Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. Números complejos En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos símbolos: El símbolo se lee para todo. El símbolo se lee existe (y@ se lee no existe ).Elsímbolo se lee tal que. La expresión p q se lee p implica q otambién si p entonces q (ysignifica que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación se dice que p es condición suficiente para q, o que q es condición necesaria para p. La expresión p q se lee p si y sólo si q (ysignifica que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo significa o (llamado también disyunción) y el símbolo se traduce como y (llamado también conjunción). Para finalizar, algunas notaciones que vamos a utilizar son: Dados elementos a 1,a 2,..., a n, para designar la suma de ellos a 1 + a 2 +... + a n en matemáticas es P frecuente utilizar la notación n nq a i. De forma análoga, a i designa el producto de dichos elementos. 1. Conjuntos i=1 Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto. Ejemplo: Algunos conjuntos son i=1 {1, 2, }, {a, b, c}, {5, 2, 8, 125}, el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer conjunto de los anteriores, diremos que 1 es un elemento del conjunto y escribiremos 1 {1, 2, } (se lee 1 pertenece al conjunto {1, 2, } ). Análogamente 2, {1, 2, }. (Si queremos decir que algo no pertenece al conjunto basta usar el símbolo / ; porejemplo4 / {1, 2, }.) Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separados por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores). Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no se dice que es infinito. Se llama conjunto vacío al que no tiene ningún elemento, y se designará por. Sean A y B conjuntos. Diremos que B es un subconjunto de A cuando todos los elementos de B están en A. Esto lo denotaremos del siguiente modo B A (se lee B está contenido en A ). Si queremos decir que el conjunto B no es un subconjunto de A escribiremos B * A. (A veces se utiliza en vez de para designar la inclusión.) Dados conjuntos A y B, para comprobar que son iguales (A = B) hay que ver que ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones B A y A B. 1
Ejemplo: {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, }; {} es un subconjunto de todos los números impares, etc. Sean A y B conjuntos. Se denomina unión de A y B al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar o bien en A obienenb. Este nuevo conjunto se denotará A B (se lee A unión B ). De modo matemático podríamos expresarlo así A B = {x x A obienx B}. Se denomina intersección de A y B al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar tanto en A como en B. Este nuevo conjunto se denotará A B (se lee A intersección B ). De modo matemático podríamos expresarlo así A B = {x x A y x B}. Se llama diferencia de A por B al conjunto formado por los elementos que están en A pero no en B. Se denota por A B (también se denota A\B; incluso algunos docentes lo llaman complementario de B en A y lo denotan por B c ). De modo matemático podríamos expresarlo así Ejemplo: a) A B = {x x A y x/ B}. A = {1, 2, } B = {6, 2, 4} A B = {1, 2,, 4, 6} A B = {2} A B = {1, } B A = {6, 4} Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión. b) A = {1, 9, } B = {6, 2, 4} A B = {1, 2,, 4, 6, 9} A B = A B = {1, 9, } B A = {6, 2, 4} El producto cartesiano de dos conjuntos A y B se denota por A B yeselconjuntodelos pares de elementos de A ydeb, esdecir A B = {(a, b) a A y b B} La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que hagamos el producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo n veces utilizaremos la notación A n n veces z } { para denotar A A... A (como ocurrirá por ejemplo con R 2, R y en general con R n. En estos casos sus elementos los denominamos vectores). Los conjuntos numéricos más destacables son los siguientes: i) El conjunto de los números naturales A veces nos interesa tomar el conjunto formado por todos los naturales excepto el 0. N = {0, 1, 2,,...}. N = {1, 2,,...}, 2
