Números naturales El conjunto de los números naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). Los números cardinales indican el número de elementos que tiene un conjunto: 1 uno 11 once 10 diez 100 cien 2 dos 12 doce 20 veinte 200 doscientos 3 tres 13 trece 30 treinta 300 trescientos 4 cuatro 14 catorce 40 cuarenta 400 cuatrocientos 5 cinco 15 quince 50 cincuenta 500 quinientos 6 seis 16 dieciséis 60 sesenta 600 seiscientos 7 siete 17 diecisiete 70 setenta 700 setecientos 8 ocho 18 dieciocho 80 ochenta 800 ochocientos 9 nueve 19 diecinueve 90 noventa 900 novecientos 1 000 mil 10 000 diez mil 100 000 cien mil 1000 000 millón 1.000.000.000 millardo 1.000.000.000.000 billón 1.000.000.000.000.000.000 trillón 1.000.000.000.000.000.000.000.000 cuatrillón O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Los números ordinales indican la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto: 1 primero 11 undécimo 10 décimo 100 centésimo 2 segundo 12 duodécimo 20 vigésimo 200 ducentésimo 3 tercero 13 decimotercero 30 trigésimo 300 tricentésimo 4 cuarto 14 decimocuarto 40 cuadragésimo 400 cuadrigentésimo 5 quinto 15 decimoquinto 50 quincuagésimo 500 quingentésimo 6 sexto 16 decimosexto 60 sexagésimo 600 sexcentésimo 7 séptimo 17 decimoséptimo 70 septuagésimo 700 septingentésimo 8 octavo 18 decimoctavo 80 octogésimo 800 octingentésimo 9 noveno 19 decimonoveno 90 nonagésimo 900 noningentésimo 1
1000 10000 100000 1000000 milésimo diezmilésimo cienmilésimo millonésimo Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: 5 > 3; 5 es mayor que 3. 3 < 5; 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3... 1. Descomponer un número Un número está determinado por el lugar que ocupan sus cifras: - Así en el número 4.305 tenemos que: el 5 ocupa el lugar de las UNIDADES, el 0 el lugar de las DECENAS, el 3 de las CENTENAS y el 4 el de las UNIDADES DE MILLAR. - En el número 27,106 tenemos que: el 7 ocupa el lugar de las UNIDADES, el 2 ocupa el lugar de las DECENAS, el 1 ocupa el lugar de las DÉCIMAS, el 0 el de las CENTÉSIMAS y el 6 el de las MILÉSIMAS. Partiendo de la unidad obtendremos los siguientes múltiplos y submúltiplos que es necesario recordar: 1 DIEZMILLONÉSIMA= 0,00000001 unidades 1 MILLONÉSIMA= 0,000001 unidades 1 CIENMILÉSIMA= 0,00001unidades 2
1 DIEZMILÉSIMA= 0,0001 unidades 1 MILÉSIMA= 0,001 unidades 1 CENTÉSIMA= 0,01 unidades 1 DÉCIMA= 0,1 unidades 1 UNIDAD= 1 unidad 1 DECENA= 10 unidades 1 CENTENA= 100 unidades 1 UNIDAD DE MILLAR= 1.000 unidades 1 DECENA DE MILLAR= 10.000 unidades 1 CENTENA DE MILLAR= 100.000 unidades 1 UNIDAD DE MILLÓN= 1.000.000 unidades 1 DECENA DE MILLÓN= 10.000.000 unidades 1 CENTENA DE MILLÓN= 100.000.000 unidades 2. Operaciones aritméticas Es hallar un número mediante otros conocidos. Las operaciones aritméticas fundamentales son: SUMA o ADICIÓN, RESTA o SUSTRACIÓN, MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN. 2.1. Suma o Adición Consiste en reunir en un solo número las unidades de varios números dados. Los datos de la suma se llaman sumandos y el resultado suma o total. El signo es una cruz (+) y se lee más. Para sumar números enteros se colocan los sumandos uno debajo de otro de modo que formen columna las unidades del mismo orden: se traza una raya horizontal a partir del último sumando para separar el resultado y se suman separadamente cada columna empezando por las unidades, teniendo en cuenta que si alguna columna contiene decenas, se escriben sólo las unidades y las decenas se añaden a la columna siguiente. Ejemplo: 58.723 26.410 + 9.352 247 86 94.818 3
