ESCALAS DE FIGURAS Y FACTOR DE ESCALA 4.. y 4..2 Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcionalmente) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La razón de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una razón de escala, es decir, NUEVA ORIGINAL. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo utilizando una ampliación de 200% F C 26 mm mm 5 mm 0 mm B A 2 mm E 24 mm D Razones de longitud de los lados: DE AB = 2 24 = 2 FD CA = 26 = 2 FE CB = 0 5 = 2 triángulo original nuevo triángulo El factor de escala para la longitud es de 2 a. Ejemplo 2 Figuras A y B a la derecha son semejantes. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuentre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la Figura B. 2 A 0 8 B El factor de escala es 2 = 4. Las longitudes de los lados que faltan de la Figura B son: 4 (0) = 2.5, 4 (8) = 4.5, y 4 (20) = 5. 20 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras semejantes en los problemas a 4.. Original Nueva 2. Original Nueva D A 8 6 C B H E 4 G F 5 4 2 4 8. Original Nueva 4. Original Nueva 6 2 7 6 4 4 9 4 2 2 5. Un triángulo tiene lados 5, 2 y. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 00%. a. Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original? 6. Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y un ancho de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 25%. a. Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo? b. Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original? Respuestas. 4 8 = 2 2. 2 8 = 4. 2 4. 5. a. 5, 6, 9 b. 6. a. 5 cm y 0 cm b. 4 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
RELACIONES PROPORCIONALES 4.2., 4.2.2 y 4.2.4 Una proporción es una ecuación que establece que las dos razones (fracciones) sean iguales. Dos valores están en una relación proporcional si una proporción puede ser configurada para relacionar los valores. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 4.2., 4.2.4 y 7.2.2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo El costo promedio de un par de pantalones vaqueros de diseño ha aumentado $5 en 4 años. Cuál es la tasa unitaria de crecimiento (dólares por año)? Solución: La tasa de crecimiento es denominador de uno. Usando un Uno Gigante: 5 dólares 4 años = dólares año. 5 dólares 4 años. Para crear una tasa unitaria necesitamos un 5 dólares 4 años = 4 4 dólares año.75 dólares año. Ejemplo 2 La famosa receta de chili de Ryan utiliza cucharadas de chile en polvo para 5 porciones. Cuántas cucharadas se necesitan para la reunión familiar que necesita 40 porciones? Solución: La tasa es 5 cucharadas porciones 5 = 40 c. por lo que el problema puede ser escrito como una proporción: Un método de resolver la proporción es usar el Uno Gigante: Otro método es utilizar la multiplicación cruzada: Por último, ya que la tasa unitaria es 5 cucharada por porción, la ecuación c = 5 p representa la situación proporcional general y se podría sustituir el número de porciones que se necesitan en la ecuación: c = 5 40 = 24. Con el uso de cualquier método, la respuesta es 24 cucharadas. 