EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS MILITARES Academia Politécnica Militar EXAMEN DE GEOMETRIA 2004 1. En la siguientc figura, O es el centro de la circunferencia y QNOP = 8. i Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? e (1) QNP'O = (a) Sólo (1) (b) Sólo (11) (c) Sólo (111) (d) Sólo (1) y (11) (c) (117 (11) Y (111) 2. En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia y P'T es tangente.,: Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? (1) pr2=~rn J (11) p'~~=m~-m~~ (111) m (a) Sólo (1) (b) Sólo (11) N P ' m = P / O * + O H * J(c) Sólo (1) y (11) /
(d) Sólo (1) y (111) (4 (11, (11) Y (111) 3. Una carretera tiene una cuesta en línea recta cuya longitud total es de 1200 mt. Si la cuesta tiene una pendiente de 30, entonces la diferencia de niveles cntrc los extremos de la cuesta es: (a) 600 mt (b) 600~5 mt / (c) 400~5 mt / (d) 1200fi mt (e) 300~5 mt 4. Una colina mide 840 mt de altura. Si el ángulo de elevación a la cima desde un punto A es 60, entonces la distancia desde A a la cima es: (a) 840 mt (b) 840fi mt (c) 640& (d) 560& (e) 1240 mt mt mt 5. En la figura, el triángulo ABC cs rcctángulo en C, = 2fi, = 2 y M cs el punto medio de AB. C Cuál de las siguientes afirmacioncs cs falsa? -. (a) AC = 2 v (b) m = fi (c) CMlAB. (d) acam = 30" (e) x2 = m2 + m2 6. En la siguiente figura: 2-2 si áacb = 90, entonces + BD =...
(a) 7iB2 + DE2 + BE2 (b) m2 (c) E +E (d) E + DE2 (e) TE2 + DE2 7. En la siguiente figura el triángulo ABC es rectángulo en C. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? (a) (11, (11) Y (111) (b) Sólo (1) y (11) (c) Sólo (1) y (111) (d) Sólo (11) y (111) (e) Sólo (11) 8. En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo en A, # E, DElAB y 6EAD = y. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? (a) Sólo (1) y (11) (b) Sólo (1) y (111) (c) Sólo (11) y (111) (d) Sólo (11) (4 (11, (11) Y (111)
9. Un cubo tiene arista igual a 12 cm. Entonces su diagonal mide: (a) 12 cm (b) 12fi cm (c) 1 2 d cm (d) 36 cm L- (e) 24d cm 1! 10. Una naranja esférica tiene 10 cm de diámetro y posee 12 gajos, entonces el volumen de uno de los gajos es: 11. La base de un paralelepípedo rectangular tiene área 0.12 mt2 y el área de una cara lateral es 0.08 mt2. Si el volumen es 0.024 mt3, cntonces la superficie total de él es: (a) 0.26 mt2 (b) 0.52 mt2 (c) 0.48 mt2 (d) 0.4 mt2 (c) 0.8 mt2 3-12. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. AC = 8, = -AC y 4 BE = 3AC. D E Entonces la diagonal del rectángulo ABED mide:
fc) 26 (4 10 (e) 28 13. En un triángulo ABC, los ángulos interiores son cr = (52 - ll)", B = (52 + 11)" y y = (52 + 30)", entonces el triángulo es: (a) Obtusángulo (b) Acutángulo (c) Rectángulo (d) Isósceles (e) Isósceles y acutángulo 'r - - -- 14. ABCD es un trapecio tal que BC = CD = DA, CD = 10fi cm y los ángulos basales miden 45". Entonces, el perímetro del trapecio es: (a) 60& cm (b) 80& cm (c) 20(1+ 2&) cm (d) 20+3ficm (c) 10 (3 + fi) cm 15. El radio dc la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero de lado 30 cm es: (a) 5J3 cm (b) 15J3 cm (d) 25 cm (e) 10a cm 16. El suplemento de un ángulo es el triple del complemento, entonces el ángulo mide: (a) 19" n. (b) 60" /(c) 45" (d) 30" (e) 24" 1 a2 5a 17. Si el área de un cuadrado es --- + 25, con a > 40, entonces el perímetro 64 4 del cuadrado es:
