TRIGONOMETRÍA La trigonometría es la rama de las Matemáticas que estudia las relaciones existentes entre las magnitudes de los lados y las amplitudes de los ángulos de un triángulo. La palabra trigonometría procede de las voces griegas trigonon (triángulo) y metron (medida), y significa medida de triángulos. La necesidad que tiene el hombre de medir distancias y ángulos en distintas situaciones hace que los estudios de trigonometría tengan multitud de aplicaciones en Topografía, Navegación, Aviación, etc. 1. Sistemas de medidas angulares Como ya sabes, un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo, y el origen de estas es el vértice del mismo. Existen diferentes unidades para medir ángulos. Las más utilizadas son las unidades del sistema sexagesimal y el radián. 1.1. Sistema sexagesimal El sistema de medida angular más utilizado en geometría elemental es el sexagesimal, cuya unidad principal es el grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es la amplitud del ángulo que resulta de dividir un círculo en 360 partes iguales, y se escribe 1. Así, un ángulo llano mide 180 y un ángulo recto 90. Si dividimos el grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada una de ellas recibe el nombre de minuto sexagesimal ( ). El minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales: cada una es un segundo sexagesimal ( ). 1 = 60 minutos sexagesimales = 60 1 = 60 segundos sexagesimales = 60 Ejemplo de notación: un ángulo de 7 grados, 3 minutos y 5 segundos se escribe 7 3 5. 1
Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el ángulo α = 46,54 está expresado en forma decimal, y el ángulo β = 15 45 18 en forma compleja. α = 46,54 = 46 3 4 β = 15 45 18 = 15,755 Ejercicio Utiliza tu calculadora científica para pasar a forma compleja los ángulos α = 46,54 y β = 354,9 ; y pasar a forma decimal el ángulo γ = 3 5 1. Ejercicio Dados los ángulos α =60 35 45 y β = 145 7 30, usa la calculadora para hallar en forma decimal y en forma compleja el valor de: a) α + β = b) β α = c) 3 α = d) β/ = Ejercicio A partir de un ángulo recto dibuja, de forma aproximada, ángulos de 45, 30 y 60. 1.. Sistema circular La unidad de medida es el radián.un radián (rad) es el ángulo central cuyo arco tiene igual longitud que el radio de la circunferencia. Observación: Un radián mide algo menos de 60.
1.3. Paso de radianes a grados, y viceversa. La longitud de la circunferencia es r. Por tanto, el número de radianes de un ángulo completo es. Sabemos que el número de grados de un ángulo completo es 360. Por tanto, y entonces, 360 = radianes 180 = radianes Estas igualdades nos permiten pasar de grados a radianes y viceversa. Ejercicio Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 90 b) 30 c) 5 Ejercicio Pasa a grados los siguientes ángulos: a) 5 rad b) rad c) rad 3 4 3 ojo! Este ejercicio puedes hacerlo mentalmente teniendo en cuenta que radianes=180. Razones trigonométricas Las razones trigonométricas establecen relaciones numéricas entre segmentos rectilíneos y ángulos, mediante las cuales se pueden calcular unos en función de otros..1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera que contenga dicho ángulo. Las razones trigonométricas fundamentales de un ángulo agudo α de un triángulo rectángulo son: 3
Se llama seno de, y se denota sen, al cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la de la hipotenusa, es decir: sen = cateto opuesto hipotenusa Se llama coseno de, y se denota cos, al cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo y la de la hipotenusa, es decir: cos = cateto contiguo hipotenusa Se llama tangente de, y se denota tg, al cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la del cateto contiguo, es decir: tg = cateto opuesto cateto contiguo Si aplicamos estas definiciones al triángulo tenemos: ˆ b senb a ˆ c senc a ˆ c cos B a ˆ b cos C a ˆ b tgb c ˆ c tgc b 4
Ejercicio Dado el triángulo calcula las razones trigonométricas fundamentales del ángulo. Observaciones: Como los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la hipotenusa, el seno y el coseno de un ángulo agudo tienen valores comprendidos entre 0 y 1. 0sen 1 0 cos 1 Observa que: b b tg a c c a sen cos Así, la tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el seno y el coseno del mismo y puede tomar cualquier valor real no negativo. tg sen cos Observa que: 5