ii) El conjunto de los números enteros Z = {0, 1, 1, 2, 2,...}. Es claro que todo número natural es un número entero. iii) El conjunto de los números racionales o fraccionarios Q = { n m tales que m, n Z y m es no nulo}. Este conjunto puede también verse como los números decimales que son periódicos (incluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal finita). Así por ejemplo serían números racionales 2 =0. b6=0,666..., 7 2 =,5 y 4 2 =2.De este modo se ve claramente que todo número entero n es un número racional, pues n = n 1. iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo como el conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como 2=1,41421..., log 2 5=2,2192..., yotrostantosnúmerosquetieneninfinitos decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También tenemos los conjuntos R + = {x R x >0} y R = {x R x <0} A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los números irracionales es R Q. v) El conjunto de los números complejos C = {a + bi a, b R} donde se considera i como la raíz cuadrada de 1, i = 1. Algunos números complejos serían los siguientes: 2 i, +i, 4 0,4i, etc.esclaroquetodonúmerorealx es un número complejo pues x = x +0i. De la definicióndelosconjuntosnuméricosanterioressededuceque N Z Q R C 2. Aplicaciones Una aplicación (o función)dea hacia B (o de A en B) es una forma de asignar a cada elemento de A un elemento de B. Escribiremos f : A B ó A f B. AlconjuntoA se le llamará dominio (o conjunto inicial) y al conjunto B codominio (o conjunto final) de la aplicación. Si a A
entonces el elemento de B que le asignamos al elemento a se llamará imagen de a por f ysedenotará f(a). Esto también se expresa con las siguientes notaciones A f B a à f(a) A f B a f(a) Se llama imagen de la aplicación al conjunto Im f = {f(a) a A}, o de otro modo Im f = {b B a A cumpliendo f(a) =b} Ejemplo: a) Sea f : {1, 2, 6, 4} {2, 4, 6, 8, 9} definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al2 el 9, al6 el 8, yal4 el 9. Entonces f está dada por f(1) = 4 f(2) = 9 f(6) = 8 f(4) = 9 (es decir, la imagen del 1 es el 4, laimagendel2 es el 9, laimagendel6 es el 8, ylaimagendel4 es el 9). b) Sea A un conjunto. Se llama aplicación identidad en A a la aplicación I : A A definida por I(a) =a a A (otras formas de denotar la aplicación identidad es i, id, 1, i A, id A, 1 A ó I A ). Por ejemplo la aplicación identidad en el conjunto A = {2, 5, 0} cumple que I(2) = 2 I(5) = 5 I(0) = 0 Notación: Dada una aplicación f : A B C entonces f((a, b)) podrá denotarse también por f(a, b). 2.1. Algunos tipos de aplicaciones Supongamos que tenemos una aplicación f : A B. Diremosquef es: i) Inyectiva si se cumple la siguiente propiedad: Si tenemos a, b A tales que f(a) =f(b), entonces a = b; o,dichodeotromodo,cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes. ii) Suprayectiva o sobreyectiva si Im f = B. (Como siempre se tiene Im f B, quef sea suprayectiva equivale a que b B a A tal que f(a) =b, es decir, que todo elemento del conjunto final B sea imagen de algún elemento del conjunto inicial A). 4
iii) Biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva. Ejemplo: a) Sea f : {1, 2, } {a, b, c, 0} dada por f(1) = a f(2) = c f() = 0 Entonces f es inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayectiva (Im f = {a, c, 0}, yb/ Im f). Por ello f no es biyectiva. b) Sea g : {1, 2, } {a, b} definida del siguiente modo: g(1) = a g(2) = b g() = a Entonces g no es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto se tiene que g(1) = g()), pero sí es suprayectiva (porque Im g = {a, b}). Luego g no es biyectiva. c) Sea h : {1, 2, } {a, b, } la aplicación definida por h(1) = a h(2) = h() = b Entonces h es inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva. d) Consideremos α : {1, 2, } {a, b, } la aplicación dada por α(1) = b α(2) = α() = b Entonces α no es inyectiva (α(1) = α()) ni suprayectiva (a / Im α). Por tanto no es biyectiva. 5
e) Sea definida, para cada x R, por f : R R f(x) =2x +1 Veamos que f es biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para a, b R se tiene que f(a) =f(b), es decir, 2a +1 =2b +1. Entonces restando 1 y dividiendo después entre 2 se tiene que a = b. Para probar que f es suprayectiva tomemos un elemento arbitrario y R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento x R tal que f(x) =y, es decir, tal que 2x + 1 = y. Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, setienequeel elemento buscado es x = y 1 2,esdecir,f(y 1)=y. 2 f) La aplicación f : R R definida, para cada x R, por f(x) =x 2 no es inyectiva, pues f(2) = f( 2) = 4 (de hecho para cada x se tiene que f(x) =f( x)). Tampoco es suprayectiva pues @x R tal que f(x) = 2 (dehecho,lomismoquesucedeparael número 2, sucede para cualquier número negativo). Concretamente Im f = R + {0}. g) La aplicación f : R R + {0} definida, para cada x R, por f(x) =x 2 es suprayectiva, pues es la misma aplicación del ejemplo anterior, en donde ahora tomamos como espacio final precisamente la imagen de la aplicación, para asegurarnos que todo elemento de este espacio es imagen de alguno del espacio inicial. h) La aplicación exponencial f(x) =e x es inyectiva pero no suprayectiva. i) La aplicación logaritmo neperiano f(x) =logx es suprayectiva pero no inyectiva. 2.2. Composición de aplicaciones Sean A f B g C aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta de f y g, la cual está dada del siguiente modo: Acadaelementoa A, primero le aplicamos f y nos resulta un elemento b = f(a) B. A este elemento obtenido le aplicamos g y resulta g(b) =g(f(a)). A la aplicación así definida se la denotará por g f y se le llama la composición de f y g (se lee g compuesto con f ). Con esta notación tendremos g f(a) =g(f(a)) 6