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Ejemplo Basándose en la tabla de la derecha, cuál es la tasa unitaria de crecimiento (metros por año)? Solución: +2 Altura (m) 5 7 Años 75 85 +0 Problemas Para los problemas a 0 encuentre la tasa unitaria. Para los problemas a 25, resuelva cada problema.. Teclear 7 palabras en 7 minutos (palabras por minuto) 2. Leer 258 páginas en 86 minutos (páginas por minuto). Comprar 5 cajas de cereal por $4.5 (costo por caja) 4. Anotar 98 puntos en un partido de 40 minutos (puntos por minuto) 5. Comprar 2 4 6. Comprar 2 libras de plátanos cuestan $.89 (costo por libra) libras de cacahuates por $2.25 (costo por libra) 7. Cortar 2 acres de césped en 4 de la hora (hectáreas por hora) 8. Pagar $.89 por.7 libras de pollo (costo por libra) 9. peso (g) 6 8 2 20 longitud (cm) 5 20 0 50 Cuál es el peso por cm? 0. Para el gráfico de la derecha, cuál es la tasa en millas por hora?. Si una caja de 00 lápices cuesta $4.75, cuánto espera pagar por 225 lápices? 2. Cuando Amber hace su tarea de matemáticas, ella termina 0 problemas cada 7 minutos. Cuánto tiempo le tomará a ella en completar 5 problemas? Distancia (millas) 40 0 20 0 0.5.0.5 Tiempo (horas). Ben y sus amigos están teniendo un maratón de televisión, y después de 4 horas han visto 5 episodios de la serie. Cuánto tiempo se tardarán en completar la temporada, que tiene 24 episodios? 4. El impuesto de un jarrón de $600 es $54. Cuál debería ser el impuesto de un jarrón de $700? 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
5. Utilice la tabla de la derecha para determinar cuánto tiempo tomará el club Spirit en encerar 60 coches. carros encerados horas 8 6 2 6 2 6. Al hornear, Evan descubrió una receta que requiere 2 tazas de nueces por cada 2 4 tazas de harina. Cuántas tazas de nueces se necesitará para 4 tazas de harina? 7. Basándose en el gráfico, qué sería el costo para rellenar 50 botellas? 8. Sam creció 4 pulgadas en 4 2 habrá de crecer en un año? meses. Cuánto 9. Al trotar en la tarde, Chris tardó 42 minutos en correr millas. Cuántas millas puede correr 4 en 60 minutos? 20. Si Caitlin necesita latas de pintura para cada cuarto de su casa, cuántas latas de pintura necesitará ella para pintar la casa de 7 cuartos? $ 40 5 0 25 20 5 0 5 2 4 6 8 0 2 botellas rellenadas 2. Stephen recibe 20 minutos de tiempo de juego de video cada 45 minutos que camina con el perro. Si él quiere 90 minutos de tiempo de juego, cuántas horas tiene que trabajar? 22. La vid de uva de Sarah creció 5 pulgadas en 6 semanas, escriba una ecuación para representar su crecimiento después de t semanas. 2. En promedio, Ma hace 45 de los 60 tiros con el baloncesto, escriba una ecuación para representar el número promedio de tiros hechos de intentos. 24. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 4 anterior. 25. Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 7 anterior. Respuestas. 4 palabras minuto 5. 0.84 9. 2 5 gramos centímetros 2. páginas minuto $ libra 6..8 $ libra 0. 27 millas hora. 2.89 $ caja 4. 2.45 puntos minuto 7. 2 acre hora 8. 2.29 $ libra. $0.69 2. 24.5 min.. 9.2 horas 4. $5 5. 22.5 horas 6. 8 9 tazas 7. $75 8. 4 2 pulgadas 9. 5.6 millas 20. 9 latas 2. 8 horas 22. g = 5 2 t 2. s = 4 25. C =.5b 24. t = 0.09c 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
TASAS Y TASAS UNITARIAS 4.2. y 4.2.4 Tasa de cambio es la razón que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 6 onzas de harina cuestan $0.80, entonces el costo unitaria, es decir el costo por una onza, es $0.80 6 = $0.05. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.2. del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 5 personas. Al mismo tasa, cuánto arroz se necesitará para 40 personas? La tasa es: 6 tazas 5 personas así que, resuelve 6 5 = 40. El multiplicador necesario para el Uno Gigante es 40 5 o 2 2. Usar este multiplicador produce 6 5 2 2 2 2 Tenga en cuenta que la ecuación 6 5 = 40 Ejemplo 2 Organice estas tasas de menor a mayor: = 6 40 entonces se necesitan 6 tazas de arroz. también se puede resolver utilizando proporciones. 