1ª Columna: 3+0+2+7+6 = 18. Escribo el 8 y llevo una unidad a la segunda columna. 2ª Columna: 1 de la primera columna +2+1+5+4+8= 21. Escribo 1 y llevo 2 a la tercera columna. 3ª Columna: 2 de la segunda columna + 7+4+3+2=18. Escribo el 8 y llevo 1 a la cuarta columna. 4ª Columna: 1 de la tercera columna+8+6+9=24. Escribo 4 y llevo 2 a la quinta columna. 5ª Columna: 2 de la cuarta columna+5+2=9. Escribo el 9 y habré formado el número 94.818 que es la suma o total. En la suma de números enteros cuando los encontremos una serie encadenada de sumas se procede igual que hemos visto anteriormente. Ejemplo: 5 + 3 + 2 + 7 + 4= 21 La suma de número decimales se hace lo mismo que con números enteros teniendo en cuenta que las unidades de cualquier orden, tanto en los enteros como en los decimales, han de corresponderse unas debajo de otras y que por tanto, las comas de separación deben estar en la misma columna. Ejemplo: 427,6538 33,204 8,12 + 5,9 474,8778 2.2. Resta o Sustracción Restar es la operación aritmética que consiste en quitar de un número mayor, otro menor. Los datos de la resta se llaman: minuendo el número mayor, sustraendo el menor y el resultado, resto o diferencia. El signo es una rayita horizontal (-) que se lee, menos. 4
Para restar números enteros se escribe el minuendo y debajo el sustraendo procurando que se correspondan las unidades del mismo orden (unidades debajo de las unidades, decenas debajo de las decenas, centenas debajo de las centenas, etc ), se traza una raya horizontal debajo del sustrato para separar el resultado, se resta cada unidad del sustraendo de la correspondiente al minuendo empezando por la derecha y se coloca el resultado debajo de la raya de separación. Si alguna cifra del sustraendo fuera mayor que la correspondiente del minuendo, se agregan a ésta diez unidades de su orden y se resta. Al hacer la resta de la siguiente se añade al sustraendo una unidad de su orden para que el resto no varíe. Ejemplo: 43.321-12.275 31.046 1ª Columna: el 5 no puede restarse del 1, para poder efectuarlo añado diez unidades de su orden al 1 y entonces resto: 10+1=11 menos 5=6 que coloco debajo de la raya. 2ª Columna: para que el resto no varíe, tengo que añadir al sustraendo las 10 unidades que he sumado al minuendo, o lo que es igual una decena y entonces tendré: 7+1=8 en el sustraendo y 2 en el minuendo. Como no puedo restar 8 de 2, se produce de la misma forma que se indica en la 1ª columna, restando 8 del 12, cuyo resto, 4, se coloca en el lugar debajo de la raya de separación. 3ª Columna: siguiendo la misma técnica explicada, a la cifra 2 del sustraendo se le agregan 10 decenas, o lo que es igual, 1 centena y tendremos: 2+1= 3 que restada del 3 del minuendo, da como resultado 0. 4ª Columna: 3 en el minuendo menos 2 del sustraendo, resulta 1, que se coloca en el lugar correspondiente. 5ª Columna: Igualmente restamos 1 del sustraendo de las 4 del minuendo, resultando 3. Para comprobar si el resultado de la resta es correcto, se suma, como prueba, el sustraendo como el resto y tiene que dar el minuendo o bien se resta del minuendo el resto y dará el sustraendo. 5
2.3. Multiplicación Multiplicar es hacer un número tantas veces mayor como indica otro. Los términos de la multiplicación son: multiplicando, el número que se repite y multiplicador, el número de veces que se ha de repetir. Los términos, multiplicando y multiplicador, se llaman factores de la multiplicación y el resultado se denomina producto. El signo de la multiplicación es una cruz en forma de aspa (x) o un punto ( ) y se lee: multiplicado por. Al multiplicar números enteros pueden darse los siguientes casos: A. Multiplicar números por una sola cifra: Se resuelve por medio de la tabla de multiplicar. B. Multiplicar un número de varias cifras por otro de una: Se coloca el multiplicando (el número de varias cifras), debajo el multiplicador (el de una sola cifra) y se separa con una raya 6
