Capítulo 19. MINIMOS CUADRADOS NO LINEALES

Capíulo 9. MINIMOS CUADRADOS NO LINEALES 9. PRUEBA DE LINEALIDAD DEL MODELO... 84 9.. ESPECIFICACIÓN DE MODELOS NO LINEALES... 85 9.3. ESTIMACIÓN POR MCNL... 830 9.4. EVALUACIÓN DE ECUACIONES DE REGRESIÓN NO LINEAL... 836 9.5. TEST DE HIPÓTESIS PARA RESTRICCIONES LINEALES... 837 TEST DE WALD... 838 TEST DE RAZÓN DE VEROSIMILITUD... 839 TEST DE MULTIPLICADOR DE LAGRANGE... 840 TEST (APROXIMADO)... 84 9.6. PRONÓSTICO CON REGRESIÓN NO LINEAL... 845 CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS Y PROBLEMAS... 849 PROBLEMA 9.:... 849 PROBLEMA 9.:... 85 PROBLEMA 9.3... 854 EJERCICIOS... 856 BIBLIOGRAFÍA... 857

Capíulo 9. MINIMOS CUADRADOS NO LINEALES Todos los modelos de regresión de una sola ecuación, esudiados hasa ese puno, han sido lineales en sus coeficienes y, por ano, pueden usarse los mínimos cuadrados ordinarios para esimarlos. En la eapa de análisis de la información del proceso de invesigación economérica,, puede que al esimar la relación enre las variables endógenas y exógenas se compruebe que no se cumple con el supueso de linealidad. En ese capíulo se examina el problema de esimar ecuaciones que son no lineales en sus coeficienes. Aunque esos procedimienos para la esimación no lineal pueden ser cososos desde el puno de visa del cálculo, incremenan en gran medida el alcance de las esrucuras de modelo que pueden usarse para la esimación del mismo en un espacio y iempo deerminado.

9. Prueba de linealidad del modelo 84 Generalmene, en la prácica se especifica un modelo lineal y luego se conrasa la hipóesis de linealidad. Esa puede ser evaluada a parir de la prueba RESET de Ramsey. Pariendo de que cualquier función puede ser aproximada por polinomios del orden adecuado, en el modelo de regresión se pueden inroducir érminos con las poencias sucesivas de la variable endógena. El conrase de Ramsey realiza una prueba para comprobar si los coeficienes de las poencias incluidas en el modelo se anulan; si se confirma esa hipóesis, se acepa la forma funcional lineal del mismo. Para realizar el conrase RESET se debe decidir cuanas funciones de los valores ajusados se incluirán en la regresión ampliada. No hay una respuesa concrea a esa preguna, pero los érminos al cuadrado y al cubo suelen ser suficienes en la mayoría de los casos. Sean Yˆ los valores ajusados por MCO al esimar la ecuación Y = β + β X + L + β X + ε k k Se considera la ecuación ampliada Y 3 + β X + L + β k X k + α Yˆ + α 3Yˆ = β + ε

85 Obviamene no hay inerés en los valores esimados de esa úlima ecuación, solo se quiere deerminar la exisencia de linealidad en el modelo esimado originalmene. Se debe recordar, al respeco, que ˆ 3 Y, Yˆ son funciones no lineales de las variables exógenas. La hipóesis nula es la linealidad. Formalmene, Ramsey esablece, H : ε N(0, σ I); H : ε N(ε, I) ε 0 0 σ El esadísico RESET es una F que, bajo hipóesis nula, iene, T k grados de liberad. porqué?. En general, se pueden expresar los grados de liberad en función de la canidad de regresores que se añaden, pero eniendo en cuena que se deben dejar los suficienes grados de liberad para la esimación del modelo. = El esadísico se consruye con los coeficienes de deerminación de la ecuación original y la ampliada ( y, respecivamene) y los grados de liberad ienen en cuena los parámeros adicionales en la ecuación ampliada. 9.. Especificación de modelos no lineales En el proceso de invesigación economérica, a veces hay que responder a la preguna sobre qué ipo de modelo especificar, ya que la eoría respeciva puede no dar indicios acerca del modelo a aplicar.

86 Ejemplo 9.. Para esudiar el crecimieno del empleo se puede uilizar un modelo del ipo: donde: = U, denoa la asa de crecimieno o desrucción del empleo W p, es el salario real Ese modelo es claramene no lineal pero puede ransformarse en oro lineal mediane un cambio de variables, haciendo Y = ln U X W = ln p Quedando, Y α + βx + µ = Esa especificación iene la venaja de que el valor del coeficiene β proporciona la elasicidad desempleo - salario real, pueso que: dlnu W /p du Variac.% en U β = = = dlnw /p U d(w /p ) Variac.% en W /p Una forma general del modelo de regresión es =,+ (9.)