0 millas en 25 minutos 60 millas en una hora 70 millas en 2 hora Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 0 mi 25 min = 60 25 0 2.4 2.4 = 60 72 min mi 60 mi hr = 60 mi 70 mi 60 min 2 = 70 mi hora 00 min = 60 00 70 0.6 0.6 = 42 mi 60 min Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 2 hora < 60 millas en una hora < 0 millas en 25 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos epresar cada velocidad como una tasa unitaria: 42 mph, 60 mph y 72 mph. Ejemplo Un tren en Francia viajó 92 millas en 5 horas. Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? 92 mi 5 hora = Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de hora, así: hora. Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de 0.2 0.2 o división simple produce = 86.4 millas por hora. 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Problemas Resuelve cada problema de tasa a continuación. Eplique su método.. Balvina sabe que 6 tazas de arroz produce suficiente arroz español para 5 personas. Ella necesita saber cuántas tazas de arroz necesita para alimentar a 5 personas. 2. Elaine puede plantar 6 flores en 5 minutos. Cuánto tiempo le tomará a plantar 0 flores a la misma tasa?. Un avión viaja 400 millas en 8 horas. Cuánto distancia podría viajar en 6 horas a esta tasa? 4. Shane anduvo en bicicleta por 2 horas y viajó 2 millas. A esta tasa, cuánto tiempo le llevará a viajar 22 millas? 5. El coche de Selina utilizó 5.6 galones de gasolina para ir 24 millas. A esta tasa, cuántos galones se necesitaría a ir 480 millas? 6. Organice estos lectores del más rápido al más lento: Abel leyó 50 páginas en 45 minutos, Brian leyó 90 páginas en 75 minutos y Charlie leyó 75 páginas en 2 horas. 7. Organice estos compradores de almuerzo de el que gasta más a el que gasta menos asumiendo que compran el almuerzo 5 días a la semana: Alice gasta $ por día, Betty gasta $25 cada dos semanas y Cindy gasta $75 por mes. 8. Un tren en Japón puede viajar a 8.5 millas en 5 horas. Encuentre la tasa unitaria en millas por hora. 9. Un patinador de hielo cubrió 500 metros en 06 segundos. Encuentre su tasa unitaria en metros por segundo. 0. Una empresa de telefonía celular ofrece un precio de $9.95 por 200 minutos. Encuentre la tasa unitaria en el costo por minuto.. Un auto recorrió 200 millas en 8 galones de gasolina. Encuentre la tasa unitaria de millas por galón y la tasa unitaria de galones por milla. 2. Leo tiene una cadena de sujetapapeles de 2 pies de largo. Él va a agregar sujetapapeles continuamente durante las siguientes ocho horas. Al final de las ocho horas, la cadena es de 80 pies de largo. Encuentre la tasa unitaria de crecimiento en pies por hora. Respuestas. 54 tazas 2. 75 minutos. 2550 millas 4. 2 horas 5. 2 galones 6. C, B, A 7. C, A, B 8. 62.7 mi/hora 9. 4.5 m/s 0. $0.0/min. 25 mpg; 25 galones/milla 2. 6 pies/hora 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