a (a) - - 5 8 a (b) - - 5 4 a (c) - - 10 4 a (d) - - 20 2 a (e) - - 15 2 18. En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia. (a) Si QAOB = 80" entonccs QAPB = 40" (b) Si QDOC = 30" entonccs QAPB = 30" (c) Si QAOB = 80" y QDOC = 30" entonces QAPB = 70" (d) Si QAOB = 80" y QDOC = 30" entonces QAPB = 55" (e) Si QAOB = 80" y QDOC = 30" entonces QAPB = 25"d 19. En un triángulo ABC se conocen los vértices B y C, y el centro de la circunferencia inscrita. Entonces, para poder determinar el vértice A es necesario: (a) Conocer la altura ha. (t~) Conocer la transversal de gravedad tu. (c) Conocer la bisectriz b,. * (d) No es necesario otro dato. (e) Conocer la altura h, 20. i Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? (1) El número de lados de un polígono regular se conoce si su ángulo interior mide 156" ; (11) El número de lados de un polígono regular se conoce si su ángulo exterior mide 12" (111) El número de lados de un polígono regular se conoce si su ángulo interior mide 156" y su ángulo exterior mide 24". (a) Sólo (1) y (11) (b) Sólo (1) y (111) (c) Sólo (11) y (111),.I
(d) Sólo (111) (4 (111 (11) Y (111) 21. En la figura se tiene un triángulo ABC rectángulo en C, con 6BAC = 60" yab= 12. B Al haccr girar este triángulo en torno al lado BC se genera un cuerpo cuyo volumcn es: (a) 72&~ (b) 243&.ir (c) 81&7r (d) 108&.ir (e) 2 168~ 22. En la figura se tiene un rectángulo ABCD. Los puntos B, C y E son colineales, EA es bisectriz del 6DEC = 60" y AB = 18. Entonces la suma de las árcas de los triángulos AFD y FCE es: (a) 36& (b) 90& (c) 54& (d) 72& (e) 108& 23. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? (1) Las transversales de gravedad de un triángulo son concurrentes. (11) Las alturas de un triángulo son concurrentes. (111) Las bisectrices y las simetrales de un triángulo concurren en el mismo punto. (a) Sólo (11) (b) Sólo (11) y (111)
(c) Sólo (1) y (111) (d) Sólo (111) (e) Sólo (1) 24. En el triángulo ABC, los puntos M, N y R son los puntos medios de los lados. C Entonces, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (1) /Las transversales de gravedad de los triángulos ABC y MNR son las mismas. (11) Los triángulos AMR, BNM, CNR y MNR tienen la misma área. (111) Las alturas de los triángulos ABC y MNR son las mismas. (a) Sólo (1) y (11) (b) Sólo (1) y (111) (c) Sólo (11) y (111) (4 (I)l (11) Y (111) (e) Sólo (11) 25. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? Un trapecio ABCD es isósceles si y sólo si... (1)... las diagonales son iguales. (11)... los ángulos basales son iguales. / (111)... las simetrales de las bases AB y CD coinciden. (a) Sólo (1) y (11) (b) Sólo (1) y (111) (c) Sólo (11) y (111) (4 (I), (11) Y (111) (e) Sólo (11) 26. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (1) Un triángulo es isósceles si y sólo si una de las alturas divide al triángulo en dos de áreas iguales. (11) Un triángulo es isósceles si y sólo si una transversal de gravedad divide al triángulo en dos de áreas iguales. (111) Un triángulo es isóscelcs Si y sólo si una bisectriz divide al triángulo en ' dos de áreas iguales. (a) Sólo (1) y (IL)
(b) Sólo (1) y (111) (c) Sólo (11) y (111) (4 (11, (11) Y (111) (e) Sólo (111) 27. En el triángulo ABC de la figura, por el punto medio M de BC se traza la paralela ME a AB, y por el centro de gravedad G se traza la paralela FD a AB. r' Entonces, 28. En la siguiente figura se tiene que m = 4 0S y que PT y PT' son tangentes. n - Entonces TT' =... (b) ;&m (c) ;\/í5m (d) &m (e) 2 & m
29. En la figura: A-B Se tiene la siguiente información: (1) ABCD es un rectángulo cuyo ancho es la mitad del largo. (11) El triángulo CDE es equilátero de altura 3a. Entonces el área de la figura se puede calcular... (a) conociendo sólo (1). (b) conociendo sólo (11). (c) conociendo (1) y (II)../ (d) Se requiere más información. (c) (1) y (11) se contradicen. 30. En la siguiente figura, ABC es un triángulo rcctángulo en C, CDIAB y DEICA. SiBC=6,AB=lOyAE:EC=2:1. entonces AG = 5 (a) 4 5 (b) 3 8 (c) 3 2 0 (4 3 3 (e) 5