b c b c b c a sen cos ( sen ) (cos ) 1 a a a a a a Pitagoras Así, para cualquier ángulo agudo se verifica que la suma de los cuadrados del seno y el coseno del ángulo es igual a 1. sen cos 1 (Fórmula fundamental de la trigonometría) Otras razones trigonómetricas: Además del seno, el coseno y la tangente de un ángulo, también se pueden definir sus valores inversos, que son, respectivamente, la cosecante, la secante y la cotangente de dicho ángulo, es decir, 1 cos ec sen 1 sec cos 1 cos cot g tg sen Ejercicio Utilizando la calculadora halla el valor de: a) sen 74 = b) cos 65 = c) tg 0 = d) cosec 13 = e) sec59 = f) cot g 87 = g) cos(38 15 43 )= h) sen (35 7 )= Ejercicio Calcula de forma aproximada la altura de los árboles de la figura: 6
Ejercicio Resuelve el triángulo siendo B 30 Ejercicio Con ayuda de la calculadora, halla la medida de los ángulos agudos cuyas razones trigonométricas son las siguientes: a) sen 0 5 b) cos 0 5 c) tg 1 d) senaˆ 0 7771 e) cos Bˆ 0 97437 f) tgcˆ 5 14455 Ejercicio Resuelve el triángulo Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo de la figura. Obtén también la medida de dichos ángulos. 7
Ejercicio El seno de un ángulo agudo vale 0,3. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de un ángulo agudo 5 del que se sabe que cos. 3 Ejercicio La tangente de un ángulo agudo vale 3. Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo y expresa los resultados mediante fracciones y radicales. 8
Actividad 1 Dibuja un triángulo equilátero de lado una unidad y traza la altura correspondiente a uno de sus lados. Aplica el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos obtenidos y calcula las razones trigonométricas fundamentales de los ángulos de 30 y 60. Comprueba los resultados en la calculadora. OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia. Actividad Dibuja un cuadrado de lado unidad. Traza la diagonal y calcula las razones trigonométricas fundamentales del ángulo de 45. Comprueba los resultados en la calculadora. OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia. 9
Actividad 3 Rellena la siguiente tabla: SENO COSENO TANGENTE 30 45 60 Ejercicio En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de 45 grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros. Calcula la altura del edificio. Ejercicio Halla el ángulo aproximado que forman los rayos solares con la superficie del suelo en el momento en que una estatua de metros de altura proyecta una sombra de 4 metros. Ejercicio Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m., que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura de la cometa. 10
Ejercicio Halla la medida aproximada del ángulo de inclinación que debe colocarse una escalera de 4 m. para que alcance una altura de 3 m. Ejercicio La base de un triángulo isósceles mide 10 m. y el ángulo opuesto 50. Halla la altura del triángulo y el área. Ejercicio Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 0,1 m. Halla el ángulo que forman las ramas del compás. Ejercicio Para hallar el ancho de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y medimos el ángulo (53 ) bajo el cual se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 0 m. de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol, 3. Cuánto mide el ancho del río? 11
Ejercicio Considera el rombo ABCD de la figura. a) Calcula el área del rombo. b) Calcula el perímetro del rombo. Ejercicio El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el precio de cada metro cuadrado es de 3500 euros. Cuál es el precio del local? 1
.. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 13
