16/01/01 ÁLGEBRA Álgebra Unidad 4. El lenguaje algebraico. TEMA 4: POLINOMIOS Grupo: º A cómo expresarías?. La altura de mi hermano si te digo que mide 10 cm más que mi hermana: El perímetro de un triángulo equilátero cualquiera: El área de un círculo de radio desconocido: La suma de dos números naturales consecutivos: La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera: Álgebra vs Aritmética La Aritmética siempre opera sobre números concretos. El Álgebra elemental hace cálculos simbólicos en los que las letras representan números de valor desconocido o indeterminado y las operaciones se basan en las usadas con los números. Expresiones algebraicas Surgen de traducir a lenguaje matemático situaciones o enunciados en los que aparecen datos desconocidos o indeterminados que se designan por letras. Están formadas por números y letras relacionadas mediante operaciones Las letras reciben el nombre de indeterminadas y cada uno de los sumandos se denomina término. Permiten calcular distintos valores numéricos según el valor que tomen las letras. Valor numérico de una expresión algebraica. Es el resultado de la expresión numérica que resulta de sustituir las indeterminadas por números. Ejemplo: La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos: x +(x+1) Si x=1 entonces 1 +(1+1) = 1 +() =1+4=5 Si x= entonces +(+1) = +() =4+9=1 Si x=5 entonces Valor numérico de una expresión: Dadala expresiónalgebraica: x x x + 4 Su valor numéricopara x=-1será: 1 1 + 1 4 = = 1 4 = 10 1
16/01/01 Traducir a lenguaje algebraico 1 1.El triple de un número más dos..la raíz cúbica del resultado de restarle tres a un número..el cuadrado de la suma de dos números. 4.Un números impar. 5.La suma de dos números pares consecutivos. Traducir a lenguaje algebraico 1.La mitad de un número más dos..la edad de mi hermano si es 1 años más joven que yo..el 80% de mi paga semanal. 4.El valor final de una cantidad tras un incremento del 18%. 5.El precio final después de una rebaja del 15% en el precio. Tarea del libro sobre expresiones algebraicas Pág. 61: Ej. 1,,,4,9,10. Pág. 74: Ej. 76. Pág. 75: Ej. 91,9. Qué es un Monomio? Es una expresión algebraica producto de un número llamado COEFICIENTE multiplicado por una o más indeterminadas elevadas a exponentes naturales, que llamamos la PARTE LITERAL del monomio. Pon ejemplos de monomios: Cómo podemos definir el grado de un monomio? Monomio: 45 x y z Parte literal Grado de un monomio 45 x y z GRADO de la indeterminada: es el valor de su exponente. El grado de x es. El grado de y es. El grado de z es. Coeficiente GRADO del monomio: es la suma de los grados de sus indeterminadas. El grado del monomio es seis, porque +1+= 6.