87 El modelo lineal general es un caso especial de (9.), pero esa especificación incluye ambién a, por ejemplo, =! "# $ + (9.) Que no iene una ransformación lineal. Ese modelo se denomina inrínsecamene no lineal ya que no puede ransformarse en lineal. Lo que caraceriza a (9.) como un modelo de regresión no lineal es el méodo de esimación de sus parámeros. En general, se verá que los residuos de un modelo no lineal no siguen una disribución normal, por lo que habrá que buscar oros méodos de esimación basados en procesos ieraivos. Por lo ano, un modelo es no lineal cuando no es lineal en los parámeros, no impora si las variables son lineales. De esa forma, por ejemplo, los modelos β ( X ) ( 0,75 β ) e Y = β + + µ Y = β + β + µ 3 X i son no lineales porque no hay una manera simple de expresar una relación lineal enre parámeros. Un modelo especificado como =! "# $ %& $ Es un modelo inrínsecamene lineal, ya que se puede ransformar en lineal aplicando logarimos en ambos miembros de la ecuación. Enonces, un modelo es lineal en

88 -parámeros y variables Y α + α X + α + µ = 3X 3 -parámeros Y = α + α X + α + µ 3 X Por lo ano, los modelos Y e + β X = β + µ Y = β + β + µ + e X son inrínsecamene modelos lineales porque se linealizan de manera simple a parir de la aplicación de logarimo. Ejemplo 9.. Las siguienes funciones de Cobb-Douglas: Y = β X β β X 3 3 µ se conviere en lineal al hacer '( ='! + ') + * ') * +'+ Y = β X β β X 3 3 + µ no se conviere en lineal porque '( =',! ) " ) * ese modelo es no lineal. - ++. siendo L ( A B ) ln A + ln B + por lo que La función de disribución con elasicidad consane de susiución (ECS) ambién es un ejemplo de no lineal β β [ δk + ( δ ) Li ] β Y = A µ

89 De manera general, se considerarán ecuaciones de la forma =,+ Donde,,=/),,),!,,, (9.3) / es una función no lineal de las k- variables independienes X,..., X k y los k coeficienes β,...,β k. El crierio usado para deerminar los valores esimados de los coeficienes es el mismo que se usa en una regresión lineal; es decir, la minimización de la suma de cuadrados del error. Si se ienen T observaciones en Y, X,..., X k, se puede escribir la suma de cuadrados del error como: T = [ ] y f ( X,..., X, β,..., β S( β ) = k k ) (9.4) Se denominarán!,, a las esimaciones de mínimos cuadrados no lineales de β,...,β k ; es decir, los valores que minimizan la suma de cuadrados de S. En el caso de una regresión lineal es sencillo, desde el puno de visa del cálculo, obener las esimaciones de mínimos cuadrados. Sin embargo, para una ecuación no lineal, hay méodos de cálculo alernaivos para enconrar esimaciones de coeficiene que minimicen la suma de cuadrados del error en la ecuación (9.4).

9.3. Esimación por MCNL 830 En general, un modelo de regresión no lineal es aquel para el cual sus primeras derivadas con respeco a los parámeros son funciones no lineales de ésos. Si se iene el modelo: =,+ El esimador de mínimos cuadrados no lineales es aquel que minimiza la suma de cuadrados residuales: 3 = = [,] (9.5) Si se disribuye normal, enonces el esimador de mínimos cuadrados no lineales coincide con el esimador de máxima verosimiliud. Las condiciones de primer y segundo orden, necesarias y suficienes para la minimización, respecivamene, vienen dadas por: 78 = [ 7,] 7: $, =; (9.6) 7 7 " 8 77 < == 7: $,7: $, [ 7 7>,] 7" : $,?=; (9.7) 77 < donde la mariz en la ecuación (9.7) debe ser definida posiiva. Ejemplo 9.3. Si se iene el modelo (9.), la suma del error β cuadráico es ( ) X S( β ) = y β e