AZULEJOS ALGEBRAICOS Y PERÍMETRO 4.. Las epresiones algebraicas pueden ser representadas por los perímetros de los azulejos algebraicos (rectángulos y cuadrados) y combinaciones de azulejos algebraicos. Las dimensiones de cada azulejo se muestran a lo largo de sus lados y el azulejo es nombrado por su área que se muestra en el azulejo en las figuras a la derecha. Cuando se usan los azulejos, el perímetro es la distancia alrededor del eterior de la figura. 2 Ejemplo Ejemplo 2 2 2 2 2 2 P = 6 + 4 unidades P = 6 + 8 unidades Problemas Determine el perímetro de cada figura.. 2.. 2 2 4. 5. 6. 2 2 2 7. 8. 2 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Respuestas. 4 + 4 un. 2. 4 + 4 un.. 2 + 8 un. 4. 4 + 6 un. 5. 4 + 4 un. 6. 4 + 2 un. 7. 4 + 4 un. 8. 2 + 4 un. 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES 4.. Las epresiones algebraicas también pueden ser simplificadas por combinando (sumando o restando) términos que tienen los mismos variables elevados a las mismas potencias, hacia un término. La habilidad de combinar términos semejantes es necesario para la resolución de ecuaciones. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4..2 del teto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 7A en Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Combine términos semejantes para simplificar la epresión + 5 + 7. Todos estos términos tienen una como un variable, así que se combinan en un solo término, 5. Ejemplo 2 Simplifique la epresión + 2 + 7 + 5. Los términos con una pueden ser combinados. Los términos sin variables (los constantes) también pueden ser combinados. + 2 + 7 + 5 + 7 + 2 + 5 0 + 7 Note que en la forma simplificada el término con el variable aparece antes del término constante. Ejemplo Simplifique la epresión 5 + 4 2 + 0 + 2 2 + 2 6 +. 5 + 4 2 + 0 + 2 2 + 2 6 + 4 2 + 2 2 + 5 + 2 + + 0 6 6 2 + 8 + Note que los términos con los mismos variables pero con diferentes eponentes no están combinados y están en una lista en orden de disminución de poder del variable, en forma simplificada, con el término constante al último. 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Ejemplo 4 Los azulejos algebraicos, como se muestra en la sección Azulejos algebraicos y perímetro, son usados como modelos de cómo combinar términos semejantes. El cuadrado grande representa 2, el rectángulo representa y el cuadrado pequeño representa uno. Solamente podemos combinar azulejos que son semejantes: cuadrados grandes con cuadrados grandes, rectángulos con rectángulos y cuadrados pequeños con cuadrados pequeños. Si queremos combinar 2 2 + + 4 y 2 + 5 + 7, visualice los azulejos para ayudarle a combinar los términos semejantes: 2 2 (2 cuadrados grandes) + ( rectángulos) + 4 (4 cuadrados pequeños) + 2 ( cuadrados grandes) + 5 (5 rectángulos) + 7 (7 cuadrados pequeños) La combinación de los dos conjuntos de azulejos, escrito algebraicamente, es: 5 2 + 8 +. Ejemplo 5 A veces es útil tomar una epresión que está escrita horizontalmente, circule los términos con sus signos y rescriba términos semejantes en las columnas verticales antes de combinarlos: Problemas (2 2 5 + 6) + ( 2 + 4 9) 2 2 5 + 6 + 2 + 4 9 2 2 5 + 6 + 2 + 4 9 5 2 Combine los siguientes conjuntos de términos. Este procedimiento puede ser más fácil para identificar los términos además del signo de cada término.. (2 2 + 6 + 0) + (4 2 + 2 + ) 2. ( 2 + + 4) + ( 2 + 4 + 7). (8 2 + ) + (4 2 + 5 + 4) 4. (4 2 + 6 + 5) ( 2 + 2 + 4) 5. (4 2 7 + ) + (2 2 2 5) 6. ( 2 7) ( 2 + 9) 7. (5 + 6) + ( 5 2 + 6 2) 8. 2 2 + + 2 + 4 2 + 2 9. c 2 + 4c + 7 2 + ( 4c 2 ) + 9 6 0. 2a 2 + a 4a 2 + 6a + 2 4a + 2 Respuestas. 6 2 + 8 + 2. 4 2 + 5 +. 2 2 + 5 + 7 4. 2 + 4 + 5. 6 2 9 2 6. 2 2 0 + 9 7. 5 2 + + 4 8. 