Capitulo VI: Funciones.

Funciones o Aplicaciones: Capitulo VI: Funciones. Ejemplo de función: Sean: A = {, 2, 3 } B = { a, b, c, d, e } F = { (;a) (2;b) (3;e) } es una función de A en B, porque a cada elemento de A, le corresponde uno solamente uno de B. A f B A B a f x f ( x ) = 2 b 3 c e Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A B una relación F A x B entonces se define: F es una función de A en B para cada elemento x de A existe a lo más un elemento de B que le corresponde a x. Desde: A = es el conjunto de partida. B = es el conjunto de llegada. x = es preimagen o variable independiente. ó f(x) es imagen de x o variable dependiente. El ejemplo siguiente no es función: f = { (,a), (2,c), (2,d) } Porque al 2 le está correspondiendo dos elementos de B. A B a 2 b 3 c DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Ejemplo: Sea f = { (,a), (3,e) } Conjunto de partida : A = {, 3 } Conjunto de llegada : B = { a, e } Dominio de f : Dom f = {, 3 } Rango de f : Ran f = { a, e } d e Entonces el dominio de la función f AxB es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de f el rango, es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de f. Página 3 de 67

Aplicación: Definición: Se llama aplicación de A en B, a toda función de A en B, donde el dominio de la función coincide con el conjunto de partida A. Dicho de otro modo, si de todo elemento x de A, sin excepción tienen una imagen en B, aunque el Rango de f no coincida con B, se denota por: Ejemplo: A f B A B 2 F:A B 2 4 3 4 3 6 5 6 5 8 7 8 7 0 0 No es aplicación Porque Dom f A Si es función aplicación Porque Dom f = A Toda aplicación es una función toda función no siempre es aplicación. Funciones Inectivas, Surectivas Biectivas: Ejemplo: En f = { (;3), (2;4), (3;), (4;2) } Es uno a uno! Es inectiva 3 2 4 3 4 2 Inectiva: Sean f:a B/ = f(x), una función. Se dice que f es inectiva o uno a uno si cumple que para elementos diferentes en el dominio de A, las imágenes son también diferentes en B. A C Este ejemplo no es Inectiva: g = { (a;c), (d:c), (e;c) } D E Porque en esta función a los elementos de a, d, e tienen una misma imagen; no es uno a uno. Surectiva o Sobreectiva: Sea f : A B / R(f) = B Ejemplo: Si: A = { ; 2; 3; 4; 5 } B = { 2; 3; 4; 5 } F = { (;2), (3;3), (2;5), (4;3), (5;4) } A B f 2 2 3 Ran f = B 3 4 4 5 5 Analizando el Ran f = { 2; 3; 4; 5 } es igual que el conjunto de llegada B, entonces f es una función surectiva. Biectiva: Sea f: A B/ = f(x) una función. Se dice que f es una función biectiva ó una correspondencia biunívoca, si f es inectiva surectiva. A B f a 2 b 3 c 4 d Página 32 de 67

Composición de Funciones: Ejemplo: f g Si: f : x x - 3 x x3 x3- g: x x f f(x) g g(f(x)) = f (x) - x x3 x3 - x3 2 6 5 5 5 4 6 8 7 gof = 3x - Definición: Sean las aplicaciones: f : A B g : B C Tales que para x A la aplicación f le hace corresponder f(x) IB para f(x) IB la aplicación g le hace corresponder g [ f (x) ] C. Si para cada x A le hacemos corresponder el elemento g [ f (x) ] C se obtiene una aplicación: H : A C que recibe el nombre de aplicación o función compuesta de f g, se denota con gof: x f (x) g [ f (x) ] Función Inversa: gof Ejemplo: Sea: f = { (;3), (2;4), (3;5) } Su inversa: f - = { (3;), (4;2), (5;3) } Definición: Dada una función biectiva f : A B, se llama inversa de f, aquella denotada por f - : B A. Aplicación: ) Si R = { (;2), (2;2), (3;7) } es una función, su dominio = { ;2;3 }, su rango = { 2; 7 } la función no es Inectiva porque: A R B Como observamos que para 2 de A le corresponde la única imagen 2 d B, no es uno a uno. 2 2) 2 7 La ecuación = 2x + 4 define una función es inectiva porque: 3 R Si x = 0; = 4 x = ; = 6 x = 2; = 8 0 4 6 2 8 3) Sea g (x) = x 2 entonces g (x) = (4) 2 g (x) = 6 g (4) = -5 Página 33 de 67