83 Para minimizar esa suma S β) = β βx ( β x y ) β e e ( ) ( S β) = β βx x ( y β e )( β e x ) ( β Al igualarlas a 0 y resolverlas simuláneamene se obiene βx βx y e = βe βx βx y xe = β xe Esas ecuaciones no ienen una solución explicia. Para resolverlas se uiliza la expansión de Taylor. Además, @ A =B A C D EF A GH A, GH A, K G = C N D EF A G JGH A,M = C F A D EF A A=C,,P I G E L Por lo ano, se requiere de algún méodo ieraivo para enconrar Q C B Q E. El méodo de esimación de modelos no lineales uiliza mínimos cuadrados no lineales o linealización mediane la expansión de series de Taylor. La ecuación no lineal es linealizada alrededor de algún conjuno inicial de valores de los coeficienes. Luego se aplica mínimos cuadrados ordinarios a esa ecuación lineal, generando un nuevo conjuno de valores de los coeficienes; enonces, se vuelve a aplicar mínimos cuadrados ordinarios para generar nuevos valores de los coeficienes,

83 siendo la ecuación relinealizada alrededor de esos valores. Ese proceso ieraivo se repie hasa que se alcanza la convergencia; es decir, hasa que los valores de los coeficienes no cambian, de manera considerable, después de cada nueva regresión de mínimos cuadrados ordinarios. Ese enfoque iene cieras venajas, la primera es la eficiencia de cálculo. Si la ecuación que se va a esimar es aproximada en forma cercana por una ecuación lineal, pueden ser necesarias muy pocas ieraciones. Una segunda venaja es que proporciona un lineamieno claro para hacer pruebas esadísicas que, por lo general, sólo se aplican a la regresión lineal. Dado que se realiza una regresión lineal en cada ieración, pueden usarse pruebas esadísicas esándar (, esadísica R, ec.) para evaluar el ajuse de la ecuación linealizada final. Observación. Se usa el hecho de que cualquier función no lineal puede expresarse como una expansión de series Taylor. Se puede escribir, específicamene, la ecuación (9.3) en una expansión alrededor de un conjuno de valores iniciales β!t,,β UT para los coeficienes β,...,β k. En ese puno no es imporane cómo se obuvieron esos valores iniciales; se supone que represenan conjeuras de los valores verdaderos. La ecuación expandida es: k f Y = f X,..., X, β,..., β ) +,0,0 k k i= βi ( β β ) +... ( i i, 0 k k f... + β β i i,0 j j, 0 i= j= i j 0 ( β β )( β β ) +... + ε 0

Aquí, el subíndice 0 en las derivadas parciales denoa que esas derivadas son evaluadas en β! =β!,t,,β U =β U,T. 833 Una aproximación lineal a esa función no lineal es proporcionada por los dos primeros érminos de la expansión en series de Taylor. Al eliminar los érminos de segundo orden y de orden superior y rescribir la ecuación, se obiene: Y f f f β + ε (9.8) ( X,..., X,,... β ) k k,0,0,0 k k + βi = βi i= βi 0 i= βi 0 Obsérvese que la ecuación (9.8) iene la forma de una ecuación de regresión lineal. En el lado izquierdo hay una variable dependiene consruida y la pare derecha consise (además del érmino del error adiivo) en un conjuno de coeficienes desconocidos (β,...,β k ) que muliplican al conjuno de variables independienes consruidas. De ese modo, los coeficienes pueden esimarse ejecuando una regresión de mínimos cuadrados ordinarios. Los valores de los coeficienes esimados para β,...,β k, los cuales se denominan β,,...,β k, se usan como un conjuno nuevo de esimaciones iniciales, siendo la ecuación no lineal relinealizada alrededor de esos valores. El resulado es una ecuación de regresión lineal nueva: Y f ( X,..., X, β,... β ) f f k k,0,0, k k + βi = βi i= βi i= βi + ε A esa ecuación, se le aplica mínimos cuadrados ordinarios obeniéndose un nuevo conjuno de esimaciones de los coeficienes β,,...,β k,.

El proceso de relinealización se repie hasa que ocurre la convergencia; es decir, hasa que: 834 V W X,YZ[\W X,Y W X,Y V<δ i=,,.,k (9.9) donde δ es un número pequeño cuya elección depende en pare del coso de cálculo. No obsane, no exise garanía de que ese proceso ieraivo sea convergene a la esimación de máxima verosimiliud de los coeficienes. Pero puede, por ejemplo, converger en un mínimo local -en oposición a uno global- de la función de suma de cuadrados de los errores. Una forma de ver si ha ocurrido eso es repeir la esimación, comenzando con un conjuno diferene de conjeuras iniciales para los coeficienes. El hecho de que el proceso ieraivo puede no converger en absoluo es muy imporane. Las esimaciones subsecuenes de los coeficienes pueden diferir, y el lado izquierdo de la ecuación (9.9) puede hacerse más grande con cada nueva ieración; es decir, el proceso puede divergir. Si ocurre divergencia, se puede comenzar el proceso ora vez, usando un conjuno nuevo de conjeuras iniciales para los coeficienes. Si el proceso aún no converge, puede ser necesario inenar un méodo de esimación diferene. Un méodo alernaivo implica una variación en el méodo de linealización ieraivo. En lugar de usar las esimaciones sucesivas resulanes de cada linealización, las esimaciones son calculadas a parir de:

835 b,c%! = b,c +d b,c%! b,c Donde, de acuerdo a Marquard, β i, j es la esimación de mínimos cuadrados de la (j+)ésima ieración y α es un facor de amoriguamieno (0<α<). El facor de amoriguamieno α puede elegirse para eviar rebasar los límies del mínimo de la función de la suma de cuadrado de los errores. El facor de amoriguamieno ambién puede usarse para cambiar el paso β i, j+ - β i, j de modo que sus valores se encuenren en algún lugar inermedio indicado por el méodo de linealización y por el méodo de descenso de pendiene máxima. Ésa es la base para el méodo de Marquard. ˆ + Hay oros méodos de esimación no lineal que esán disponibles y pueden proporcionar esimaciones convergenes cuando fallan los méodos anes descrios; sin embargo, no hay un méodo mejor que oro, dado que mienras uno puede converger con más facilidad oro puede implicar menos coso de cálculo. A menudo se usan méodos alernaivos como una forma de comprobar que se ha alcanzado el mínimo global de la función de la suma de cuadrados de los errores.

836 9.4. Evaluación de ecuaciones de regresión no lineal Las pruebas esadísicas usadas para evaluar el ajuse de una ecuación de regresión lineal no son aplicables en forma direca a una regresión no lineal. Por ejemplo, el esadísico no puede usarse para la prueba de significación conjuna en el ajuse general de una regresión no lineal, ni pueden usarse los esadísicos R de la manera usual. Una razón para eso es que se obiene una esimación sesgada de e &. Aún si ε esá disribuido en forma normal con media 0, los residuos que vienen dados por: e = Y f ( X,...,, ˆ,..., ˆ X k β βk ) (9.0) no esarán disribuidos en forma normal (ni endrán media 0). Por ano, la suma de residuos cuadrados no seguirá una disribución chi cuadrado, los coeficienes esimados no esarán disribuidos en forma normal y las pruebas y F esándares no podrán aplicarse. Sin embargo, las pruebas y F se pueden realizar en la regresión lineal que se aplica a la linealización final del proceso ieraivo aplicado sobre la expansión de Taylor. Esa linealización proporcionará una aproximación razonable a la ecuación no lineal y ajusará los daos. Si no ajusa los daos, habrá duda en el ajuse de la ecuación no lineal en su conjuno. El sofware Eviews, que realiza esimación no lineal por medio del enfoque de linealización, calcula esadísicos y errores esándares

837 asociados para la úlima linealización, donde esos errores esándares son esimados en forma consisene. A diferencia de las pruebas y F, puede aplicarse a una regresión no lineal con su inerpreación habiual. 9.5. Tes de Hipóesis para resricciones lineales Para conrasar hipóesis de un conjuno de f resricciones lineales o no lineales, se planea g T :i j# #! =k j#! Ejemplo 9.4. Para el modelo genérico B A =H A,+@ A, se planea el siguiene par de resricciones no lineales en los parámeros: En ese caso se iene l ; =m C+E E n n =; C E E =C i=o C+E n E n E p y k=q ; C E C r

838 Se esudiarán cuaro méodos mediane los que se puede conrasar el ipo de hipóesis del ejemplo anerior: es de Wald, es de razón de verosimiliud, es de muliplicador de Lagrange y un es F aproximado. Esos es se aplican igual que en regresión lineal, pero en el caso no lineal son equivalenes sólo asinóicamene. Tes de Wald El esadísico del Tes de Wald, para conrasar resricciones no lineales, se define como = siq k > uvwxsiq ky \! siq k= = siq k > [z{qz > ] \! siq k ~ j (9.) Donde: {Q =Var Q, esimador de mínimos cuadrados no lineales de la varianza asinóica de Q,ƒ = 7i Q 7 <., es una mariz de rango compleo y f, el número de j# resricciones, iene que ser esricamene menor que. Eso es análogo al modelo lineal general, en el que z sería la mariz de coeficienes de las resricciones. Con los daos del ejemplo 9.4, z # = 6! 0 0 0 0 0

