TRABAJO PRÁCTICO Nº 9. TRIGONOMETRÍA. 1º PARTE: REVISIÓN. Resolución de triángulos rectángulos.

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1 Instituto Dr. Juan Segundo Fernández Área y curso: Matemática 4º año. TRABAJO PRÁCTICO Nº 9. TRIGONOMETRÍA Profesora: Graciela Bejar 1º PARTE: REVISIÓN. Resolución de triángulos rectángulos. Plantea y resuelve los siguientes problemas de revisión de lo aprendido en 3º. Hacé un dibujo para cada problema, te ayudará a interpretarlo. 1) Un hombre está parado sobre terreno nivelado, a 200 m de la base de una torre de TV. Encuentra que tiene que mirar hacia arriba con un ángulo de 26º30 para ver la parte superior de la torre. Cuál es la altura de la torre? 2) Un cable tiene 13,6 m de largo y tiene un extremo fijado en la tierra y el otro en la parte superior de un poste de 6,5 m de altura. Qué ángulo forma el cable con la tierra? 3) Desde una torre de observación se ven dos objetos en el suelo del mismo lado de la torre. Los objetos y la base de la torre forman entre sí una recta y el ojo del observador está a una altura de 65,3 m respecto del terreno. Los ángulos de depresión respecto de los objetos son de 53º10 y 27º50 A qué distancia se encuentran entre sí los objetos? 4) Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un hombre de 1,75 m de altura proyecta una sombra de 3m? 5) El hilo de un barrilete forma un ángulo de 31º40 con la tierra y se han soltado 45,5 m de hilo, A qué altura se encuentra el barrilete? 6) Desde un globo que vuela a 2 km de altura los ángulos de depresión formado por pueblos con la línea visual del globo son de 81º 20 y 13º 40. A qué distancia se encuentra un dos pueblo del otro? 7) Un vector aplicado en el origen, forma con el eje x un ángulo de 40 º, calcular sus componentes horizontal y vertical si su módulo es 5. 8) Ubicar los siguientes vectores en un sistema cartesiano y hallar su módulo y el ángulo que cada uno de ellos forma con el semieje positivo de las x: a) v= (8,6) b) w= (-5,4) c) z= (-8,-8) d) u= (6,-3) 9) Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuya base mide 18 cm y el ángulo opuesto a ella mide 34º 50? 10) Si el perímetro de un triángulo isósceles es 26 cm, y su base mide 10 cm, cuánto miden sus ángulos interiores?

2 2º PARTE. ÁNGULOS. SISTEMA CIRCULAR: EL RADIÁN. Nos ubicamos en una circunferencia y dibujamos un ángulo central que abarque un arco que mida lo mismo que el radio de la circunferencia en cuestión. Este ángulo es el RADIÁN. Como has visto anteriormente, el diámetro de una circunferencia entra en su contorno veces, o sea que el radio entra 2 veces, entonces si dividimos el ángulo central de 360º de una circunferencia por 6,28, obtenemos el valor aproximado del radián: =1 Nota: El sistema circular permite expresar la medida de un ángulo simplemente con un número real, sin unidades. Este número expresa la cantidad de veces que entra el radio en el arco que abarca el ángulo central que se pretende medir.

3 ÁNGULOS EN SISTEMA CIRCULAR: ÁNGULOS EN SISTEMA SEXAGESIMAL

4 1) Indica a qué cuadrante pertenecen cada uno de los siguientes ángulos: 1 =300º; 2 = - 200º; 3 = 800º; 4 = 760º; 5 = 160º; 6 = 200º. Dibújalos aproximadamente en un sistema ortogonal. 2) Indica cuáles de los siguientes pares de ángulos tienen el mismo lado terminal: a) 100º y -260º; b) 120º y 240º, c) -60º y 300º, d) 100º y 460º, e) 50º y 770º. 3) Trabaja con la calculadora científica y expresa en grados, minutos y segundos, las medidas de los siguientes ángulos: 2 ; 2radianes ; 3 ; 0,20radianes ; 5 ; ; 3,5 radianes ) Expresa en radianes los ángulos de los ejercicios 1 y 2. 5) Calcula la medida del arco que subtiende un ángulo central de 135º en una circunferencia de 12cm de radio.(longitud de la circunferencia= ) 6) Una autopista describe un arco de circunferencia de 200m de longitud. Cuál es el radio de la circunferencia si el ángulo central mide 2 radianes? 7) Calcula en metros la longitud del radio de una circunferencia tal que el arco correspondiente a un ángulo de 0º5 tiene una longitud de 39,27cm. 8) El minutero de un reloj mide 12cm. Qué distancia recorrió su extremo al cabo de 20? 9) Un ángulo central subtiende un arco de 4cm en una circunferencia de 14cm de diámetro. Encuentra la medida en radianes y en grados. 10) El extremo de un péndulo, de 40cm de longitud, describe un arco de 5cm. Cuál es el ángulo de oscilación del péndulo en radianes? 11) Halla, en radianes, la medida del ángulo central generado en sentido positivo que determina en una circunferencia un arco que: a) Mide el triple que el radio b) Mide el doble del diámetro.