4) Indicar si cada relación es o no función: R Dominio Rango R2 Dominio Rango - 2 Sí 0 2 Sí 4 3 3 6 5 R3 Dominio Rango R4 Dominio Rango 3-0 No 3 5 No -2 5 5 7-3 8 9 R5 Dominio Rango R6 Dominio Rango - 2 8 Sí 0 3 Sí 3 4 9 2 5 x x x Sí R7 No R8 No R9 Función Real: Una función recibe este nombre, cuando el dominio Dom (f) el Ran (f) son conjunto de números reales (R). Ejemplo: F = { ( 7,4), (9,-6), (5, 2 ), (π, /5) } Función Polinómica: Su notación es: F = { (x,) R 2 / = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... a n x n } Donde a 0, a, a 2, a 3,... a n son coeficientes Función Lineal: Su notación es: F = { (x,) R 2 / = ax + b } a 0 Su gráfico es una línea recta. Ejemplo: x Graficar = 2x + Si x = 0 ; = -½ Si = 0 ; x = -½ Con estos dos puntos pertenecientes a la recta trazamos su gráfica: Página 34 de 67

Función Identidad: Su notación es: = x La gráfica, es una recta que forma un ángulo de 45 con el eje x de abcisas. Ejemplo: Si = x 5 Si x = 0 = 0 Si = x = Si = 5 x = 5-5 5 Si = -5 x = -5-5 Función Constante: Su notación es: = b La gráfica es una recta paralela al eje x de abscisas. El punto b es cualquier número real representado sobre el eje Y de ordenadas. Ejemplo: Si = 5 Si x = 0 = 5 = 5 Si = = 5 Si = 2 x = 5 Si = - x = 5 Si = -2 x = 5-2 - 2 x Función Cuadrática: Su notación es: F = { (x,) R 2 / = ax 2 + bx + c }; a 0 Su gráfico es una línea curva llamada parábola. Ejemplo: = 2x 2 + 4x + 5 Si x = 0 Si x = 2 Si x = - Si x = -2 = 2(0) 2 + 4(0) + 5 = 2(0) + (0) + 5 = (0) + (0) + 5 = 5 = 2(2) 2 + 4(2) + 5 = 2(4) + (8) + 5 = 2 = 2(-) 2 + 4(-) + 5-2 - x = 2() - (4) + 5 = 2 4 + 5 = 3 = 2(-2) 2 + 4(-2) + 5 = 2(4) + (8) + 5 = 5 Si a > 0 entonces la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo. El discriminante (D) es igual: b 2 4ac El vértice V de la parábola tiene como coordenadas: V (b/2a: -D/4a) Página 35 de 67

Función Valor Absoluto: Su notación es: F = { (x,) R 2 / = x } Sabiendo que: x = x si x > 0 -x si x < 0 Entonces la gráfica es: Valores Negativos Valores Positivos x Función Máximo Entero: Su notación es: F = { (x,) R 2 / = x } DOM (F) = R RAN (F) = [0; > x significa máximo entero no maor que x Ejemplos: a) 6,9 = 6 b) 0,3 = - c) 0,075 = 0 Para n Z se tiene que: 4 n < x < n + entonces x = n Su Dom (f) = R; Ran (f) = Z 3 2 2; Si 2 < x < 3 ; Si < x < 2-3 -2-2 3 = x = 0; Si 0 < x < - -; Si - < x < 0-2 -2; Si -2 < x < - -3 Función Par: Es una función cua gráfica es simétrica con respecto al eje vertical. Función Impar: Es una función cua gráfica es simétrica con respecto al origen. Ejemplos: Las funciones constantes son pares Las funciones cuadráticas son pares Las funciones identidad son impares Las funciones cúbicas son impares x x Función Par (Simétrica con respecto al eje vertical) Función Impar (Simétrica con respecto al origen) Página 36 de 67

Función Raíz Cuadrada: Es una función definida por definida por: f(x) = x ó = x; si x > 0 Ejemplo: X = x Si x > 0 0 4 9 6 = 0 = = 4 = 9 = 6 (0;0) (;) (4;2) (9;3) (6;4) Página 37 de 67