839 Sea Q el esimador de mínimos cuadrados no lineales no resringido y sea Q el esimador obenido cuando se imponen las resricciones. Todos los conrases esadísicos que se van a considerar en esa sección son iguales asinóicamene y la elección de uno o de oro dependerá del coso de los cálculos. Es oporuno aclarar que ese es de Wald presena similiudes con el uilizado para resricciones lineales pero no es el mismo es. Tes de Razón de Verosimiliud Bajo normalidad de los errores, el logarimo de la función de verosimiliud del modelo no resringido viene dado por: ln'= lnše + Œ Ž! J, @> @ e Donde J, = 7& $ 7 $ = 7 $, 7 $ es el jacobiano de la ransformación. Sea ' el logarimo de la función de verosimiliud evaluada en los esimadores resringidos. Enonces se iene que: ln' ln' ~ j (9.) Si el érmino del jacobiano no esá presene en la función logarimo de verosimiliud, enonces la función ln' evaluada en los esimadores de máxima verosimiliud no resringidos se reduce a:

840 ln'= @ +lnš+ln @ > = +lnš+lne En ano, ln' =,+lnš+ln, @ < i@ i..= +lnš+lne Con eso, el esadísico de razón de verosimiliud se reduce a lne lne = Œ, š " š ". ~ j (9.3) œ Ese mismo resulado se puede aplicar al modelo de regresión lineal clásico. Tes de Muliplicador de Lagrange Sea = s, Q Enonces, ž >ž = 7:s $, Q 7:s $, Q Ž! 7 7 < Donde, ž es la mariz de regresores del modelo no lineal, y ž es la misma mariz calculada en las esimaciones resringidas. Enonces el esadísico del muliplicador de Lagrange para el modelo de regresión no lineal es, 'Ÿ= < ž sž <ž [ ž < < ~j (9.4) Ese esadísico solo necesia de los esimadores resringidos, lo que hace más sencillo su cómpuo.

84 Tes (aproximado) El análogo no lineal del esadísico F basado en el ajuse de la regresión, es decir la suma de los errores al cuadrado, es j, \ = u8s Q \8 Qy/j 8 Q/ \ (9.5) Donde, 3 = [, ] La disribución de ese esadísico es aproximada, ya que como esablece Greene (W. Daniel) en el conexo no lineal, ni el denominador ni el numerador siguen exacamene la disribución chi cuadrado necesaria, por lo que la disribución de es sólo aproximada. Nóese que ese esadísico requiere que se esimen, ano el modelo resringido como el no resringido. (pp. 43) Ejemplo 9.5 Exraído de Greene (W.H. Greene) Considere el modelo de consumo: z A = + A + @ A @ A ~ ;, E A=C,E,...,P Donde z represena consumo e ingreso agregado. Bajo la hipóesis nula l ; : =C, el modelo es lineal en los parámeros. Por lo ano, puede ser esimado mediane mínimos cuadrados ordinarios. Con cifras anuales de la economía americana para el período 950-985 se esiman funciones de consumo agregado que arrojan los resulados de la Tabla.

84 Parámero Modelo Lineal (Resringido) Error Esándar Modelo No Lineal (No Resringido) Error Esándar d.5 9.64 84.97 39.3 0.89 0.0058 0.5 0.08.00.535 0.039 > 068 84.95 0.9956 0.99899 Considerando el número de 36 observaciones, T=36; conrasar la hipóesis l ; : =C frene a la alernaiva l ; : C, haciendo uso de los cuaro ess visos aneriormene. Si =, se esá en presencia de un modelo lineal.. Tes de Razón de Verosimiliud Dado que en ese caso la función de verosimiliud no involucra el érmino del jacobiano, el es de razón de verosimiliud oma la forma en la ecuación (9.3): Ps s š E i s š E i =P š i E E š E ± ² i En ese caso T=36, q=, e =!T³ *³ Reemplazando en el esadísico 36 [Ln(335.)-Ln(33.94)] =335,, e =!, ¹ =33,94 *³ se iene que el es de muliplicador de Lagrange oma el valor E de.95. Ese supera al valor críico ± ;,;¼;C =n,¾. Por lo ano, se rechaza l ; : =C y se concluye que la especificación lineal no es correca.