Como sabes, no solamente existen los ángulos agudos, sino que podemos ver ángulos mayores de 90 hasta 360. Incluso podemos imaginar ángulos superiores a 360 como, por ejemplo, el que recorre un niño que está montado en un tiovivo y da 0 vueltas completas. Habrá recorrido 0 360 =700. Ángulos orientados Si el ángulo se recorre de a hacia b, en sentido contrario a como giran las agujas de un reloj, se considera positivo y en caso contrario negativo. Los ejes de coordenadas dividen al plano en regiones (cuatro ángulos rectos) cada uno de los cuales se dice que es un cuadrante. Un ángulo se representa en un sistema de coordenadas cartesianas haciendo coincidir su vértice con el origen de coordenadas (O) y uno de sus lados con el semieje positivo de abscisas (OX), el cual se toma como origen para medir los ángulos. Los ángulos positivos se orientan de forma que al recorrerlos desde el origen de ángulos hasta el otro lado, se realice un giro en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los ángulos negativos se orientan de manera que el giro se realice en el mismo sentido que el de las agujas del reloj. El cuadrante hasta el que se extiende permite clasificarlos en uno de los cuatro grupos siguientes: Ángulos del segundo cuadrante Ángulos del primer cuadrante 90 180 Ángulos del cuadrante 180 70 3 tercer 0 90 0 Ángulos del cuarto cuadrante 70 360 3 14
Así, pues, nos encontramos con ángulos de cualquier amplitud y pretendemos conocer sus razones trigonométricas. Obviamente, cuando un ángulo mide más de 90 ya no se puede definir el seno, coseno y tangente de la misma manera que antes. Por eso a continuación vamos a diseñar un procedimiento que nos permite definir las razones trigonométricas de cualquier ángulo, y que cuando el ángulo es agudo coinciden con las definiciones que ya conoces. Por ello consideremos un sistema de referencia cartesiano y dibujamos una circunferencia de radio unidad con centro en el origen de coordenadas. Tal circunferencia acompañada del sistema de referencia y sobre la cual se sitúan los ángulos como anteriormente se ha descrito se le llama circunferencia goniométrica. Al considerar un ángulo representado en el sistema de coordenadas, su lado cortará a la circunferencia en un punto P de coordenadas (x,y). Pues se definen las razones trigonométricas de ese ángulo en función de las coordenadas x e y del punto P. y sen y sen 1 sen y sen 1 x cos x cos 1 cos x cos 1 15
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica los ángulos 30, 180, 60 y - 45. Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica el ángulo 450. Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen45, cos 45, sen 10, cos10. Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen10, cos 10, sen 330, cos 330. 16
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen( 30 ), cos( 30 ). Actividad En la circunferencia goniométrica siguiente están representados los ángulos: 0, 90, 180, 70 y 360. Observa y calcula: 0 = 0 rad sen0 cos 0 tg0 90 = sen90 cos90 tg90 rad 180 = rad sen180 cos180 tg180 70 = 3 sen70 cos 70 tg70 rad 360 = rad sen360 cos 360 tg360 Comprueba los resultados en la calculadora. OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia. 17
Observaciones: Si dos ángulos tienen el mismo punto asociado entonces tienen las mismas razones trigonométricas, de ahí que las razones trigonométricas de 360 sean las mismas que las de 0. El seno y el coseno de cualquier ángulo tienen valores comprendidos entre -1 y 1. 1 sen 1 1 cos 1 Para cualquier ángulo se siguen cumpliendo las propiedades fundamentales de la trigonometría, es decir, sen cos 1 y tg sen cos. Con lo que hemos aprendido observa que: SENO COSENO El seno es positivo para los ángulos del 1º y º cuadrante, y es negativo en el 3º y 4º. El coseno es positivo para los ángulos del 1º y 4º cuadrante, y es negativo para los del º y 3º. Y por tanto: SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE 18
3 Ejercicio Sabiendo que sen y que 180 70, calcula las demás razones 5 trigonométricas del ángulo. Ejercicio Sabiendo que cos y que 3, calcula las demás razones 3 trigonométricas del ángulo. Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora: a) b) 3 A 5cos cos0 cos cos cos 3 A 5tg 3cos tg0 sen sen c) A 4 sen cos cos 6 4 d) e) A sen sen sen 4 3 A cos cos 0 cos cos Ejercicio Dibuja en la circunferencia goniométrica dos ángulos cuyo seno valga 0 7. Podrías decirme el valor de estos ángulos? 19
.3.Relación entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos. REDUCCIÓN AL PRIMER GIRO Para representar un ángulo mayor de 360 se deben dar algunas vueltas completas y pararse en una determinada posición. Se verifica entonces que las razones trigonométricas para ese ángulo son las mismas que las de. Así, por ejemplo, el ángulo de 750 se representa dando dos vueltas completas más 30 puesto que 750 = 360 +30 y, por tanto, las razones trigonométricas del ángulo de 750 son las mismas que las de 30. sen750 sen30 cos 750 cos 30 tg750 tg30 1 3 3 3 Dado un ángulo 360, reducirlo al primer giro consiste en buscar un ángulo 0 360 tal que las razones trigonométricas de coincidan con las razones trigonométricas de. En general, y entonces =360 k +. Pues: sen sen cos cos tg tg Ejercicio Halla las razones trigonométricas de 40. 0