16/01/01 Monomios semejantes: Decimos que dos MONOMIOS son SEMEJANTES si tienen sus partes literales iguales: 1. Escribe varios monomios que sean semejantes.. Cómo piensas que se pueden sumar?.intenta sumar los monomios que hayas escrito anteriomente. Monomios semejantes: 6x y z 11x y z Coeficientes: 6, 11 Parte literal: EJEMPLO x y z Grado de la indeterminada x : Grado del monomio: ++1=6 Copia y completa. Tarea del libro sobre la definición de MONOMIO monomio 9x -5xy coeficiente Parte literal 5 1a b 7 5 7 m n Pág. 6: Ej. 1,1,14. Pág. 74: Ej.77. grado Valor numérico si: X= x= e y= a=10 y b=1 m=0 y n=5 Qué es un polinomio? Expresión algebraica formada por sumas y restas de varios monomios no semejantes. (Polinomio en su forma reducida) Cada monomio es un término del polinomio. El término de mayor grado recibe el nombre de término principal y el de grado cero se denomina término independiente o constante El grado del polinomio es el de su término principal, es decir el de mayor grado. a x y yz + x + ) 5 7 9 Ejemplos de polinomios. Término de mayor grado: 5 Término principal: 5 x y x y b x x 4 ) 5 7 + 19 Término de mayor grado: 5x Término principal: 5x Grado del término principal: Grado del término principal:4 Grado del polinomio: Grado del polinomio: 4 Término independiente o constante: 9 Término independiente o constante: 19 Número de términos: 4 Número de términos: 4 4
16/01/01 Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio para x=a es el número que resulta de sustituir la x por a. P x x x x = + 4 Su valor numérico para x = 1 P P ( 1) = 1 4 = 10 1 = 1 1 + 1 4 Tarea del libro relacionada con los POLINOMIOS: Pág. 6: Ej. 15,16,17,18,0,1,. Pág. 74: Ej. 78,79,8. Pág. 75: Ej. 9,94. Tipos de expresiones algebraicas MONOMIO: a b BINOMIO: 7 x + 5 x y 7 TRINOMIO: 6 4 x y + x y + POLINOMIO: 4 4x yz + x 7xz + 4y + 9 5 x + 8x 7x + x 5 Expresiones algebraicas que contienen el signo = IDENTIDAD: Se cumple para cualquier valorque tomen las incógnitas ECUACIÓN: ( x ) 1 = x Se cumple sólo para determinados valoresde la incógnitas. x + = x + 4 a a = a + n m n m Toda el algebra de º Algebra con papas http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ies diegogaitan/departamentos/departamentos/d epartamento_de_matemat/recursos/algebrac onpapas/recurso/index.htm Operaciones con monomios SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Solo se podrán sumar o restar monomios semejantes de la siguiente forma: Se suman o restan sus coeficientes Se mantiene la misma parte literal La suma de monomios semejantes es otro monomio semejante a ellos. Si dos monomios noson semejantes, su suma no se puede reducir y el resultado noes un monomio. 4
16/01/01 Suma y resta de monomios Monomios semejantes Monomios NOsemejantes sumables No sumables a) xy xy 5z 15x + + + = = 1xy + 5z + 15x = = + + xy 5z 15x Tarea del libro relacionada con las sumas de monomios Pág. 65: Ej., 4 y 5. Operaciones con monomios MULTIPLICAR o DIVIDIR Se multiplican o dividen por separado sus coeficientes y sus partes literales. POTENCIAS Se multiplica la base consigo misma tantas veces como indica el exponente Recordad propiedades de las potencias: m n m n+ m n n m n n n x x = x x = x x y = x y MULTIPLICAR o DIVIDIR POTENCIAS Operaciones con monomios x y z xy 4 = x x y y 4 z = = 6 = 6 + 1 + 4 7 x y z x y z ( x y z) ( ) ( x ) ( y ) ( z) = = 6 9 = x y z = 7x y z Tarea del libro relacionada con las productos de monomios Pág. 67: Ej. 5. Operaciones con polinomios SUMAR Y RESTAR: Agrupamos sus términos semejantes y simplificamos. PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. 5