843. Tes de Wald La expresión del Tes de Wald es = siq k > uvwxsiq ky \! siq k = siq k > [z{qz > ] \! siq k Donde: Realizando los reemplazos x = =.535 ƒ = Á Á =Á Á = vã =0.039 Ä =.535 [ 0.039 ] \C.535 = C,C¼n¼ CE ;,;nån E =C¼,EÅ Nuevamene, el esadísico calculado supera el valor críico. Por lo ano, se rechaza l ; : =C. 3. Muliplicador de Lagrange En ese caso ž> A =C A A A

Porqué? Dado que h Ç, d ( b È, se iene que ÉÊ ÉË 844 ÉÊ, ( È ÉW b y ÉÊ ( È ÉÌ b ln ( b. Ese úlimo resulado se obiene haciendo uso de ÉÍ Ï Î ( È ÉÌ b ln ( b > Ñ! Ö ( È! ( È! ln (! > È Ñ Por lo ano, žð Ó Õ ( ( È Ù Ö ƒ È!d (! Ù È ln ( Ø Õ, Õ ƒ d ( Ñ > Ô ( È ( È ln ( ØØ Õ Ø Õ Ôƒ d ( È ØØ Para compuar el es de muliplicador de Lagrange, se evalúan en los esimadores resringidos. Eso es, en aquellos obenidos con el modelo lineal: š C¾.ÅÚ, Q ;.E¼E Û Ü C. Haciendo los cálculos se obiene: 'Ÿ 3547.3 068/36 0.586 Donde: > ž sž > ž \! ž > 3547.3 > 068 36 335. Nóese que > es la suma de cuadrados esimados bajo el modelo resringido, eso es, el modelo lineal. 4. Tes F 06884.95/ 84.95/36 3 4.86

El valor críico T. ¹;!,** =4.8 por lo que, al igual que en los res casos aneriores, se rechaza la hipóesis nula. 845 9.6. Pronósico con regresión no lineal Una vez que se ha esimado una ecuación de regresión no lineal, puede usarse para obener pronósicos. Un pronósico esará dado por: Yˆ f ( X,..., X, ˆ β,..., ˆ β ) = (9.6) T +, T + k, T + k En el capíulo 5 se observó que, para una regresión lineal, un pronósico como el expresado en 9.6 es insesgado y iene el error cuadráico medio mínimo. Sin embargo, no puede hacerse esa afirmación para un pronósico generado a parir de una regresión no lineal. La razón para eso es que los errores de pronósico no esarán disribuidos en forma normal con media 0, como lo fue para una ecuación lineal. En el caso no lineal no se puede afirmar que el error de pronósico es menor que el error generado por un conjuno diferene de esimaciones de los coeficienes. Además, las fórmulas para el error esándar de pronósico (es decir, la desviación esándar del error de pronósico) y los correspondienes inervalos de confianza que se derivaron en el capíulo 5 para el caso lineal no se aplican a la ecuación (9.6). De hecho no hay ninguna fórmula analíica que pueda usarse para calcular en forma direca inervalos de confianza de pronósico para la ecuación no lineal general.

846 Se puede realizar un pronósico Mone Carlo, usando errores disribuidos en forma normal para los coeficienes y el érmino del error adiivo, pero con los resulados de la regresión lineal de la úlima ieración con el fin de proporcionar esimaciones para los errores esándares. Ejemplo 9.6. Considérese la siguiene ecuación de regresión no lineal: Y β + β X = 0 β + ε Después de que se ha esimado la ecuación y se ha calculado un pronósico Yˆ T +, se calcula el error esándar de pronósico como sigue:. Se rescribe la ecuación como: Y β η β η β η = + + + X + ( ) ( ) 0 0 + ε η donde se esablece que 0, η, η ε y son variables aleaorias disribuidas en forma normal con media 0 y desviaciones esándar iguales a los errores esándares calculados a parir de la regresión lineal correspondiene a la úlima ieración del proceso de esimación.. Se generan números aleaorios (de las disribuciones η normales apropiadas) para 0, η, η y ε T + para usarlos para el pronósico Yˆ T +. 3. Se calcula ese pronósico. 4. Se repie el paso unas 00 o 00 veces.