Ejemplo: 1) Sean f : {1, 2,, 4} {2,, 7, 9} g : {2,, 7, 9} {2, } definidas por: f(1) = 7 f(2) = 7 f() = 9 f(4) = 2 g(2) = g() = g(7) = g(9) = 2 Entonces g f : {1, 2, } {2, } está definida por g f(1) = g(f(1)) = g(7) = g f(2) = g(f(2)) = g(7) = g f() = g(f()) = g(9) = 2 g f(4) = g(f(4)) = g(2) = 2) Sean f : R R g : R R dadas por f(x) =x 2 g(x) =2x 1 para cada x R. Entonces es posible calcular las aplicaciones g f : R R f g : R R y están dadas, para cada x, por g f(x) =g(f(x)) = g(x 2 )=2(x 2 ) 1=6x 2 1 f g(x) =f(g(x)) = f(2x 1) = (2x 1) 2 =(4x 2 4x +1)=12x 2 12x + 7
) Sea f : A A una aplicación de un conjunto A en sí mismo. Entonces a la composición f f : A A la denotaremos por f 2. En general, a la composición de f consigo misma n veces, la denotaremos por f n. Como puede deducirse del penúltimo ejemplo, en los casos en los que puede hacerse la composición en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir g f y f g. 2.. Inversa Sea f : A B una aplicación biyectiva. Entonces dado b B existe un único elemento a A tal que f(a) =b Éste es precisamente el que cumple que Así puede definirse otra aplicación definida por f 1 (b) =a g : B A g(b) =f 1 (b) De hecho se dice que esta aplicación es la inversa de f y se denota simplemente por f 1 : Y X (no confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una aplicación cualquiera f, no necesariamente biyectiva, y f 1 se utiliza para hallar antiimágenes de subconjuntos del espacio final. En este caso la peculiaridad que se da al ser f biyectiva es que todo elemento tiene antiimagen y además ésta es única). En esta situación se tiene que f 1 f = I A f f 1 = I B Ejemplo: Consideremos la aplicación f : R R definida anteriormente, para cada x R, por f(x) =2x +1 8
Ya vimos que f era es biyectiva. Para determinar la inversa f 1 : R R hacemos igual que en la demostración de la suprayectividad. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la suprayectividad: para cada y R tenemos que hallar f 1 (y) =x, conf(x) =y. Con anterioridad ya habíamos deducido que x = y 1 (basta con comprobar que f( y 1 )=y), es decir, 2 2 f 1 (y) = y 1 2. Estructuras algebraicas Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que, por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano. Definición: Un grupo abeliano es un par (G, ) donde G es un conjunto y esunaleyde composición interna (LCI) en G (una LCI es una aplicación : G G G; locualsetraduceen que cada par de elementos x, y G se pueden operar mediante para dar otro elemento de G al que denotaremos por x y) queverifica: 1. esasociativa: a, b, c G se tiene que (a b) c = a (b c) (enlosucesivopondremosa b c sin paréntesis). 2. esconmutativa: a, b G se tiene que a b = b a. Existencia de elemento neutro para : es decir, e G tal que a e = a = e a a G. El neutro lo llamaremos e en este caso. 4. Todo elemento a G posee elemento simétrico b para quecumpleque a b = b a = e Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano. Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, excepto N, con la operación interna suma habitual de números constituyen grupos abelianos. En esta situación el elemento neutro es el número 0, y el simétrico de un elemento a es el opuesto b = a. Elproblemade N es que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto en N, esdecir,noexiste ningún elemento n N que cumpla que 1+n =0. Sin embargo con la operación interna producto habitual de números ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el 0 no tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a continuación. Definición: Un cuerpo es una terna (K, +, ) donde K es un conjunto y + y sonlcien K que verifican: 9