Ejercicios. Si f es una función real de variable real tal que: f ( x ) = x 2 + 2x 3, hallar f ( 2x + ) () Primer Método: Haciendo el cambio de variable: x = u x = + u 2 Si f ( x ) = x 2 + 2x 3 f (u) = ( + u 2 ) 2 + 2 ( + u 2 ) 3 = u 4 + 4u 2 Haciendo ahora que: u = 2x +, se tiene: f ( 2x + ) = ( 2x + ) 4 + 4 ( 2x + ) 2 = 4x 2 + 2x + 5 (2) Segundo Método: f ( x ) = x 2 + 2x 3 2x + 2 2x + 2 2x + 2 Entonces: f ( 2x + 2 ) = (2x + 2) 2 + 2 (2x + 2) 3 De donde: f ( 2x + ) = 4x 2 + 2x + 5 2. Si A={x/x Z x 2 < 50} f: A R donde f(x) = (x ) 2, x A. Hallar el valor de verdad de las afirmaciones siguientes: i. Existe un único valor x 0 tal que: f(x 0 ) = 36 ii. f (2 + f (0)) = 4 iii. la solución de f (x+8)=f (- x 8) está en el conjunto A. b. Si f(x) = (x ) 2 f (x 0 ) = (x 0 ) 2 = 36 De donde: x 0 - = 6 ó x 0 = -6 x 0 = 7 ó x 0 = -5 Vemos que x 0 no es único, por lo tanto, la afirmación es falsa. c. (f 0 ) = (0 ) 2 = f (2 + f(0)) = f (2+ ) = f (3) = (3 ) 2 = 4 Luego, la afirmación es verdadera. d. Si f (x + 8) = f (- x 8) (x + 8 ) 2 = (- x 8 ) 2 (x + 7) 2 = (x + 9) 2 De donde: x = -8 A. Luego, la afirmación es falsa. 3. Sea A={X X es una proposición}. Se define la función: f: A R por:, si x es V f(x) = 0, si x es F Según esto, de las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas? () f (p q) = f (p). f (q) (2) f ( p) = f (p) (3) f (p q) = f (p) + f (q) f ( p) f (q) () Supongamos que V (p) = V V (q) = V f (p) = f (q) = f (p q) = f (V V) = f (V) = f (p q) = f (p). f (q) Si V (p) = V V (q) = F f (p) = f (q) = 0 f (p). f (q) = 0 f (p q) = f (V F) = f (F) = 0 f (p q) = f (q). f (q) Luego, la afirmación es verdadera. Página 38 de 67

(2) Si V (p) = V f ( p) = f (F) = 0 - f (p) = = 0 Luego, f ( p) = f (p) La afirmación es verdadera. (3) Si V (p) = V, V (q) = V f (p q) = f (V) = f (p) + f (q) f ( p). f (q) = + (0) () = Si V (p) = V, V (q) ) F f (p + q) = f (F) = 0 f (p) + f (q) f ( p). f (q) = + 0 (0) (0) = 0 Luego, la afirmación es verdadera. Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas. 4. Sea f una función de N en N tal que: f (x) = 2x + 3. Hallar el valor de verdad de cada afirmación. i. N, x N f (x) = ii. Si f (ax) = af (x) f (b + x) = (b+2) + f (x), x N a + b = 3 iii. Si f (a) = f (b), entonces a = b () Si = 0 N 0 = 2x + 3 x = -3/2 N = N + 2x + 3 x = - N Luego, x N, N = 2x + 3 La afirmación es falsa. (2) Si f (ax) = af (x) 2ax + 3 = a (2x + 3), de donde: a = f (b + x) = 2 (b + x) + 3 = 2x + 2b + 3 Si f (b + x) = (b + 2) + f (x) 2x + 2b + 3 = b + 2 + 2x + 3, de donde: b = 2 Luego: a + b = 3 La afirmación es verdadera. (3) Si f(a) = f(b) 2a + 3 = 2b + 3 a = b Luego, la afirmación es verdadera. 5. Hallar el dominio, rango trazar la gráfica de la función: f (x) = x 2 3x 4 Si f es una función real, entonces: x 2 3x 4 > 0 (x 4) (x + ) > 0 (x > 4 x > -) (x < 4 x < -) (x > 4) (x < -) Dom (f) = <-, - ] [ 4, + > Para hallar el rango despejamos x = f () 2 = x 2 3x 4 + x = 3 ± 25 + 4 2 2 Entonces: x ( > 0) (25 + 4 > 0) ( > 0) (R) Ran (f) = [ 0, + > 0 4 x Página 39 de 67