847 5. Se usa la desviación esándar muesral de la disribución resulane de valores para Yˆ T + como el error esándar del pronósico. Enonces, ese error esándar aproximado del pronósico puede usarse para calcular inervalos de confianza. No hay garanía de que ese méodo proporcione una aproximación cercana al error esándar de pronósico verdadero; sin embargo, al menos proporciona alguna medida de la confianza del pronósico. Ejemplo 9.7. Función de Consumo En ese ejemplo se esima una función de consumo que es no lineal en los coeficienes. El objeivo es relacionar el consumo real agregado (dólar consane) z con el ingreso disponible real agregado ß en Esados Unidos, usando daos de series de iempo rimesrales. También se quiere probar la hipóesis de que la propensión marginal a consumir (àáz, marginal propensiy o consume), definida como: MPC = dc dyd declina conforme se incremena el ingreso disponible. Esa hipóesis es fácil de apoyar con el uso de daos de core ransversal (ejecuando la regresión del consumo conra el ingreso para grupos con niveles diferenes de ingreso), pero no usando daos de series de iempo.

848 De manera ípica, se esima la función de consumo lineal en los parámeros: C = α 0 + αyd + α YD + ε Se espera que α C sea posiiva. Si se esima la ecuación usando daos de core ransversal, por lo general, resulará un valor significaivo y negaivo de α E ; mienras que si se usan los daos de serie de iempo, la esimación de α E puede ser posiiva. Como alernaiva, se esima la función de consumo no lineal: C = α YD 0 + α α + ε Los daos de series de iempo rimesrales que se esán usando abarcan el período 947- a 995-3, la esimación se realiza mediane el proceso de linealización ieraiva. Se usa el valor.0 como una conjeura inicial para los res coeficienes (se espera que α C y α E esén cerca de ese valor, pero no hay expecaiva respeco al valor de α ; ). La convergencia ocurre después de ieraciones. La ecuación no lineal esimada es: C ˆ = 56.33 + 0.95YD.80 Los errores esándares para ˆ α 0, ˆα y ˆα son 6.7, 0.0 y 0.06, respecivamene. Como resulado, cada una de las esimaciones de coeficiene es alamene significaiva en el nivel del 5%. Además, i E es igual a 0.999. Por comparación, ambién se esimó la siguiene regresión lineal (los errores esándares esán enre parénesis): C ˆ = 4.95+ 0.98 YD (7.03) (0.0030 ) R = 0.998 s = 39.3

849 Nóese que la àáz para la ecuación lineal es una consane, 0.98; sin embargo, la àáz es para la ecuación no lineal MPC = dc dyd = α α YD α El valor medio de ß es 65 y en ese valor àáz es 0.97. Obsérvese que àáz declina conforme se incremena ß; para ß igual a 600, àáz es 0.805. CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS Y PROBLEMAS Problema 9.: β Trabajar con la abla 9. y esimar Y = β exp X + µ En Eviews, en primer lugar, se debe generar la serie e = exp( ) Luego, desde Quick_esimae equaion ingresar la ecuación ( ) * e^( c( ) X) Y = c *

850 Table 9.. Managemen Fee Schedule of a Muual Fund Y Fee (%) X Neasse value ($, billions) 0,5 0,5 0,508 5 0,484 0 0,46 5 0,44 0 0,44 5 0,4 30 0,40 35 0,394 40 0,388 45 0,383 55 0,374 60 Fuene: Gujarai (C. Perez Lopez) En Mehod seleccionar LS leas square (NLS and ARMA) [NSL significa no lineal]. El resulado de la esimación es: Yˆ = 0, 50e -0,006X Los valores de y F sólo son válidos para muesras grandes, son resulados asinóicos. El cambio marginal en Y cuando cambia X es d = dx βx ( β ) β X 0, X ( ) exp = ββ exp = 0,5089 0,005965 dx exp dy 005965 la asa de cambio depende del valor paricular de X X = valor de acivos en millones de dólares

85 Y = comisión en % Es necesario analizar odos los supuesos del MCO cuya solución no se expone en Gujarai. Problema 9.: La abla 9. que coniene daos de población de los Esados Unidos (en millones de personas) enre 970 y 999. Considerar los modelos de crecimieno Y β β + µ = + ln Y β β + µ = + β Y µ = + β + β e Crecimieno logísico β β e 3 e + Crecimieno Gompez Y = β µ La variable USpop es la población en EE.UU y ime es una variable que indica iempo

85 Table 9. USPOP TIME 05.05 07.66 09.896 3.909 4 3.854 5 5.973 6 8.035 7 0.39 8.585 9 5.055 0 7.76 9.966 3.88 3 34.307 4 36.348 5 38.466 6 40.65 7 4.804 8 45.0 9 47.34 0 49.948 5.639 55.374 3 58.083 4 60.599 5 63.044 6 65.463 7 68.008 8 70.56 9 73.3 30 Fuene: Gujarai (C. Perez Lopez) Para el modelo (a.) En Quick_Esimae equaion ingresar la ecuación ( ) + c( ) ime USpop = c * El resulado de la esimación es

