Matemática para Economistas Curso 6 Práctica 6: Funciones cóncavas y cuasicóncavas Ejercicio Considere las funciones f: siguientes: (a) f ( ) = ( ) + ( ) 4 4 (b) f ( ) = ( ) + ( ) + ( ) (c) f ( ) = ( ) (d) ( ) (e) f ( ) f = + + 5 = (f) f ( ) = ( ) /4 /4 /8 (g) f ( ) = ( ) ( ) (h) f ( ) = + { = : > 0 > 0 4 4 (i) f ( ) = ( ) + ( ) (j) f ( n) = ln( a + + an n) siendo ( a an n) (k) f ( ) = + + + > 0 Clasifíquelas entre las siguientes clases: cóncavas (conveas) estrictamente cóncavas (estrictamente conveas) o ninguna de las anteriores. (a) Estrictamente convea (b) Convea (c) Ninguna (d) Ninguna (e) Cóncava (f) Estrictamente cóncava (g) Estrictamente cóncava (h) Cóncava y convea (i) Convea (j) Cóncava. (k) Convea. Ejercicio Dada las funciones f: siguientes: f = e (a) ( ) (b) f ( ) = e ( ) (c) f ( ) = { + = : 0 0 4 = + + (d) f ( ) 5 ( ) (e) ( ) e f = + + 5 (f) f ( ) = ln( )
(g) f ( ) = (h) f ( ) (i) f ( ) A k e donde k > 0 A es una matriz definida positiva y = = n = Clasifíquelas entre las siguientes clases: estrictamente cuasicóncavas (estrictamente cuasiconvea) y cuasicóncavas (cuasiconveas). Justifique. (a) No pertenece a ninguna de las clases (b) Cuasicóncava estricta (c) Cuasicóncava estricta (d) Cuasiconvea (e) Cuasicóncava estricta (f) Cuasiconvea (g) Cuasiconvea estricta (h) Cuasicóncava y cuasiconvea (i) Cuasiconvea estricta. Ejercicio Interprete geométricamente los resultados en los casos (a) (b) (c) e (i) del punto anterior. Ejercicio 4 (Función Cobb-Douglas) Sea la función u: definida por: ( ) ( ) ( ) u = siendo > 0 > 0 y definida sobre el conjunto (a) Determine valores para cóncava. Justifique. (b) Para qué valores de. y tal que la función sea: estrictamente cóncava y la función es estrictamente cuasicóncava? Justifique. (c) Clasifique la función que se obtiene luego de aplicar la transformación monótona h : = ln u. ( ) ( ) (a) Estrictamente cóncava si + < cóncava si + y cuasicóncava estricta siempre. Ejercicio 5 Dada la función u: : ( y) ( y) u = + > 0 > 0 y ( ) { + = : 0 0 Clasifíquela entre las clases de funciones que siguen: (cuasi) cóncavas estrictamente (cuasi) cóncavas (cuasi) conveas estrictamente (cuasi) conveas ó ninguna las anteriores. Justifique. Respuesta: Cóncava y por lo tanto también cuasicóncava. Ejercicio 6 Clasifique las siguientes funciones de utilidad: (a) (Función de aversión relativa al riesgo constante CRRA): ( c c ) u δ ( c ) ( c ) δ = + δ δ = 0< < y δ > 0
(b) Calcule el límite de la función anterior cuando δ y verifique que es igual a: ( c c ) ( c ) ( c ) u = ln + ln = y 0< < (c) (Funciones de aversión absoluta al riesgo constante CARA): ( c c ) γ ( c γ) γ ( c γ) u = ep ep = 0< < y γ > 0 a a 0 < < y a > 0 (d) u ( c c ) = c ( c ) + c ( c ) (e) u ( c c c ) 0 t= 0 ( c ) δ t t = δ 0 < < y δ > 0 + (f) (Función de elasticidad de sustitución constante CES-): ( ) ( ) y = + y u ρ ρ ρ = > 0 > 0 ρ < (g) ( c l) = u( c) v( l) ( ) siendo: u() estrictamente cóncava y ( ) { cl c l = : > 0 0< v l estrictamente convea. (h) (Función de Leontief) u ( ) = min { (i) u ( ) = a + b = a> 0 b> 0 Ejercicio 7 (Mínimos cuadrados ordinarios) Demuestre que la función definida por: J: ( ab) = ( y ) i a b i es convea en ( ) J n i= ab. Ejercicio 8 Demuestre que f: (sugerencia: utilizar la desigualdad triangular). f := n definida por ( ) es convea. Ejercicio 9 (Desigualdad de Jensen) Sea u: ( ) una función diferenciable y estrictamente cóncava. Demostrar que si es una variable aleatoria con esperanza = p + q se verifica la siguiente desigualdad: finita ( ) E a b Interprete geométricamente. ( ( ) ) > E( u( ) ) u E
Si u es una función de utilidad y el consumo interprete económicamente la desigualdad. Cómo cambia la desigualdad anterior si u es convea? Interprete. Ejercicio 0 Sea u ( ) define implícitamente a φ ( ) u ( ) ( ) es convea. φ C. Suponga que la ecuación ( ) una función u = u = como función C de. Demuestre que si es cuasicóncava y estrictamente creciente en su segunda variable entonces Propiedades de la función valor Ejercicio Considere el siguiente problema de maimización de la utilidad: ( y ) v p p m = y s.a: p + py y = m y Demuestre que la función v ( p py m ) es cuasiconvea en las variables ( y ) Interprete geométricamente. Respuesta: Probar que el conjunto de pares ( y ) v ( p py m) = ( m 4 p py) a ( a ) es un conjunto conveo. Ejercicio Pruebe que la función valor C ( wrya ) del problema: C ( ) Min K L Respuesta: C ( wry ) wry = wl + r Ks.a: y L K = wr y. = es cóncava en ( ) wr. p p. p p tal que Condiciones suficientes en programación no-lineal Ejercicio Considere el siguiente problema: ( y ) + y + y 4 y (a) Verifique que el punto ( ) = ( ) y satisface las condiciones de Kuhn-ucker. (b) Puede utilizar el teorema de programación cuasicóncava para asegurar que el punto ( ) es solución del problema? Ejercicio 4 Considere el siguiente problema de maimización de la utilidad: ( ) ( ) 0< < 4
p + p m (a) Suponga que eiste un punto que verifica las condiciones de Kuhn-ucker Ejercicio 5 Se modifica la respuesta en el punto anterior si la función objetivo viene dada por u ( ) ( ) ( ) restante. = con > 0 > 0 y se mantiene igual todo lo Ejercicio 6 Considere el problema de una firma que determina sus demandas de factores a partir del problema de maimizar beneficios: KL K 4 p K L w L r K (a) Suponga que eiste un punto que verifica las condiciones de Kuhn-ucker Ejercicio 7 Considere el mismo problema del ejercicio anterior pero con una función que ehibe rendimientos crecientes a escala: KL K p K L w L r K + > (a) Suponga que eiste un punto que verifica las condiciones de Kuhn-ucker Ejercicio 8 Considere ahora el problema de minimización de costos: Min wl + rk ( wr ) 0 KL K L y + > K (a) Si eiste un punto que verifica las condiciones de Kuhn-ucker es solución del problema? 5