16/01/01 SUMAR Y RESTAR: Operaciones con polinomios PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMI0: s) 5x x + 8 + x 6x 10 = = 7x 9x r) x 4x + 6 x 7x 4 = = + + 1x x 10 p) 4x x 7x 4 = = 1x + 8x + 16x 5 4 -Suma y resta de polinomios. Pág. 65: Ej. 6,7,8,9,1. -Productos de un monomio por un polinomio. Pág. 67: Ej. 6. Operaciones con polinomios PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS Se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos los monomios del otro factor. Después, sumamos los monomios semejantes obtenidos. SACAR FACTOR COMÚN Se trata de extraer los factores comunes de todos los sumandos que forman el polinomio. El resultado será el producto de dos polinomios. Multiplicar polinomios Seguimos un orden: ( 5x x )( x x ) 5x ( x ) 5x x 5x x ( x ) x x x + + ( x ) + x + = + + + = + + + + + + 4 10x 1x x x 6 Sacar factor común Identificamos los factores comúnes: = ( ) ( ) + ( ) = ( + )( ) a)1x y 4xy 4xy xy 1 b x x x x x ) 5 5 5 c x x x x 4 ) + = + - Producto de polinomios. Pág.67: Ej. 40,4,4,44. Pág.75: Ej. 96. Pág.74: Ej. 84. - Sacar factor común. Pág.67: Ej. 8, 9. Pág.75: Ej. 100. 6
16/01/01 IDENTIDADES NOTABLES Igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor que tomen las incógnitas. Cuadrado de una suma: (a+b) = a +ab + b Cuadrado de una diferencia: (a-b) = a - ab + b Suma por diferencia: (a+b). (a-b) = a - b IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma: (a+b) = a +ab + b Identificamos incógnitas : a = x; b = ( x x) x + = x + x + = 9x + 1x + 4 + = IDENTIDADES NOTABLES IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una diferencia: (a-b) = a - ab + b ( x y ) = : ; Identificamos incógnitas a = x b = 4 x = x x + = 4x 1x + 9 Suma por diferencia: (a+b). (a-b) = a - b Identificamos incógnitas : a = ; b = x 4 x + x = x = 9 4x ( x y)( x y) + = - Identidades notables Pág.69: Ej. 51,5,5,54,55,56,58. Pág.75: Ej. 97,101. Trabajo para exponer en clase: Hasta el s XVll, cualquier relación matemática tenía que ser demostrada geométricamente, de modo que las indeterminadas eran concebidas como representación de su equivalente geométrico: x, x,x representaban un segmento, una superficie y un volumen respectivamente. Demostrar cual matematic@ del Renacimiento las identidades notables. 7
16/01/01 FRACCIONES ALGEBRAICAS La fracción algebraica se define como el cocientede dos polinomios: i) ii) iii) x + 1 x 1 x 4 x + x 7x 5 x + x + 1 Fracciones algebraicas equivalentes: Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando los productos cruzados de sus términos son iguales. P x Q x R x = P x S x = Q x R x S x x x + x 1 x + 1 = 1 + = + 1 ( x x) x ( x ) Tarea del libro: -Valor numérico de una fracción algebraica. Pág. 71: Ej. 6. - Fracciones algebraicas equivalentes Pág. 71: Ej.6, 64,65. Pág. 75: Ej. 98. Simplificación de fracciones algebraicas Imprescindible saber: Sacar factor común Identidades notables i ) ii ) x + 1 x + 1 1 = = 1 + 1 1 1 x x x x x x 1 = = x x x x ( x + ) 4 + + - Simplificar fracciones algebraicas Pág. 71: Ej.66, 70-a. Pág. 74: Ej. 88. Reducción a común denominador Útil para sumar y restar fracciones algebraicas ( x ) ( 1) 7 7 1 = x x x x x = = ( x 1) ( x 1) x x ( x 1) 7 7 x 1 x 7 x 1 + x 7x 7 + x 10x + = + = = = x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 8
16/01/01 - Suma y resta de fracciones algebraicas Pág.71: Ej. 67, 70-d,70-c. Pág.75: Ej. 99-a,99-b,10. Producto de fracciones algebraicas El producto es el producto de sus numeradores partido por el producto de los denominadores. No tiene sentido sacar denominador común. ( ) ( ) x x 1 x x 1 x x 1 4x x = = = x 5 x x 5 x x 5 x 15 4 4 Cociente de fracciones algebraicas - Producto y cociente de fracciones algebraicas El cociente es el producto de la primera por la inversa de la segunda. x x x x x x + : = = 5 x x 5 x x x 5 7 10 Pág. 71:Ej. 68 y 70. Pág. 74: Ej. 90-b,90-c. Pág. 75: Ej. 99-c,99-d. 9