6. Hallar el rango trazar el gráfico de la función: f (x) = x + x - 2 Por definición de valor absoluto: (x ), si x > (x 2), si x > 2 x - = ; x 2 = -(x ), si x < -(x 2), si x < 2 Si x < x = - (x ) x 2 = - (x 2) f (x) = - (x - ) (x 2) = 3 2x < x < 2 x = x x 2 = - (x 2) f (x) = (x - ) (x 2) = x > 2 x = x x 2 = - (x 2) f (x) = (x - ) + (x 2) = 2x 3 Luego, la regla de correspondencia de f es: 3 2x, si x < f (x) =, si < x < 2 2x 3, si x > 2 0 2 x Graficando f en cada intervalo encontramos que: Ran(f) = [, + > 7. Sean f g dos funciones definidas por: f (x) = x 2 4 g={ (-, -2 2), (2,-), (4, 5), (3,4), (7, 5). Hallar fog. El rango de la función de partida es: Ran(g) = { -2 2, -, 5, 4 } f es real x 2 4 > 0 x 2 > 4 x > 2 ó x < 2 Luego: Dom(f) = <-, -2 ] [ 2, + > Entonces: Ran (g) Dom (f) = (-2 2, 5, 4 ) Hallemos los pares ordenados de f para: x = - 2 2 = (-2 2 ) 2 + 4 = 2 (-2 2, 2) f x = 5 = ( 5 ) 2 4 = ( 5, ) f x = 4 = ( 4 ) 2-4 = 2 3 (4, 2 3 ) f f = { (-2 2, 2), ( 5, ), (4, 2 3 ) ] Página 40 de 67

Entonces, si: (, -2 2 ) g (-2 2, 2) f (,2) fog (4, 5 ) g ( 5, ) f (4,) fog (7, 5 ) g ( 5, ) f (7,) fog (3, 4 ) g (4, 2 3) f (3,2 3 ) fog fog = { (,2), (4,), (2,), (3, 2 3 )} 8. Sea f: R R definida por: f(x) =, hallar el rango x- - x-2 trazar el gráfico de f. Por definición de valor absoluto: (x ), si x > (x 2), si x > 2 x - = ; x 2 = -(x ), si x < -(x 2), si x < 2 Si x < f(x) = = - - (x-) + (x-2) < x < 2 f(x) = = - (x-) + (x-2) 2x-3 x > 2 f(x) = = - - (x-) + (x-2) En el intervalo [,2> la gráfica de f presenta una asíntota: x = 3/2; por lo que la curva se extiende encima de la recta = debajo de la recta = -. Por lo tanto: Ran(f) = <-, -] [, + ] 0 2 x - Página 4 de 67

9. Construir la gráfica de la función cua regla de correspondencia es f(x) = x - x. Si n < x < n + x = n, n Z Entonces para intervalos de longitud unitaria, se tiene: Si -2 < x < x = -2 x = -x f(x) = -x-(-2) = 2-x - < x < 0 x = - x = -x f(x) = -x-(-) = -x 0 < x < x = 0 x = x f(x) = -x-(0) = x < x < 2 x = x = x f(x) = x - 2 < x < 3 x = 2 x = x f(x) = x - 2 Y Luego, para trazar la gráfica de f, podemos escribir su regla de correspondencia del siguiente modo: 4 2 x, si -2 < x < - x, si - < x < 0 f(x) = x, si 0 < x < x, si < x < 2 x 2, si 2 < x < 3 Por lo tanto: Dom(f) = R Ran(f) = [0,> <n, n+], n impar n= 3 2-2 - 0 2 3 x 0. Graficar hallar el rango de la función: r(x) = 2 x, si x [-4,4> x - x a. Si x > 0 x = x, entonces: f (x) = 2 x, x [0,4> x x Para intervalos de longitud unitaria, en [0,4], se tiene: 0 < x < x = 0 f (x) = 2 x f (0) = + (Asíntota: x=) x f () = < x < 2 x = f (x) = 2 x f () = + (Asíntota: x=) x- f (2) = 0 2 < x < 3 x = 2 f (x) = 2 x = - (Constante) x-2 3 < x < 4 x = 3 f (x) = 2 x f (3) = - (Asíntota: x=3) x-3 f (3) = -2 b. Si x < 0 x = -x, entonces: f 2 (x) = 2 x = x - 2, x [-4,0> x x x+ x Para intervalos de longitud unitaria, en [-4,0], se tiene: - < x < 0 x = 0 f 2 (x) = x-2 { f 2 (-) = 3/2, f 2 (0) = 2 } x- -2 < x <- x = -2 f 2 (x) = x-2 = (Constante) x-2-3 < x < -2 x =-3 f 2 (x) = x-2 { f 2 (-3)=5/6, f 2 (-2) = 4/5 } x- Página 42 de 67

