Universidad del istmo INGENIERÍA EN SISTEMAS CON ÉNFASIS EN SEGURIDAD INFORMATICA ASIGNATURA: Cálculo Diferencial e Integral I PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz CUATRIMESTRE: Segundo TÍTULO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA: GEOMETRÍA OBJETIVO DIDÁCTICO: CONTENIDOS: 1.. 1.1 Angulo 1.2 Línea. 1.3 Triángulos. 1.4 Congruencia y semejanza de triángulos. 1.5 Polígonos. 1.6 Sólidos. Definición: un ángulo es la figura formada por dos rectas( lados) que convergen en un punto(vértice) Clasificación a) Angulo agudo: es aquel que mide menos de 90. b) Angulo recto: es aquel que mide 90 c) Angulo obtuso: es aquel que mide mas de 90 y menos de 180. d) Angulo llano: es aquel que mide 180 Otros datos acerca de los ángulos. Dos ángulos son congruentes si tienen el mismo número de grados. Una recta biseca un ángulo, si lo divide en dos ángulos iguales. Una mediana de un segmento dado es aquella recta que divide al segmento en dos partes iguales y es perpendicular a él.
Línea recta: paralelismo y perpendicularidad a) Dos rectas son paralelas si son equidistantes entre si y no se cortan más que se alarguen. b) Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando ángulos rectos. c) Ángulos que se forman por dos rectas paralelas cortadas por un transversal Ángulos internos <c, <d, <e, <f Ángulos externos <a, <b, <h, <g - Ángulos opuestos por el vértice. <a y <c, <b y <d, <e y <g, <f y <h - Ángulos correspondientes. <a y <e, <b y <f, <d y <h, <c y <g - Ángulos alternos internos. <c y <e, <d y <f - Ángulos alternos externo. <a y <g, <b y <h - Ángulos adyacentes. <a + <b = 180, <c + <d =180 <e + <f = 180, <h + <g = 180 Propiedades: - el par de ángulos opuestos por el vértice son congruentes. - el par de ángulos correspondientes son congruentes. - el par de ángulos alternos internos son congruentes. - el par de ángulos alternos externos son congruentes. Ejemplos: Calcule el valor de los ángulos faltantes aplicando los criterios de dos rectas paralelas cortadas por un transversal. <1 = <2 = <3 = <5 = a) Teorema de Thales Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta. De la siguiente figura se deduce AB = DE o AB = DE AC DF BC EF
Ejemplo: De la figura anterior, si AB = 3 mts, DE = 2 mts, DF = 6mts, AC =.? Solución AB = DE 3mts = 2 mts AC = (3 mts) ( 6 mts) AC = 9 mts AC DF AC 6 mts 2 mts Características y sus líneas fundamentales Características Un triángulo es una porción del plano limitada por tres segmentos rectilíneos llamados lados del triángulo. Sus vértices: A, B y C. Sus lados: AB, BC y AC Sus ángulos: <A, < B y <C Las propiedades de los lados de un triángulo son: En todo triangulo, la suma de las longitudes de dos cualquiera de sus lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Es decir, AB + BC > AC, AB + AC > BC, AC + BC > AB Las propiedades de los ángulos de un triángulo son: Las medidas de los tres ángulos interiores suman 180. Es decir, <A + <B + <C = 180. La medida de cualquiera de sus ángulos exteriores es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a este. Es decir, < X = <A + < C Sus líneas fundamentales La mediana desde un vértice de un triángulo es el segmento que une con el punto medio del lado opuesto. La bisectriz de un ángulo de un triángulo es el segmento que biseca el ángulo uniendo su vértice con el lado opuesto. La mediatriz de un lado de un triángulo es el segmento perpendicular al lado que pasa por su punto medio. En la figura de la izquierda, CM es la mediana sobre AB, AD es la bisectriz del <A, y EM es la mediatriz del lado AB
L a a de un triangulo sobre uno de sus lados es el segmento perpendicular a este, o a su prolongación, que lo une con el vértice opuesto. En la figura de la derecha, CH es la altura sobre el lado AB. a l t u r Área: Herón, Pitágoras. Fórmula de Herón Sea s el semiperimetro de un ABC de lados a, b, y c Área de un triángulo = ( ABC) = s ( s - a) (s - b) ( s c) Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Es decir, a 2 +b 2 = c 2 Área de un triángulo = ( ABC) = b h 2
I - Calcule el valor de los ángulos faltantes aplicando los criterios de dos rectas paralelas cortadas por un transversal para las siguientes figuras. A) calcule el valor de los ángulos faltantes < 1 = < 2 = < 3 = < 4 = < 5 = < 6 = < 7 = < 8 = B) Calcule el valor del ángulo faltante - Sean AB!! MN y con < NPC = 130 Hallar < ABC II- Aplique el teorema de Thales a los siguientes figuras Calcule el valor de lado faltante De la figura, sean tres rectas paralelas cortadas por dos transversales si MG = 8 mts, NH = 10 mts, GC = 20mts Hallar HF =.? B) Calcule el valor de lado faltante De la figura, Sean las rectas AB, MN y RS paralelas entre si y las rectas transversales AC y BC. si CM = 4 mts, CA = 7 mts, CB = 14 mts Hallar CN =.?