7 + 2 9. c 2 + 4c + 0. a 2a 2 + 2a + 4 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA 4..2 La Propiedad distributiva muestra cómo epresar sumas y productos de dos maneras: a(b + c) = ab + ac. Esto también puede ser escrito (b + c)a = ab + ac. Forma factorizada Forma distributiva Forma simplificada a(b + c) a(b) + a(c) ab + ac Para simplificar: Multiplique cada término dentro de los paréntesis por el término afuera. Si es posible, combine los términos. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.. del teto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Ejemplo 2 Ejemplo 2(47) = 2(40 + 7) = (2 40) + (2 7) = 80 +4 = 94 ( + 4) = ( ) + ( 4) = +2 4( + y +) = (4 ) + (4 y) + 4() = 4 +2y + 4 Problemas Simplifique cada epresión a continuación aplicando la Propiedad distributiva.. 6(9 + 4) 2. 4(9 + 8). 7(8 + 6) 4. 5(7 + 4) 5. (27) = (20 + 7) 6. 6(46) = 6(40 + 6) 7. 8(4) 8. 6(78) 9. ( + 6) 0. 5( + 7). 8( 4) 2. 6( 0). (8 + )4 4. (2 + )5 5. 7( + ) 6. 4(y + ) 7. (y 5) 8. 5(b 4) 9. ( + 6) 20. ( + 7) 2. ( 4) 22. ( ) 2. ( + ) 24. 4( + 2) 25. (5 7) 26. (2 6) 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Respuestas. (6 9) + (6 4) = 54 + 24 = 78 2. (4 9) + (4 8) = 6 + 2 = 68. 56 + 42 = 98 4. 5 + 20 = 55 5. 60 + 2 = 8 6. 240 + 6 = 276 7. 20 + 24 = 44 8. 420 + 48 = 468 9. + 8 0. 5 + 5. 8 2 2. 6 60. 4 + 2 4. 5 + 0 5. 7 7 6. 4y 2 7. y + 5 8. 5b + 20 9. 6 20. 7 2. + 4 22. + 2. 2 + 24. 4 2 + 8 25. 5 2 + 7 26. 2 2 + 6 Cuando la Propiedad distributiva se usa al revés, se llama factorización. Factorización cambia la suma de los términos (sin paréntesis) al producto (con paréntesis). ab + ac = a(b + c) Para factorizar: Escriba el factor común de todos los términos afuera de los paréntesis. Ponga los factores que queden de cada término original dentro de los paréntesis. Ejemplo 4 4 + 8 = 4 + 4 2 = 4( + 2) Ejemplo 5 6 2 9 = 2 = (2 ) Ejemplo 6 6 +2y + = 2 + 4y + = (2 + 4y +) Problemas Factorice cada epresión a continuación usando la Propiedad distributiva al revés.. 6 + 2 2. 5y 0. 8 + 20z 4. 2 + y 5. 8m + 24 6. 6y + 40 7. 8m 2 8. 25y 0 9. 2 2 0 0. 2 2 6. 2 2 6 2. 5y + 5. 4 + 4y + 4z 4. 6 + 2y + 6 5. 4 2 49 + 28 6. 2 + y 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Respuestas. 6( + 2) 2. 5(y 2). 4(2 + 5z) 4. ( + y) 5. 8(m + ) 6. 8(2y + 5) 7. 4(2m ) 8. 5(5y 2) 9. 2( 5) 0. 2( 2 ). 2( ) 2. 5(y + 7). 4( + y + z) 4. 6( + 2y + ) 5. 7(2 2 7 + 4) 6. ( + y) 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
SIMPLIFICAR EXPRESIONES (EN UN TABLERO DE EXPRESIONES) 4.. Tableros de epresiones con un región Los azulejos algebraicos y los Tableros de epresiones son herramientas de organización usada para representar epresiones algebraicas. Pares de Tableros de epresiones pueden ser modificadas para hacer Tableros de comparación de epresiones (vea la próima sección) y Tableros de ecuaciones. Azulejos positivos están sombreados y los azulejos negativos están en blanco. Un par de azulejos con un azulejo sombreado y el otro blanco representa un cero (0). Ejemplo Ejemplo 2 Represente 2 2 +. 2 = + = Represente ( 2). = + = Note que ( 2) = 6. Ejemplo Ejemplo 4 Esta epresión hace cero. Simplifique 2 2 + 2 + 2 + ( 2) + ( ). = + = 2 2 = + = Después de quitar los ceros, queda 2 2. 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2
Problemas Simplifique cada epresión. = + =. 2.. 2 2 4. 5. 6. 2 2 2 2 2 2 7. 2 + + 8. + 2 + 4 9. 2 2 + + 0. + ( ) + 5 2. + 2 + ( ) 4 2. ( + ) 2. 2 2 + 2 2 + 4. 2( 2) + 5. 2( 2 + ) + 2 Respuestas. 2. 2 2. 2 2 2 4. 2 + 4 5. 2 + 4 6. 2 7. 2 8. + 4 9. 2 + + 2 0. + 2. 2 4 2. + 9. 2 2 + 4 4. 5. 2 2 + 2 + 5 204 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2