I) (K, +) es un grupo abeliano (denotaremos por 0 al neutro de (K, +)). II) esasociativa. III) esconmutativa. IV) (Propiedades distributivas) a, b, c K se tiene que a (b + c) =a b + a c y (a + b) c = a c + b c V) Existe un elemento neutro para (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que para cualquier a. a 1=1 a = a VI) Todo elemento a K {0} posee elemento simétrico para, al que denotaremos por a 1 y que será denominado el inverso de a en K. Severifica entonces que 1=a a 1 = a 1 a. Observación: 1. A las LCI + y se les llamará respectivamente suma y producto. 2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones como a b pondremos simplemente ab.. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la forma (a+b)+c = a+(b+c) ó (ab)c = a(bc) poniendo simplemente a + b + c ó abc, respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma yelproducto. 4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así: a(b 1 + b 2 +... + b n )=ab 1 + ab 2 +... + ab n Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto habituales, son cuerpos Q, R y C. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre en Z (ni en N, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene inverso, ya que @n Z tal que 2 n =1. Propiedad: Dado un cuerpo K se cumple que: Para a, b K se tiene a b =0si y sólo si a =0ó b =0. Nota: De todos los cuerpos existentes usaremos especialmente R y ocasionalmente C. 10
4. Números complejos El conjunto de los números complejos es C = {a + bi a, b R}, dondei = 1 (es decir, i 2 = 1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho anteriormente) con la suma y el producto definidos de forma usual: Dados z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i,lasuma se realiza coordenada a coordenada, es decir, z 1 + z 2 =(a 1 + a 2 )+(b 1 + b 2 )i. El producto se realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo: z 1 z 2 = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 a 2 i + b 1 b 2 i 2 = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + b 1 a 2 i b 1 b 2 =(a 1 a 2 b 1 b 2 )+(a 1 b 2 + b 1 a 2 )i Si z = a + bi es un número complejo (ésta se llama forma binómica de z), a se llama parte real de z y b se llama parte imaginaria de z. Si la parte imaginaria es 0 entonces z es realmente un número real; si la parte real es 0 se dice que z es un número imaginario puro. Se llama conjugado de z al número complejo z = a bi. Todo número complejo no nulo z = a + bi tiene inverso (para el producto), y éste es z 1 = z. z 2 De este modo se define la división de un número complejo u entre otro número complejo z 6= 0como u = u z z 1. Se llama módulo de z al número real r = z = a 2 + b 2,elcualessiemprepositivo,salvopara z =0(encuyocasoelmóduloda0). Se llama argumento de z 6= 0a cualquier ángulo α que cumple la relación z =cosα + isenα, o equivalentemente z z = z (cos α + isenα) = z cos α + i z senα De hecho de estos ángulos hay solamente uno, α, queverifica además que π <α π. A éste se le llama argumento principal de z. Ésta se llama la forma trigonométrica del número complejo z. También se dice que la forma polar de z es r α. Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y potencia más fácilmente porque: Producto Cociente Potencia zu = z u arg(zu) =argz +argu r α r 0 α 0 = rr0 α+α 0 arg z u z = z u u =argz arg u r α r 0 α 0 =( r r 0 ) α α 0 z n = z n arg(z n )=n arg z (r α ) n =(r n ) n α 11
Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real: e x+y = e x e y e x y = ex e y e 0 =1 e it =cost + isent para cada número real t (i = 1). Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar la forma exponencial de los números complejos: Para cada número complejo z se tiene que z = z e i arg z. Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anteriormente: z u = z e i arg z u e i arg u i(arg z+arg u) = z u e z = z ei arg z u u e i arg u = z z arg u) ei(arg u Raíces n-ésimas: Si z 6= 0, dado un número natural n 2, setienequez posee n raíces n-ésimas distintas (es decir, números complejos z 1,z 2,..., z n tales que (z k ) n = z para k =1, 2,..., n). Estos números tienen todos módulo n r y sus argumentos son (reducidos al intervalo ]-π, π]) α 1 = α n α 2 = α 1 + 2π n α = α 2 + 2π n α 4 = α + 2π n... α n = α n 1 + 2π n Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos: 1. (2 + i)+(5 4i) =7 i (2 6i) ( +2i) =5 8i 2. ( + 2i) (2 i) =6 i +4i 2i 2 =6+i +2=8+i. (6 4i) =6+4i (2 + 6i) 1 = 2 6i 40 = 1 20 20 i 12
4. u = i u = p 2 +( ) 2 = 18 = 2 Si α =argu entonces se tiene que 2(cos α + i sin α) = i de donde se deduce que 2cosα = 2sinα = yportantoesteángulovale o lo que es lo mismo cos α = 1 2 sin α = 1 2 para que el ángulo esté comprendido en ]-π, π]. 15 o = 7π 4 rad, lo que nos da α = π 4 rad 5. v = 4+4i v =4 2 arg v =15 o = π 4 rad Tomando w = v 8 w = v 8 =(4 2) 8 =2 20 arg w =8 π 4 =6π =1080o, que resulta ser 0 rad =0 o 6. Hallemos las raíces cúbicas del número complejo z = 27i Como z = p ( 27) 2 =27 arg z =270 o = π rad 2 se tiene que las raíces cúbicas buscadas z 1, z 2 y z verifican que z 1 = z 2 = z = 27 = En cuanto al argumento se cumple En definitiva arg z 1 = 270o =90 o = π 2 rad arg z 2 = argz 1 + 60o arg z = argz 2 + 60o =90 o +120 o =210 o = 7π 6 rad= 5π 6 rad =210 o +120 o =0 o = 11π 6 rad= π 6 rad z 1 = z 1 (cos arg z 1 +sinargz 1 i)=(0+1 i) =i z 2 = z 2 (cos arg z 2 +sinargz 2 i)=( 2 1 2 i)= 2 2 i z = z (cos arg z +sinargz i)=( 2 1 2 i)= 2 2 i 1