-4 < x < -3 x ] =-4 f 2 (x) = x-2 { f 2 (-4)=3/4, f 2 (-3) = 5/7 } x-4-4 -3-2 - 0 2 3 4 x - -2 Ran(f) = <-, -2> {-} <0,+ >. Dadas las funciones f (x + )=x 2, x < -, 7 ] g (x )=2x, x [, + >, hallar: (fog) (x) Dom (fog) (gof) (x) Dom (gof) Si f (x + ) = x 2 f (x) = (x ) 2 g (x ) = 2x g(x) = 2 (x + ) = 2x + (a) (fog) (x) = f [g (x) ] = f (2x+) = (2x+-) 2 = 4x 2 Dom (fog) = { x R x Dom(g) g (x) Dom (f) } = x [, + > (2x+) <-,7] = (x > ) (- < 2x+ < 7) = (x > ) (- < x < 3) = [, 3 ] (fog) (x) = 4x 2, x [, 3 ] (b) (gof) (x) = g [f (x) ] = g [(x-) 2 ] = 2 (x-) 2 + = 2x 2 4x + 3 Dom (gof) = { x R x Dom(f) f (x) Dom (g) } = x < -, 7 ] (x-) 2 [, + > = (- < x < 7) (x - ) 2 > = (-<x < ) (x > 2 ó x < 0) = <-,0 ] [2,7] (gof) (x) = 2x 2-4x + 3, x <-,0 ] [2,7] 2. Dadas las funciones: x, si x [,3> x-4, x [2,5> f (x 3) = g (x-) = x 2 6x + 9, x [3,7> 4, x [5,7> Hallar (fog) (x). Si una función cualquiera está expresada como la unión de dos o más funciones, tales como: f = f f 2,, f n, donde Dom(f) = Dom(f ) Dom(f 2 ) Dom(f n ) g= g g 2,, g n, donde Dom(g) = Dom(g ) Dom(g 2 ) Dom(g n ) Entonces: fog = (f og ) (f og 2 ) (f 2 og ) (f 2 og 2 ) (f n og n ) Luego, sean: f (x-3) = x f (x) = x+3, x [,3> f 2 (x-3) = (x-3) f 2 (x) = x, x [3,7> g (x-) = x-4 g (x) = x-3, x [2,5> g 2 (x-) = 4 g 2 (x) = 4, x [5,7> () Dom (f og ) = { x R x Dom (g ) g (x) Dom (f ) } = x [2,5> (x-3) [,3> = (2 < x < 5) ( < x 3 < 3) = (2 < x < 5) ( 4 < x < 6) = [4,5> (f og ) (x) = f (x-3) = (x-3) + 3 = x, x [4,5> Página 43 de 67