III- Aplique las propiedades de un triángulo en la siguiente figura y encuentre los datos faltantes. < C = < B = IV- En las siguientes figuras construyas las líneas notables en el triangulo mediante su definición. La bisectriz del ángulo C La mediana desde el vértice A La mediatriz del lado AB V Determine el área del triangulo A) Mediante la fórmula de Heron y su forma general B) Mediante la fórmula de Heron y su forma general aplicando el teorema de Pitágoras
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes solamente si hay una correspondencia tal que sus partes correspondientes son congruentes. Se denota por el símbolo Criterios o postulados de la congruencia de triángulos. Postulado Lado - Lado - Lado ( L L L ). Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son congruentes. Postulado Lado - Ángulo - Lado ( L A L ). Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son congruentes. Postulado Ángulo - Lado Ángulo ( A L A ). Dos triángulos que tienen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos respectivamente iguales, son congruentes.
Nota: Para determinar si dos triángulos dados son congruentes bastaría con comprobar si verifican las anteriores condiciones o postulados. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes solamente si tienen sus ángulos correspondiente congruentes y sus lados correspondiente proporcionales. Se denota por el símbolo Criterios o postulados de la semejanza de triángulos. Postulado Lado - Lado - Lado ( L L L ). Dos triángulos con los lados proporcionales son semejantes. Postulado Lado - Ángulo - Lado ( L A L ). Dos triángulos con dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos iguales, son semejantes.
Postulado Ángulo Ángulo ( A A ). Dos triángulos con dos ángulos iguales correspondientes, son semejantes. Nota: Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican las anteriores condiciones o postulados.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS I - En los casos siguientes demostrar que los pares de triángulos son congruentes. Señale el respectivo criterio de congruencia. Nota: Utilice las marcas de los lados y las marcas de ángulos para la resolución de estos problemas. ABC = CDA ABE = DCE ABD = CBD ABC = DEC Sea ABC es un triangulo equilátero (todos los lados iguales) y el ángulo A se biseca ( dos ángulos iguales). Demostrar que ABD = ACD
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS I- En los casos siguientes, determinar los ángulos que pueden utilizarse para demostrar que los triángulos que se indican son semejantes ADC ~ ACB AEC ~ CDB II- En el siguiente caso determine el par de ángulos iguales y la proporción necesaria para demostrar que los triángulos que se indican son semejantes. AEB ~ CED ------ = ------ < = < III- En los casos siguientes hay que establecer la proporción necesaria para demostrar que los triángulos que se indican son semejantes. ABC ~ EFD ABD ~ BCD ------ = ------ = ------ ------ = ------ = ------ IV- En los siguientes triángulos semejantes, determinar la proporción para determinar el valor de X ACE ~ BDE
Definición Un polígono es una figura cerrada formada por la intersección de tres o más líneas llamados segmentos o lados, con todas las intersecciones en los puntos finales llamados vértices. Características - La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n- lados es ( n - 2 ) 180. Ejemplos: Polígono Número de lados Operación Resultado suma de los ángulos interiores Triángulo 3 ( 3 2 ) 180 180 Hexágono 6 ( 6 2) 180 720 - Si un polígono tiene todo sus lados con iguales longitudes y posee todos las medidas de los ángulos interiores iguales se llama polígono regular. Ejemplos: Polígono regular Número de lados Operación Resultado cada ángulo que forma el polígono Triángulo 3 ( 3 2 ) 180 / 3 60 Cuadrado 4 ( 4 2) 180 / 4 90 Perímetro y áreas. - El perímetro de un polígono se define como la suma de las longitudes de sus lados. - El área de un polígono es la medida del área de la región delimitada por el polígono. Polígono figura Perímetro Área Triángulo P = a + b + c A = b h 2 Paralelogramo (cuadrado) P = a + b + c + d A = b h Paralelogramo (Rectángulo) P = a + b + c + d A = b h Paralelogramo P = a + b + c + d A = b h