5 FUNCIONES RECÍPROCAS. 12) Completa el cuadro: Punto perteneciente al lado terminal de (1;1) (-4;3) (-2;-3) (8;-6) sen cos tg cosec sec cotg Valor de CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: SIGNOS DE LAS FUNCIONES.

6 13) Dibuja en una circunferencia trigonométrica un ángulo de 675º. Traza los segmentos asociados al seno, coseno y a la tangente de dicho ángulo. Idem para ángulos de 150º y 210º. 14) Con la información dada en cada caso, indica de qué cuadrante es cada ángulo a) sen 0 cos 0 b) sec 0 cot g 0 c) tg 0 sen 0 15) Responde V o F. Justifica en ambos casos. (Puedes hacerlo con un gráfico.) a) Todos los ángulos del 1º cuadrante tienen un ángulo del 4º cuadrante tal que sus cosenos son iguales. b) Todos los ángulos del 1º cuadrante tienen un ángulo del 4º cuadrante tal que sus senos son iguales. c) Si sabemos que el cos = 0,3, y que, hay dos valores del ángulo que verifican esto. d) El seno de un ángulo menor que 180º es siempre positivo. e) El coseno de un ángulo menor que 180º es siempre positivo. f) El coseno de un ángulo comprendido entre 90º y 270º es negativo. g) La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complementario para todo ángulo menor a 90º. h) Si un ángulo está en el tercer cuadrante, su tg es +, su seno y su coseno+. i) Si el seno de un ángulo es + y su coseno -, el ángulo pertenece al 2º cuadrante. j) ) Si el seno de un ángulo es - y su coseno +, el ángulo pertenece al 4º cuadrante. 16) a) Si 810º 900º qué se puede asegurar respecto del signo de sen, cos, tg? b) Idem para. c) Idem para

7 17) Graficar en un dominio de, con intervalos de, las funciones seno, coseno y tangente, completando la siguiente tabla de valores: (Ver apéndice al final de la guía). Sen x Cos x Tg x 0 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º 18) Identifica con diferentes colores cada una de las siguientes gráficas: (Indica las referencias al costado) a) y=sen (x) b) y= cos (x) c) y= tg (x) Observa e indica los valores máximos y mínimos que toma cada una de ellas, sus ceros, conjunto de positividad y negatividad.

8 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. RELACIÓN PITAGÓRICA. Para todo ángulo se verifica que: x=1 RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento: RELACIÓN SENO, COSENO Y TANGENTE. Teniendo en cuenta estas relaciones, resuelve: 19) Sabiendo que cos 38º=0,78, calcular por relaciones, sen 38º, cos 52º y sen 52º.Luego verifica los resultados obtenidos con la caculadora. 20) Sabiendo que sen 47º=0,73, calcular cos 47º, sen 43º y cos 43º. Luego verifica los resultados obtenidos con calculadora. 21) Calcular todas las funciones trigonométricas estableciendo relaciones. (e<0,001) a) sen 0,707, 2º cuadrante b)cos ec 3, 3º cuadrante c)cos x 0,866, x 3º cuadrante. d)cos x 0,5, x 4º cuadrante. ECUACIONES. 22) Resuelve gráfica y analíticamente las siguientes ecuaciones en un intervalo de 360º. a) sen x=0,5 d) sen x=-1 g) sen x=0 b) cos x=0 e) cos x=1 h) cos x=-0,5 c) sen x= 1 f) cos x=-1

9 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. 23) Hallar todos los valores de x comprendidos entre 0 y 360º, que satisfacen las siguientes igualdades. a)3. senx 1 b)3.cos x 1 c) senx 0,15 d)6.cos x 0 e)cos x 0,36 f ) senx 1,25 g) senx 0,866 h)cos x 0,58 i)3.cos x 6 j) sen k) sen 2 2 l) tgx 3 m) tg x 1 x cos 2 2 x 3 x 24) Ecuaciones que se resuelven aplicando la fórmula resolvente: Hallar x, tal que a) b) c) d) e)