(2) Dom (f og 2 ) = { x R x Dom (g 2 ) g 2 (x) Dom (f ) } = x [5,7 > 4 [,3> = [5,7> Φ = Φ (f og 2 ) (x) no está definida. (3) Dom (f 2 og ) = { x R x Dom (g ) g (x) Dom (f 2 ) } = x [2,5 > (x-3) [3,7> = (2 < x < 5 ) (3 < x-3 < 7) = (2 < x < 5 ) (6 < x < 0) = 0 (f 2 og ) (x) no está definida. (4) Dom (f 2 og 2 ) = { x R x Dom (g 2 ) g 2 (x) Dom (f 2 ) } = x [5,7 > 4 [3,7> = x [5,7 > x [3,7> = [5,7> (f 2 og 2 ) (x) = f 2 (4) = (4) 2 = 6, x [5,7> Por lo tanto, de () (4): (fog) (x) = x, si x [4,5> 6, si x [5,7> 3. Si f(x) = x 2, hallar dos funciones g para los cuales: (fog) (x) = 4x 2 2x + 9 Tenemos: f [g(x)] = 4x 2 2x + 9 f (x) = x 2 Haciendo u = g (x) f(u) = 4x 2 2x + 9 () Pero si: f (x) = x 2 f (u) = u 2 (2) De () (2) se deduce que: u = 4x 2 2x + 9 = (2x 3) 2 g(x) = 2x 3 ó g(x) = 3 2x 4. Sea la función: f(x) = 3x + x 2 + 7, x [ 2, 3 ] Hallar: f*(x), función inversa de f. x [ 2, 3] f(k) = = 3x + x 2 + 7 Si x [ 2, 3] se cumple que: 2 < x < 3 Elevando al cuadrado sumando 7 2 < x 2 < 9 9 < x 2 + 7 < 6 Extraendo la raíz cuadrada se tiene: u = 2x 3 ó u = - (2x 3) 3 < x 2 + 7 < 4 (I) 2 < x < 3 multiplicando por (3): 3 2 < 3x < 9 (II) Sumando: (I) + (II) 3 + 3 2 < x 2 + 7 + 3x < 3 3 ( + 2 ) < 3x + x 2 + 7 < 3 3 ( + 2 ) < 3x + x 2 + 7 < 3 [3( 2 + ), 3] Si > 0, = 3x + x 2 + 7 ( 3x) 2 = x 2 + 7 2 6x + 9x 2 = x 2 + 7 8x 2 6x + 2 7 = 0 Página 44 de 67

8x 2 6x + 2 7 = 0 Esta es una ecuación de la forma: ax 2 + bx + c = 0, donde se cumple que: x = -b ± b 2 4 (a) (c) 2(a) x = - (-6) ± (6) 2 4(8) ( 2-7) 2(8) x = 3 ± 2 + 56 x [ 2,3] 8 x = 3 + Luego: 2 + 56 = f*(). Así: Rf un x Df f*(x) = /8 (3x + x 2 + 56 ) x Df* = Rf = [ 3 ( 2 + ), 3 ] 5. Sean las funciones: f(x) = + x ; - < x < 2 g(x) = x ; x < 0 x 2 ; x > 0 Se pide: a) Hallar: fog graficarla. (fog) = + x - < x < 0 + x 2 0 < x < 3 (fog) (x) = 0 - < x < 0 x 0 < x < 3 Gráfica de (fog): 3-0 3 x Dfog = [-, 3 ), Rfog = [0, 3 ) 6. Sea g(x) = sen(x); h(x) = µ (x + π) - µ (x - π) donde µ (x) = 0; si x < 0 ; si x > 0 a) Verificar si la función f(x) = g(x) h(x) es par o impar graficar f(x). b) Dada la función periódica f(x) = cos 2 x. Hallar el período mínimo de f. Página 45 de 67

a) Como f(x) = g(x). h(x) Pero g(x) = senx h(x) = µ (x + π) - µ (x - π) f(x) = senx (µ (x + π) - µ (x - π)) f(x) = senx; -π < x < π 0 ; x < -π x > π f(-x) = -f(x) f es impar Gráfica: - π - b) cos 2 (x + p) = cos 2 x cos(x+p) = cosx cos(x+p) = cosx cos(x+p) = -cosx cosx cosp senx senp = cosx cosx cosp senx senp = -cosx p = 2nπ p = (2n+) π p = nπ período mínimo = p min = π 7. Sea f(x) = x 3 +, Pf = <,2> x- (x-) 2 Demostrar que f es univalente (o inectiva) También f(x) lo podemos expresar de la siguiente manera: f(x) = 2 + = 2 (x-) (x-) 2 x- Sean x, x 2 <,2> tal que f(x ) = f(x 2 ) 2 = - x - x 2-2 - 2 = - x - x 2-2 - Pero si x <,2 > 0 < x - < > x- > 0 - = - x - x - x 2 - = x 2 = x - x - x 2 - x = x 2 Página 46 de 67

Luego f es univalente (o inectiva) 8. Sea la función f cua gráfica se muestra a la derecha, bosquejar los gráficos de las funciones: g(x) = f( x ); x Df h(x) = f(x) ; x Df -2-0 2 x - a) Se sabe que: g(x) = f( x ); x Df Luego del gráfico podemos ver que: Df = [-,2] - < x < 2 x < 2 Df = {x R / x < 2} = [0,2], g(x) = f( x ) x [0,2] Graficando: - 0 2 x b) Definiendo la correspondencia de f h f(x) = x si x [0,2] si x [-,0] h(x) = x si x [0,2] si x [-,0] Gráfico: x 0 2 9. Dadas las funciones f g definidas por: f(x) = x+, Df = [ 0,6 > ; g(x) = x 2 4x+ 8 ; x+2 Dg = [ 0,2 > Determinar g o f. En primer lugar determinamos el dominio de gof definido por: Dgof = { x / x Df tales que f(x) Dg } Esto lo podemos expresar de la siguiente manera: Página 47 de 67