horizontal el resultado. Se va multiplicando el multiplicador, por cada una de las cifras del multiplicando comenzando por las unidades, escribiendo debajo las unidades de cada producto parcial y las decenas que resulten se añaden al producto parcial siguiente. El último producto se escribe íntegro. Ejemplo: 5423 x 6 Sigamos cada uno de los pasos: a) 6 x 3 = 18, pongo el 8 y sobra una decena que se agrega al producto siguiente. b) 6 x 2 = 12, más la decena sobrante de la multiplicación de la cifra anterior da 13. Se pone el 3 y la decena sobrante se agregará al producto siguiente. c) 6 x 4 = 24, más la decena sobrante anterior, 25. Se pone el cinco y sobran 2 decenas. d) 6 x 5 = 30, más las 2 decenas sobrantes, 32, que como es el último se escribe íntegro. 5423 x 6 32538 Resultado: 5426 x 6= 32.538 C. Multiplicar por la unidad seguida de ceros: Para multiplicar un número entero, por otro formado por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, 10000, etc ) se añaden a la derecha del número, tantos ceros como los que siguen a la unidad del otro número. Ejemplos: 25 x 10 = 250 310 x 100 = 31.000 1000 x 1045 = 1.045.000 Si la unidad seguida de ceros en lugar de multiplicarla por un número entero la multiplicamos por un número decimal, se procederá desplazando la coma a la derecha tantos lugares como ceros haya. Si detrás de la coma no hubiera cifras suficientes para desplazar la coma al sitio correspondiente se suplirá la deficiencia añadiendo los ceros necesarios. Ejemplos: 7
3,14 x 10= 31,4 25,3 x 100 = 2530 0,03 x 1000 = 30 D. Multiplicar dos números de varias cifras: Se coloca el multiplicando debajo del multiplicador y se traza una raya para separarlos de los productos parciales. Se multiplica todo el multiplicando por cada una de las cifras del multiplicador, colocando los productos unos debajo de otros y cuidando que la primera cifra de cada producto parcial se escriba debajo de la del multiplicador que la produce, se traza otra raya a continuación del último producto parcial y se suman éstos para hallar el producto total. Ejemplo: 3.427.256 x 325 17136280 6854512 10281768 1113858200 La razón de que al multiplicar no se coloque, aparentemente, cada cifra en columna con las de su mismo orden, es la siguiente: Si nos fijamos en el ejemplo, el multiplicador 325 se compone de: 5 unidades, 2 decenas y 3 centenas. Por lo tanto, al multiplicar el 5, el 2 y el 3 obtenemos, respectivamente, unidades, decenas y centenas: 17.136.280 unidades, 6.854.512 decenas y 10.281.768 centenas. Para poder sumar estas cantidades y obtener el resultado final es necesario que estén expresadas en el mismo rango. Por norma habitual se expresa siempre en unidades; así tendremos: 17.136.280 unidades, 68.545.120 unidades y 1.028.176.800 unidades. Estas conversiones vienen de multiplicar la cantidad de las decenas por 10, ya que cada decena tiene 10 unidades, y la cantidad de las centenas por 100; una centena es igual a 100unidades. Las propiedades de la multiplicación son: a) Cualquier número multiplicado por la unidad, es el mismo número. b) El orden de los factores no altera el producto. c) Si el multiplicador es mayor que la unidad, el producto es mayor que el multiplicando. 8
