120º + 110º + 130º = 360º.
Ángulos exteriores Teorema ada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. = + = + = +
Elementos secundarios ltura isectriz Simetral Transversal de gravedad Mediana
ltura (h) Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto prolongación. En la figura, D es la altura (h c ) desde el vértice. h c o a su D El Ortocentro (H) es la intersección de las tres alturas (h a,h b,h c ) H
isectriz (b) Es el segmento que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en dos ángulos iguales. En la figura, D = D = D es la bisectriz (b c ) desde el vértice. b c D El Incentro (I ) es la intersección de las tres bisectrices (b a,b b,b c ) (I ) :entro de la circunferencia inscrita.
Simetral (S) Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, S es la simetral levantada desde el punto medio de. S El ircuncentro (E) es el punto de intersección de las tres simetrales (S a,s b,s c ) (E) : entro de la circunferencia circunscrita.
Transversal de gravedad (t) Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. D: Punto medio de. t c : Transversal desde. t c El aricentro (G) es el punto de intersección de las tres transversales (t a, t b,t c ) (G) : También se conoce como centro de gravedad.
Transversal de gravedad (t) Propiedad del entro de gravedad o aricentro (G) El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en la razón 2 : 1 (donde el segmento que llega al vértice mide el doble que el otro segmento). D, E, F puntos medios E = t a, F = t b, D = t c G centro de gravedad Ejemplo En la figura anterior, si G = 10 cm, entonces FG = 5 cm.
Mediana Es el segmento que une los puntos medios de dos lados. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de este. D, E, F puntos medios. DE, EF y DF son medianas l trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes. El área de cada uno, es triángulo. 1 4 del área total del
lasificación Según ángulos Según lados cutángulo Todos sus ángulos interiores son agudos (miden menos de 90º). Escaleno Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo: Rectángulo Tiene un ángulo recto (mide 90º). Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso (mide más de 90º). Isósceles Tiene solo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes. (ase)
pliquemos nuestros conocimientos 1. En el triángulo de la figura,, D, y E son colineales y D es bisectriz del ángulo. uánto mide el ángulo E? ) 50º ) 60º ) 80º D) 120º E) 130º 40º D 40º E uál es la alternativa correcta?
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: 40º 40º 40º D E omo D es bisectriz del ángulo, entonces D = 40º. Entonces: E = + (Ángulo exterior del triángulo) E = 40º + 80º E = 120º D Habilidad: plicación
pliquemos nuestros conocimientos 2. En la figura, D es transversal de gravedad del triángulo, D = 5 cm, = 8 cm y D = 6 cm. uánto mide el perímetro del triángulo D? ) 19 cm ) 20 cm ) 24 cm D) 26 cm E) Faltan datos para determinarlo. D uál es la alternativa correcta?
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: Llevando los datos a la figura: 6 cm 8 cm 5 cm D omo D es transversal de gravedad del triángulo, entonces D es punto medio de, por lo tanto D = 5 cm. 8 cm 6 cm 5 cm D 5 cm Perímetro del triángulo D = D + + D Perímetro del triángulo D = 5 cm + 8 cm + 6 cm Perímetro del triángulo D = 19 cm (Reemplazando) Habilidad: plicación
pliquemos nuestros conocimientos 3. En la figura, el triángulo es equilátero y el triángulo D es isósceles rectángulo en. uál es la medida del ángulo x? ) 45º ) 40º ) 30º D) 22,5º E) 15º uál es la alternativa correcta?
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: omo el triángulo es equilátero, entonces = =. demás, el triángulo D es isósceles rectángulo en, entonces D. Por lo tanto, el triángulo D es isósceles en, entonces: x + x + 60º + 90º = 180º 2x + 150º = 180º 2x = 180º 150º (Reduciendo términos semejantes) (Despejando 2x) E 2x = 30º x = 30º 2 x = 15º (Despejando x) Habilidad: plicación
pliquemos nuestros conocimientos 4. En el triángulo PQR de la figura, cuánto mide el ángulo x? R ) 35º ) 37,5º ) 40º D) 45º E) Faltan datos para determinarlo. P x α α 105º S 2α Q uál es la alternativa correcta?
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: En la figura, 105º es ángulo exterior del triángulo RSQ, entonces: α + 2α = 105º (Reduciendo términos semejantes) 3α = 105º α = 105º 3 α = 35º (Despejando α) Entonces, en el triángulo PSR tenemos que: Habilidad: plicación α + x + 105º = 180º 35º + x + 105º = 180º x + 140º = 180º x = 40º (Reemplazando α) (Sumando) (Despejando x)
pliquemos nuestros conocimientos 5. En la figura, Δ isósceles de base, D y E son puntos medios de y, respectivamente, y mide 8 cm. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FLS(S)? I) DE = 4 cm. II) D es simetral del triángulo. III) El área del triángulo DE es la cuarta parte del área del triángulo. E ) Sólo I ) Sólo III ) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. D uál es la alternativa correcta?
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: I) Verdadera, ya que: E 8 cm D y E son puntos medios de y, respectivamente, entonces DE es mediana y por lo tanto, mide la mitad de su lado paralelo, es decir, DE = 4 cm. D II) Verdadera, ya que: D es punto medio de y triángulo. D, entonces D es simetral del
pliquemos nuestros conocimientos Resolución: III) Verdadera, ya que: l trazar las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes, entonces el área de cada uno de estos triángulos es la cuarta parte del área del triángulo mayor, que en este caso es el triángulo. Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa. E E 1 4 D 3 4 Habilidad: nálisis