Dg (f(x)) = { x / x [ 0,6 > tales que x+ [ 0,2 > } x+2 De la definición de Dg( f(x) ), como x [ 0,6 > Se cumple lo siguiente: x+ [ 0,2 > Dg (f(x)) = [ 0,6 > x+2 La función compuesta será: gof = x+ 2 4 x+ + 8 x+2 x+2 Efectuando operaciones dentro del Radical se tendrá lo siguiente: gof = 5x 2 + 22x + 25 x [ 0,6 > x + 2 20. Sea una función f definida de la siguiente manera: f(x) = 4 x 2 si x < () 2 + x 2 si x > (2) Hallar el Dominio, el Rango trazar la gráfica de la función f. a) El dominio es R puesto que x toma primeramente valores menores o iguales que UNO, luego maores que UNO. b) Cálculo del Rango. De (): x < x puede tomar valores positivos o negativos. Si x es negativo: x < 0 x 2 > 0 4 x 2 < 4 (I) ó si x es positivo 0 < x < 3 < 4 x 2 < 4 (II) De (2): x > 2 + x 2 > 3 (III) Uniendo las posibilidades de (I), (II), (III) El Rango de f es Rf = R. Luego la gráfica será: = 2 + x 2 3 0 = 4 - x 2 Página 48 de 67

2. Hallar el Dominio Rango de la función g, cua Regla de Correspondencia es: g (x) = 2x x 2-9 Indudablemente que x 2 9 0 (La división entre 0 no está definida) toda expresión subradical debe ser (+): 2x > 0 x 2-9 ) x 2 9 > 0 2x > 0 x > 3 ó x < -3 x > 0 de donde se tiene que: x < 3, > (I) ó 2) x 2 9 < 0 2x < 0 x < 0 x > -3 x < 0 de donde: x < -3,0 ] (II) De (I) (II): Dg = < -3,0 ] < 3, > Para hallar el Rango, igualamos toda la expresión a un k genérico, k R. g (x) = 2x = k 2x = k 2 (x 2 9) x 2-9 k 2 x 2 2x 9k 2 = 0 de donde: x = 2 ± 4 + 36k 4 2k 2 Como g(x) es una función real de variable real: x R el discriminante debe ser (+) 4 + 36 k 4 > 0 lo cual cumple k R. Pero como en el cálculo se considera que: a > 0 - a < 0 2x solo toma valores positivos. x 2 9 Rg = [ 0, > Página 49 de 67

22. Si g(x) = x ; h(x) = x _ + x - x Hallar (hog), la Regla de Correspondencia el Dominio de hog. Se tiene que: h = { (x, h(x) ) / x Dh } hog = { (x, (hog)(x) ) / x Dhog } hog = { (X, H (g(x)) / x Dg } x h(g(x)) = h x = + x _ + x - x _ + x Y como + x > 0 x R + x = + x h(g(x)) = x h (g (x) ) = x x R + x - x hog = { (x, x) / x R } hog = { (x,x) / x R } Regla de Correspondencia: (hog) (x) = x Dominio de hog = Dhog = R 23. Hallar el Dominio Rango de la función f cua Regla de Correspondencia es: f(x) = x 2 4x + 4 x 2 + 4 f(x) = ( x 2 ) 2 = (x 2) 2 x 2 + 4 x 2 + 4 Como se puede observar no ha restricciones para los valores de x ; pues para ningún x R. x 2 + 4 = 0 Df = R Para hallar el Rango, igualamos f(x) en un k genérico. (x 2) 2 = k (k-) x 2 + 4x + 2 (k-) = 0 x 2 + 4 x = -4 ± 6 6 (k-) 2 2 (k-) Y como x debe pertenecer a los reales el discriminante debe ser (+) 6 6 (k-) > 0 k(k-2) < 0 k [0,2] Rf = [0,2] Página 50 de 67