d) Si el multiplicador es menor que la unidad, el producto es menor que el multiplicando. e) Si uno de los factores es cero, el producto es cero. 2.4. División Dividir es hallar las veces que un número contiene a otro, o bien, dado el producto de dos factores y uno de ellos, hallar el otro. Los términos de la división son: dividendo que es el producto dado, divisor que es el factor conocido y cociente que es el resultado. El signo de la división son los puntos (:) que se lee dividido por: D : d = c En la división se ha de cumplir que: (Divisor x Cociente) + Resto = Dividendo Si el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor, la división es exacta; si por el contrario no la contiene exactamente, se dice que la división es inexacta y en este caso el exceso del dividendo sobre el producto se llama resto. De esta definición se deducen las siguientes propiedades: a) Si el divisor es la unidad, el cociente es igual al dividendo. b) Si el divisor es mayor que la unidad, el cociente es menor que el dividendo. c) Si el divisor es menor que la unidad, el cociente es mayor que el dividendo. d) Si el dividendo es igual al divisor, el cociente es la unidad. e) Si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que la unidad. f) Si el dividendo es menor que el divisor, el cociente es menor que la unidad. Al igual que en la multiplicación, en la división de números enteros pueden presentarse varios casos: A. Que el cociente y el divisor tengan una sola cifra y el divisor varias: Se resuelve mentalmente buscando un número que multiplicado por el divisor, nos dé el dividendo que más se aproxime al dividendo por defecto (sin sobrepasarlo). 9
Ejemplo: 48: 8 = 6 1 1 = 1 2 2 = 1 3 3 = 1 4 4 = 1 5 5 = 1 6 6 = 1 7 7 = 1 8 8 = 1 9 9 = 1 2 1 = 2 4 2 = 2 6 3 = 2 8 4 = 2 10 5 = 2 12 6 = 2 14 7 = 2 16 8 = 2 18 9 = 2 3 1 = 3 6 2 = 3 9 3 = 3 12 4 = 3 15 5 = 3 18 6 = 3 21 7 = 3 24 8 = 3 27 9 = 3 4 1 = 4 8 2 = 4 12 3 = 4 16 4 = 4 20 5 = 4 24 6 = 4 28 7 = 4 32 8 = 4 36 9 = 4 5 1 = 5 10 2 = 5 15 3 = 5 20 4 = 5 25 5 = 5 30 6 = 5 35 7 = 5 40 8 = 5 45 9 = 5 6 1 = 6 12 2 = 6 18 3 = 6 24 4 = 6 30 5 = 6 36 6 = 6 42 7 = 6 48 8 = 6 54 9 = 6 7 1 = 7 14 2 = 7 21 3 = 7 28 4 = 7 35 5 = 7 42 6 = 7 49 7 = 7 56 8 = 7 63 9 = 7 8 1 = 8 16 2 = 8 24 3 = 8 32 4 = 8 40 5 = 8 48 6 = 8 56 7 = 8 64 8 = 8 72 9 = 8 9 1 = 9 18 2 = 9 27 3 = 9 36 4 = 9 45 5 = 9 54 6 = 9 63 7 = 9 72 8 = 9 81 9 = 9 B. Que el cociente entero, o sea, sin decimales, tenga una sola cifra y el divisor varias: Se resuelve buscando un número que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo y se procede como en el siguiente ejemplo: 795 : 132 Para efectuar esta división comienzo por dividir la primera cifra del dividendo por la primera del divisor: 7 : 1 = 7 Al resultado lo multiplicamos por el divisor para luego restárselo al dividendo: 132 x 7= 924 921 no se puede restar de 795, por lo que tendremos que buscar otra cifra inferior para el cociente; vamos a probar con el 6: 132 x 6 = 792 Esta cifra sí se puede restar del dividendo. Así que colocamos el 6 en el lugar correspondiente del cociente, y efectuamos la resta indicada, cuyo resultado será el resto de la división: 795 792 = 003 Cumpliéndose que: 795 = (132 x 6) +3 C. Que el cociente entero tenga varias cifras: Este caso se producirá siempre que el dividendo sea 10 veces mayor, o más, que el divisor. Es decir, si añadiendo un cero a la derecha del divisor, éste sigue siendo menor al dividendo. Ejemplo: 10