10 GRÁFICOS. Amplitud de onda, frecuencia, período y desfasaje. 25) Utilizando algún programa de gráficos (Grafhmaty deh, Geogebra), haz los siguientes en tu computadora e imprímelos. Pégalos en la carpeta. Averigua qué se entiende por: Amplitud, período, frecuencia y desfasaje de onda. a) y= sen (2x) c) y= 2.sen(x) e) y= sen (x+30º) b) y= sen (3x) d) y= 3.sen(x) f) y= sen(x-30º) Compara cada par e indica tus observaciones. 26) Graficar. Indicar período, amplitud, frecuencia y ángulo de fase. a) y sen( x ) 2 b) y 2. sen(3x ) 3 c) y 3. sen( x ) d) y cos( x ) 4 e) y 3.cos(2x ) f ) y 3.cos( x ) 2 1 g) y sen x 2 1 h) y cos x 2 27) Resuelve gráfica y analíticamente las siguientes ecuaciones en un intervalo de 360º. Expresa las soluciones en sistema sexagesimal y circular. a) y= 2.sen(3x-90º), para y=0; y=1; y=2; y=-1; y=-2 b) y= 3.cos (2x+60º), para y=0; y=1; y=2; y=-1; y=-2 c) y= 2.sen 3x, para y=1; y=-1

11 COORDENADAS POLARES DE NÚMEROS COMPLEJOS. Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por z. Argumento de un número complejo El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z). Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

12 Expresión de un número complejo en forma polar z = r α z = r arg(z) = α (r es el módulo) (α es el argumento) Reales e imaginarios puros de módulo unidad: z =1 0º = 1 z =1 180º = 1 z =1 90º = i z =1 270º = i Ejemplo: Sea el número complejo Z= 3-4i, que pertenece al 4º cuadrante, expresarlo en coordenadas polares. 1) Calculo su módulo aplicando Pitágoras: = 5 2) Calculo su argumento: = arctg(-4:3)=-53º7 (Siempre observá que el ángulo se remita al cuadrante indicado.) Luego las coordenadas polares de Z= 5; -53º7

13 Ahora haremos el proceso inverso, cómo pasar un número complejo dado en coordenadas polares a coordenadas cartesianas, o sea expresarlo en forma binómica: z = 2 120º x= 2.cos 120º y=2,sen 120º Existe una fórmula para pasar a la forma binómica rápidamente que se basa en lo explicado anteriormente. Realmente no es necesario aprenderla de memoria, simplemente observa:

14 OPERACIONES CON COORDENADAS POLARES. La suma y la resta son fáciles trabajando con coordenadas cartesianas, o sea usando al número complejo en forma binómica, pero la multiplicación y división se facilitan enormemente trabajando en coordenadas polares. Multiplicación de complejos en forma polar La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos. Ejemplo: División de complejos en forma polar La división de dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos. Ejemplo: EJERCICIOS. 28) Dados los siguientes números complejos, expresarlos en coordenadas polares.. = 12-5i 29) Efectuar las siguientes operaciones en coordenadas polares. a) = b) c) = d). = e) 30) Expresar los resultados del ejercico 29 en coordenadas cartesianas.

15 TEOREMAS PARA LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Teorema del seno Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. 29) Resolver los siguientes triángulos: a) C=13 cm, B=15 cm, a=20º, b) A=20cm, B=25 cm, C=18 cm c) a= 40º, c=70º, C=15 cm. d) a=50º, c=60º, B= 1 e) c= 100º, A=40 cm, B=30 cm 30) Un bote tiene dos opciones para atracar en la costa, el punto A o el punto B. Para alcanzar el punto A, debe seguir una dirección que forme un ángulo de 75º con la orilla. Para alcanzar el punto B, debe recorrer 9,5km hasta la orilla formando un ángulo de dirección de 60º con ésta. Dónde le conviene atracar para recorrer menos distancia? 31) Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100m de ella. Si el ángulo medido es de 20º y la torre forma un ángulo de 68º con el suelo, determina la altura de la torre. 32) Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. 33) Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 34) En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo. El primero nada a una velocidad promedio de 6km por hora y el segundo a 5km por hora. Comienzan a alejarse entre si con un ángulo de 35º. Después de media hora de competencia el segundo sufre un calambre. Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio? 35) Dos personas van por un camino, pero en un punto hay una bifurcación formándose dos caminos con un ángulo de 45º entre ellos. Cada uno toma un camino distinto, el primero avanza a una velocidad de 4km/h y el segundo a 5,6km/h. A qué distancia se encuentra uno del otro luego de 3,5 horas?

16 APÉNDICE.

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