Ejercicios Propuestos. Sean A: { 4, 5, 6, 7, 8 } B = {, 2, 3, 4}. Definimos las relaciones: R = { (x,) A x B / x + < 7 }; S = { (x,) A x B/x 2 + 2 < 36} Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I) Si C = {x A/ (x,) R}, entonces card (C) = 2 II) Si D = { B/ (4,) S}, entonces card (D) = 4 III) card (C D) = 6 Rpta: FVV 2. Sean: A = { (x,)/ R 2 / 4x 2 + 2 = 43 } B = { (x,) R 2 / x 2 + 2 6 = 0 } Hallar card (C), donde: C = { (x,) R 2 / (x,) A B} Rpta : card (C) = 4 3. Dada la relación R = { (x,) R 2 / x 2 + 2 < 00, x < ¾ } Hallar: Dom(R), dando como respuesta la suma de los extremos finitos del intervalo solución. Rpta: -4 4. Dada la relación S={(x,) Z x Z / x 2 + 2 < 25, > x } Hallar card (S) Rpta: 44 5. Dadas las relaciones: R = { (x,) R 2 / > 0}, S = {(x,) R 2 / x< 2} T = {(x,) R 2 / < x} Hallar el área de la región determinada por R S T Rpta: Area = 2u 2 6. Sea: f(x+3) = f(x) + f(3), f(0) = 0, f(3) 0, x R Decir el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) f(3) = -f(-3) II) f(6) = 6 f (3) III) f(27) / f(3) = 9 Rpta: VVV 7. Dada la función: f(x) = x - x Dom f Ran f x Rpta: {2} 8. Sea f(x) = x + 7 -x 2 una función. Hallar Domf Ranf Rpta: [-7,-2] [- 5, 5 ] = [- 5, -2 ] 9. Dada la función: f(x)= -3 + x 2 4x + 5, x [-2,6] Hallar: [0, 7 + ] Ranf Rpta: [0, 7 + ] [ -2, 7 3 ] = [0, 7 3] Página 5 de 67

0. Sean las funciones:f(x)= x 2 9-3, g (x) = -x + 3 + 6 x 2 x 2-4 Si Ranf Rang = [a, b], hallar a + b Rpta: a+b = 3. Dadas las funciones: f(x) = 3x 2 8x; g(x) = -x 2 + 6x 8 Sean los conjuntos: A = {x R / f(x) > 0 } B = {x R/g(x) > 0} Hallar (A B) Rpta : (A B) = [0,2] [4,6] 2. Dada la función: f(x) = x 3, hallar: Domf Ranf x + 2 Rpta: R {-2,} 3. Dadas las funciones:f(x + ) = g (x-2)= x _ 3x + x + 2 Hallar: Dom f Dom g Rpta: <-4, > - {2/3} 4. En el gráfico adjunto, f(x) es una función valor absoluto. Hallar a + b 5 f(x) 3.5 3 Rpta: 4 x a 2 b 5. Dada la función f(x) = (x-) 2 + 2. Hallar f(m), donde M = <-2,] Rpta: f(m) = [2,> 3 2-2 x M Página 52 de 67

6. Dada la función f(x) = x 2 4, hallar f(a), donde A=[ -6, -2 > 7. Si: Rpta: f(a) = < 0, 32 ] f = { (-,0), (2,2), (-3,4), (4,3), (5,-) } g = { (-,3), (4,-2), (5,0), (2,4), (7,8), (8,9) } Hallar (f-g)/g; dando como respuesta su rango. Rpta: Ran f g = { -, - /2, - 5/2 } g Sean las funciones: f = x + 4, x [-4,4] g = {(-3,0), (,4),(2,3),(-2,-2),(-,-3), (3,4)} Hallar: (f 2 + g) -, dando como respuesta: (f 2 + g) - (3) De donde se observa que: (f 2 + g) - (3) = / 8. Dadas las funciones: f = { (,4), (2,5), (3,-3), (4,7), (5,6) } g = { (0,3), (,-2), (2,), (3,0), (5,-2) } Hallar (f+g) (f-g), dando como respuesta la suma de los elementos del rango. Tenemos: Ran (f + g) (f g) = { 2, 24, 9,32 } Suma de los elementos del rango: 2 + 24 + 9 + 32 = 77 9. Si f(x) = x 2 +, hallar la función g (x) tal que: f(g(x)) = 4x 2 + 2x + 2; Ran g = [, > Dar como respuesta el término independiente correspondiente a g 2 (x) Rpta: Página 53 de 67