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Muchas veces interesa expresar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera en términos de las razones de ángulos del primer cuadrante. Dado un ángulo 1 er cuadrante, reducirlo al primer cuadrante consiste en buscar un ángulo del 1 er cuadrante tal que ambos, salvando el signo, tengan las mismas razones trigonométricas. Caso 1 Si ºcuadrante (se relaciona con 180 - ) sen sen(180 ) cos cos(180 ) tg tg(180 ) Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 150. Caso Si 3 er cuadrante (se relaciona con -180 ) sen sen( 180 ) cos cos( 180 ) tg tg( 180 ) Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 5. 1
Caso 3 Si 4ºcuadrante (se relaciona con 360 - ) sen sen(360 ) cos cos(360 ) tg tg(360 ) Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 300. Ejercicio Calcula: a) tg 135 = b) cos40 = c) sen 315 = d) tg 930 = Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora: a) b) c) 4 A sen sen sen 3 3 7 4 11 A sen cos tg tg 3 6 3 6 5 3 7 A sen cos sen 4 4 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS sen( ) sen cos( ) cos tg( ) tg Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de -30. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Se dice que dos ángulos y son complementarios si + = 90 ( 90 ). Si y son complementarios se cumple que: sen cos sen(90 ) cos cos sen cos(90 ) sen Ejemplo sen60 cos 30 cos 60 sen30 3 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS SUMA sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg( ) 1 tg tg DIFERENCIA sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg( ) 1 tg tg 3
Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 75 teniendo en cuenta que 75 = 45 +30. Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 15 teniendo en cuenta que 15 = 45-30. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE sen( ) sen cos cos( ) cos sen tg tg( ) 1 tg Se demuestran teniendo en cuenta que = + y por las fórmulas que nos dan las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. Ejercicio Calcula las razones trigonométricas fundamentales de 10 a partir de las de 60. 4
Ejercicio Sabiendo que de x : 3 senx y que x, calcula, sin hallar previamente el valor 5 a) cos x b) senx c) sen( x ) 6 d) cos( x ) 3 e) tg( x ) 4 Ejercicio Sabemos que calcula: 3 cos x y que senx 0.Sin hallar previamente el valor de x, 4 a) cos( x) b) cosx c) sen( x) d) tg( x) 5
Ejercicio Prueba que cos( x ) cos( x ) cos x 3 3 Ejercicio Prueba que cos cos( ) sen sen( ) cos Ejercicio Prueba que sen sen 1 cos sen sen 1cos Ejercicio Prueba que cos x senx cos x 1 senx cos x senx 6
Ejercicio Simplifica las expresiones: a) ( tg x 1) cos x sen cot g b) tg cos ec sen c) 1 cos d) 1 1 tg x tg x 7
Si.4.Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente. 1 sen, quién es? Es decir, qué ángulos tienen como seno el número 1? =30 pero ojo! no es el único sino también 30 +360, y también 30 + 360, y también 30 +3 360, y también 30-1 360, y también 30-360, En general, 30 +k 360 con kz. Pero también puede ser 150 ya que 1 sen150, es decir, 150 es un ángulo con seno 1. Como antes, también 150 +360 tiene seno 1,y también 150 + 360, y también 150 +3 360, y también 150-1 360, y también 150-360, En general, 150 +k 360 con kz. La función arcsen busca los ángulos cuyo seno es un cierto número dado. Así, 30 k360 con kz 1 1 sen arcsen o bien 150 k360 con kz En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo seno es un cierto número se utiliza la tecla que suele corresponder a la secuencia shift sin sin 1 Ej. 315 k360 con kz sen arcsen o bien 5 k360 con kz 8