32806 52 Separamos tantas cifras del dividendo, a partir de la izquierda, como cifras tiene el divisor. En este caso, el divisor tiene dos cifras, así que separamos las dos primeras por la izquierda del dividendo; 32. Si estas dos cifras representan un número menor que el divisor, tomaremos una cifra más del dividendo; 32 es menor que 52; entonces, tomamos 328. Seguidamente, buscamos el mayor número que multiplicado por 52, el divisor, se aproxime por defecto a 328. Se divide la primer cifra, 3, entre la primera del divisor; 5. No se puede dividir 3 entre 5, por lo que tomamos una cifra más en el dividendo, 32. 32 : 5 = 6 (porque 5 x 6 = 30; que no excede de 32). Y comprobamos si este 6 multiplicado por el divisor, 52, no excede del valor del número que hemos separado del dividendo, 328, para poder restarlos: 52 x 6 = 312. 312 es menor, luego, podemos restar y el 6 sirve como cifra del cociente: 328 312 = 016 Hasta ahora la división está así: 32806 52-312 6 016 Hasta ahora hemos tratado con una parte del dividendo, debemos proseguir hasta haber agotado sus cifras. En el siguiente paso a tomar consideramos el resto obtenido, 16, que ha de ser menor que el divisor, y le añadiremos tantas cifras como precise para ser mayor o igual al divisor, de las que aún no han sido tomadas del dividendo, a partir de la izquierda. Si hay que añadir más de una cifra, al cociente también habrá que añadirle ceros como cifras haya que añadir al resto, hasta que éste, el resto, sea igual o mayor al divisor. La cifra a añadir al resto es el 0, con lo que el resto queda: 160, que es mayor que el divisor, 52. Entonces, dividimos estos dos números como antes: 160 : 52 1 no se puede dividir entre 5; tomamos 16; 16 : 5 = 3 (porque 3 x 5= 15; sin sobrepasar al 16) 11
Tomamos este 3; y lo multiplicamos por 52 para ver si el resultado se puede restar de 160. 52 x 3 = 156 Sí se puede restar, así que nos vale el 3 y lo añadimos a la derecha del número que teníamos en el cociente. La división hasta ahora va así: 32806 52-312 63 0160-156 004 Seguimos avanzando y añadimos al resto, 4, la siguiente cifra, 6, del dividendo que ya es la última. 46 es inferior a 52; y ya no tenemos más cifras para añadir al resto, luego por añadir una cifra al resto y no poder dividir, añadiremos un cero al cociente, y el 46 quedará como resto de la división. En definitiva, la división ha quedado: 32806 52-312 630 0160-156 0046 La división estará bien efectuada si se comprueba que: 32806 = (52 x 630) + 46 Cuando se trata de dividir por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,.) basta con separar con una coma (,) de la derecha del dividendo, tantas cifras como ceros tenga el divisor. El número decimal resultante será el cociente. Ejemplo: 473.405 : 1000 = 473,405 12
Si el dividendo es decimal, se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. Ejemplo: 6904,73 : 100 = 69,0473 Boletín de Números Naturales 1. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones: a) 327+ =1208 b)..-4121=626 c) 321 x =32100 d) 28035:.=623 2. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones: a) 4 x (5+ )=36 b) ( 30 -.):5+4=8 c) 18 x + 4 x..=56 d) 30 -.:8 =25 3. Cuál de las siguientes sumas es correcta? a) 35+27+29 = 91 b) 10+10+11 = 101 c) 5+4+7 = 17 4. Cuál es la suma total de 2.223.529+110.99+1.300+439? 5. Tres amigos han juntado 40 para comprar un regalo a otro amigo. El primero puso 12 y el segundo, 3 más que el primero. Cuánto puso el tercero? 6. Isaac Newton nació en 1.642 y murió en 1.727. Con que edad murió? 13
7. En una granja había 630 animales entre gallinas, patos y pavos. El número de gallinas era de 250 y el de patos, 75 unidades menor que el de gallinas. a) Cuántos pavos había en la granja? b) Si se vendieron 100 gallinas, 32 patos y 65 pavos. Cuántos animales de cada tipo quedan en la granja?. Cuántos en total? 8. Por qué número hay que multiplicar 18 para obtener 648? 9. Efectúa: a) 6 x 5= b) 24x 10= c) 235 x 100= d) 31.784 x 39= e) 25.747 x 467= 10. Efectúa: a) 18: 3= b) 150 : 3= c) 31.572 : 47= 14