Trapezoide P = a + b + c + d A=1(b 1 + b 2 ) h 2 Ejemplo: -Un trapezoide con bases de 8 cms y 6 cms, respectivamente, una altura de 3 cms y los lados transversales de 4cms cada uno. Determinar el perímetro y el área Solución P = a + b + c + d = 8cms + 6cms + 4cms + 4 cms = 24 cms. A=1(b 1 + b 2 ) h = 1 ( 8cms + 6 cms ) 3cms = 21cms 2 2 2 Circulo y sector circular Definiciones - Circulo es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidista de un punto llamado centro. - Sector circular es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido por ellos. Elementos - Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda - A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetro - Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos. - Una recta que atraviesa el círculo, cortando la circunferencia en dos puntos, se llama secante, mientras que una recta que toca al círculo en un sólo punto se denomina tangente.
Figura longitud Longitud del sector circular circulo 2 π r 2 π r ( n ) 360 Ejemplo: - Un circulo con centro O, de radio de 5 cms y con un sector circular ABC de 60. Encuentre: a) La longitud y el área del círculo b) La longitud del sector circular ABC Solución a) L = 2 π r = 2 π (5 cms ) = 10 π cms A = π r 2 = π (5 cms ) 2 = 25 π cms 2 área b) ABC =2 π r ( n ) = 2 π (5 cms) ( 60 ) = 10 π cms ( 1) = 5 π cms 360 360 6 3 π r 2 Las figuras tridimensionales básicas incluyen los sólidos, los cubos, los cilindros, las esferas, las pirámides, y los conos rectangulares. En esta sección, miramos algunas características de los sólidos. El sólido rectangular ( cubo ) es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro. Las dimensiones de un sólido rectangular son la longitud ( l ), anchura (a), y altura (h). Un cilindro circular recto contiene bases (círculos con los radios iguales), y su altura que son perpendiculares a ambas bases.
Sólido Área de la superficie volumen Cubo A = 2 ( a l + l h + a h ) V = l a h Cilindro circular recto A = 2 π r 2 + 2 π r h V = π r 2 h Ejemplo: Si un cubo tiene 7 cms de largo, 4 cms de ancho y 8 cms de altura. Determinar: a) El área de la superficie b) El volumen del sólido Solución a) A = 2 ( a l + l h + a h ) = 2 [(4cms)(7cms) + (7cms)(8cms) + (4cms)(8cms)] = 232 cms 2 b) V = l a h = (7cms)(4cms)(8cms) = 224 cms 3 Polígonos I- En los siguientes problemas determine el numero de lados y la suma de las medidas de los ángulos interiores delos polígonos Polígono Número de lados Resultado suma de los ángulos interiores Pentágono Heptágono Decágono II- En los siguientes problemas determine las medidas individuales y totales de los ángulos interiores de los polígonos regulares Polígono Regulares Pentágono Hexágono Octágono Resultado suma de los ángulos interiores Resultado cada ángulo que forma el polígono
III- En un rectángulo LMNP, si LM = 6, MF= 5 y FN = 2 Encuentre: a) El área del rectángulo LMNP. b) El área del triangulo LMN. c) El perímetro del rectángulo LMNP. IV- En un paralelogramo, si GH = 7 cms y HJ = 5 cms, determine a) El perímetro del paralelogramo GHJU. b) El área del paralelogramo GHJU. V- En un circulo con centro O, de radio de 10 cms y con un sector circular LMN de 30. Determine: a) La longitud del sector circular LMN
SÓLIDOS I- En el siguiente cilindro circular recto con radio de 2 mts y altura de 5 mts, determine : a) El área de la superficie del cilindro circular recto. b) El volumen del cilindro circular recto. Observación: (figura y lados) Triángulo 3, Cuadrilátero 4, Pentágono 5, Hexágono 6, Heptágono 7, Octógono 8, Eneágono 9, Decágono10