La función arccos busca los ángulos cuyo coseno es un cierto número dado. En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo coseno es un cierto número se utiliza la tecla cos 1 que suele corresponder a la secuencia shift cos Ej. Ej. 60 k360 con kz 1 1 cos arccos o bien 300 k360 con kz 135 k360 con kz cos arccos o bien 5 k360 con kz La función arctg busca los ángulos cuya tangente es un cierto número dado. En la calculadora, para hallar el ángulo cuya tangente es un cierto número se utiliza la tecla 1 tg que suele corresponder a la secuencia shift tg Ej. Ej. 45 k360 con kz tg 1 arc tg1 o bien 5 k360 con kz 80,49 k360 con kz tg 5, 4 arc tg( 5, 4) o bien 100,49 k360 con kz Ejercicio Escribe todos los ángulos 0,360 que verifican: a) cos 0 b) sen 1 c) cos d) sen 3 3 e) sen f) cos 1 1 g) tg 3 h) tg 0 9
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Ejercicio Escribe todos los ángulos que verifican: a) sen 0 b) cos 1 c) sen d) cos e) sen 1 f) 3 tg 4 g) tg 1 h) sen cos 31
.5. Ecuaciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que aparecen funciones trigonométricas actuando sobre un ángulo incógnita que, como en todas las ecuaciones, hay que despejar. Ej. xsenx 3 Ej. sen x cos x 0 Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los valores de los ángulos que la satisfacen. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas sobre la ecuación inicial, pues es frecuente que aparezcan soluciones extrañas. Para resolver una ecuación trigonométrica daremos los siguientes pasos: I. Expresar mediante transformaciones convenientes todas las razones trigonométricas en función de un mismo ángulo. Ej. sen x cos x 3 senx cos x cos x 3 senx cos x 3 Asi tengo todo en funcion del angulo x. II. Expresar todo en función de una misma razón trigonométrica (normalmente en función del seno, coseno o tangente). Debo evitar, siempre y cuando sea posible, la presencia de raíces. Ej. senx cos x 3 sen xcos x1 cos x1 sen x senx (1 sen x)=3 III. Ej. Mediante incógnitas auxiliares llegamos a ecuaciones que ya sabemos resolver. cos x3cos x Observa que en esta ecuación se tiene todo en función del ángulo x y ya todo también en función de la razón trigonométrica cos x. Hacemos el cambio de variable cos x t. Nos queda: t 3t t 3t 0 3 5 1 3 3 4 ( ) 3 9 16 35 4 4 t 4 4 3 5 8 4 4 3
Si 60 k360 con kz 1 1 1 t cos x x arccos o bien 300 k360 con kz Si t cos x No tiene solución porque la función coseno está acotada entre -1 y 1. Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x 1 0 b) cosx1 cos x c) cos x senx 1 d) 3tg x 3tgx 0 e) 1 sen x cos x 6 3 f) senx cos x g) cos 30 x senx 33
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.6. Resolución de triángulos cualesquiera. TEN EN CUENTA: En un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la relación entre las longitudes de sus lados, la complementariedad relaciona sus ángulos, y las razones trigonométricas relacionan los ángulos con las longitudes de los lados. En los triángulos no rectángulos (acutángulos y obtusángulos) también existen diversas relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados. De estas relaciones, las más importantes son: el teorema de los senos y el teorema del coseno. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180. En todo triángulo el ángulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ángulo menor tiene enfrente el lado menor. Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia. TEOREMA DE LOS SENOS En un triángulo cualquiera de lados abc,,, y de ángulos A ˆ, B ˆ, C ˆ, se cumplen las siguientes igualdades: a b c senaˆ senbˆ sencˆ El teorema da lugar a tres igualdades: a b a c b c senaˆ senbˆ senaˆ sencˆ senbˆ sencˆ 35
TEOREMA DEL COSENO El teorema de Pitágoras relaciona los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo. Ahora bien, y si el triángulo no es rectángulo? En un triángulo cualquiera de lados abc,,, y de ángulos A ˆ, B ˆ, C ˆ, se cumple que: a b c bccos A b a c accos B c a b abcosc ˆ ˆ ˆ Ejercicio 1 Resuelve los siguientes triángulos: a) a6 m., Bˆ 45, Cˆ 105 b) a 4 cm., Bˆ 30, b 5 cm. c) a 15 cm., b cm., c 17 cm. d) a 10 m., b 7 m., Cˆ 30 e) a 40 cm., b 60 cm., Aˆ 4 Ejercicio Dos amigos están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical que una cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con un ángulo de elevación de 50 y el otro con un ángulo de 38. Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa? Ejercicio 3 En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. Bajo qué ángulo se ve la portería? Ejercicio 4 Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 9 y 43 con la horizontal, respectivamente. A qué altura está el avión? 36