853 USpop ˆ = 0597,7 + 38, 485ime Esa esimación es lineal por lo que corresponde que se cumplan odos los supuesos. Para el modelo (b.) En Quick_Esimae equaion ingresar la ecuación @log ( USpop) = c( ) + c( ) * ime En Eviews hay dos caminos para ransformar una variable:. generar una nueva variable a parir del comando GENR;. inroducir la función de ransformación en la esimación. En ese caso `@log equivale a generar la serie logarimo naural de USpop. La esimación responde al modelo Y = e β + β + µ ( β + β + ) lne ln Y = µ Siendo el resulado: USpop = e,48+ 0,0098ime

854 Para el modelo (c.) Desde Quick_Esimae equaion ingresar la ecuación [ c( ) /( + c( ) *(@exp(- c( 3) ime) ))] USpop = * Observar que el modelo iene variables y 3 incógnias; el resulado de la esimación es 38766, 4 USpop = 7, 877 74, e ime Para el modelo (d.) Desde Quick_Esimae equaion ingresar la ecuación ( ) *(@ exp( - c( ) (@ exp( - c( 3) ime) ))) USpop = c * Se observa que aquí el coeficiene no es único. Problema 9.3 La abla 9.3 iene información para la economía mexicana enre los años 955 y 974. Se pide especificar y esimar, para comparar, los modelos β β3 ui a. Y = X X e β 3

β β3 b. = β X + µ Y X3 Donde, el primero se puede linealizar mienras que el segundo no. 855 Tabla 9.3 YEAR GDP LABOR CAPITAL 955 4043 830 83 956 040 859 93749 957 987 8738 059 958 34705 895 530 959 39960 97 50 960 505 9569 3706 96 57897 957 48897 96 6586 966 6066 963 7849 0334 75466 964 99457 098 95378 965 33 746 3575 966 6977 5 33764 967 494 540 363599 968 6088 066 39847 969 77498 97 438 970 96530 955 455049 97 3067 3338 484677 97 39030 3738 50553 973 354057 594 5653 974 374977 454 60985 Fuene: Gujarai Modelo (a.). El primer modelo se linealiza: ln Y = ln β + β ln X + β3 ln X3 + ui ln e En Eviews se rabaja desde Quick_Esimae equaion de la manera habiual, eniendo en cuena que ln = @log( ) X = capial

856 X = labor 3 ln β =,65 e ln β,65 = e = β El resulado de la esimación es: gdp = e,65 Capial 0,8459 Labor 0,3397 Modelo (b.). Nuevamene se rabaja en Eviews desde Quick_Esimae equaion, pero ahora ingresando la ecuación GDP = c ( ) * ( Capial^ c( ) )* ( Labor^ c( 3) ) El resulado de la esimación es GDP ˆ = 0, 59 Capial 0, 88 0,8 Labor EJERCICIOS Expanda la función de consumo C = a + a YD a3 en una expansión de serie de Taylor alrededor de alguna conjeura inicial para a 0, a y a. Esablezca la ecuación de regresión lineal. Explique cómo sería relinealizada la ecuación alrededor de las

857 esimaciones mínimo cuadráicas ordinarias a parir de la primera regresión.. Escriba la función de suma de cuadrados de los errores S para la función de consumo no lineal C = a + a YD 0 a Tome las derivadas de S con respeco a a 0, a y a para obener las ecuaciones normales. Describa cómo podrían resolverse esas ecuaciones normales para producir esimaciones de a 0, a y a. Bibliografía Amemiya, T. "Nonlinear Regresión Models," Handbook of Economerics De Z. Griliches Y M. Iniligaor. Ámserdam Fernandez, Viviana. "Apunes De Teoría Economérica I," hp://www.oociies.org/vivipauf/pag.hm, Mínimos Cuadrados no Lineales. Saniago: Ponificia Universidad Caólica de Chile, 0. Greene, W.H. Análisis Economérico. Madrid: Pearson Educación, S. A., 999. Gujarai, Damodar. Economería. México: Mc.Graw Hill, 004. Marquard, D.W. "An Algorihm for Leas Squares Esimaion of Nonlinear Parameers." Journal of he Sociey of Indusrial and Applied Mahemaics, 963,, pp. 43.