Preguntas Propuestas 4
Clasificación de los Z + III 1. Si la cantidad de divisores de 52! es m y la de 54! es P, calcule m P. A) 40 91 D) 400 459 B) 200 459 C) 200 409 E) 100 229 2. Cuántos triángulos rectángulos de catetos enteros y expresados en metros, se podrán formar, cuyas áreas sean 480 m 2? A) 1521 B) 645 C) 1836 D) 1638 E) 546 7. Existen nm polígonos regulares diferentes de lados enteros, en cm, tales que su semiperímetro es 5544 cm. Cuántos rectángulos cuyos lados son enteros, en cm, y PESI existen, de modo que su área sea (n+m)! cm 2? A) 16 B) 4 C) 32 D) 8 E) 64 A) 14 B) 16 C) 10 D) 28 E) 24 3. Cuántos numerales de tres cifras poseen 5 divisores impares? A) 5 B) 1 C) 4 D) 2 E) 3 4. Si 12 n 8 n tiene 30 divisores no simples, calcule la cantidad de divisores PESI con 3 del número nnn n3. 8. Se sabe que desde 231 hasta abc hay 380 números que son primos relativos con 891. Calcule a+b+c. A) 17 B) 12 C) 21 D) 19 E) 20 MCD y MCM I 9. La suma de dos números es 224 y el MCD de los mismos es 14. Cuántas parejas de números cumplen las condiciones anteriores?... A) 36 B) 64 C) 80 D) 81 E) 92 5. Si la cantidad de divisores de 40 n +20 n es a0(4a), cuántos divisores cuadrados perfectos tiene an na? A) 900 B) 864 C) 1032 D) 961 E) 1024 6. La suma de las inversas de los divisores de N es 28/9; además, N tiene 23 divisores propios y 4 simples. Calcule la suma de divisores de N que son divisibles entre 3 si N no es múltiplo de 81, pero sí es múltiplo de 4. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. La suma del MCD y MCM de dos números es 1452, además la diferencia de dichos números es 84. Cuál es la suma de cifras del menor de los números? A) 15 B) 9 C) 12 D) 21 E) 18 11. Si A 3 +B 2 =3185, además MCD(A; B)+A=21, halle A+B. A) 18 B) 21 C) 27 D) 14 E) 35 2
12. Roxana quiere empaquetar en cajas cúbicas idénticas 12 000 barras de jabón, cuyas dimensiones son 20 cm, 15 cm y 12 cm, de modo que todas estén completamente llenas. Cuántas cajas cúbicas, como máximo, se podrán utilizar? A) 200 B) 210 C) 240 D) 260 E) 180 13. Tres ciclistas recorren un velódromo circular de 3600 m de longitud cuyas velocidades son 36 m/s, 24 m/s y 30 m/s. Si a las 11:59 a. m. pasan los 3 ciclistas por el mismo punto, cuántas veces más se encontraron en dicho punto desde las 12:00 p. m. hasta las 3:00 p. m.? A) 17 B) 6 C) 12 D) 18 E) 24 14. El MCD de 2 números A y B es 56. Si la cantidad de divisores de A es igual a la cantidad de divisores de B, ambos números tienen tres divisores simples. Calcule la suma de los números si la cantidad de divisores del MCM es 32. Dé como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 12 B) 10 C) 15 D) 13 E) 16 15. El distrito A tiene agua por 6 horas seguidas, luego se corta por 2 horas y así sucesivamente; el distrito B tiene agua por 4 horas seguidas, luego se corta por 1 hora y así sucesivamente; el distrito C tiene agua por 12 horas seguidas, luego se corta por 3 horas y así sucesivamente. Si el día lunes a las cero horas han coincidido en cerrarse las llaves de agua, cuántos días transcurrirán para que nuevamente en los tres distritos se cierren las llaves el lunes a las cero horas? A) 32 B) 18 C) 42 D) 35 E) 24 16. Se tienen tres recipientes que contienen 300; 480 y 600 litros de vino, y se desea envasar los contenidos en recipientes más pequeños cuyo volumen sea una cantidad entera en litros y esté comprendida entre 24 y 36 litros. Cuántos envases se necesitarán? A) 46 B) 23 C) 44 D) 45 E) 40 MCD y MCM II 17. Si MCM(A; B)=ab [MCD(A; B)] 2 además, A B=18 144 Halle el MCM(A; B) A) 3020 B) 3200 C) 3024 D) 3131 E) 3240 18. Si el MCM(A; B; C)=1182, además MCD(B; C)=591 y MCD(A; C)=394 Halle C A B. A) 190 B) 195 C) 197 D) 394 E) 591 19. Al calcular el MCD de los números (a+1)bcd y aa(a+6)(a+6) mediante divisiones sucesivas se obtuvieron como cocientes 1; 1; 2 y 3. Halle el mayor de los números si la tercera división se hizo por exceso. Dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 20. Cuando se triplican los valores de A y B, su MCM aumenta en 3n; pero si se duplica su MCD, aumentaría en 2m. Calcule A B. A) mn B) 2mn/3 C) 3mn D) 2mn E) 3mn/2 3
... 21. Se cumple que MCM (3A; 15B)=24 N MCM (B; 2C)=4 N MCM (9A; 45B; 90C)=180BC Calcule el MCD (B; 2C). A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 22. Si se cumple que MCM (aa0bb; 56N)=MCM (aa0bb; N) además, MCM(ab; N)=198 calcule la suma de valores de N. A) 330 B) 418 C) 429 D) 231 E) 132 23. Si se cumple que MCD (8A; 6B)=(3n)n MCD (12B; 4C)=m(3m)n además A+B+C=628 calcule el MCD (A+B; C). A) 6 B) 4 C) 8 D) 2 E) 11 24. La suma de cifras del MCD de A+2 y B 2 expresado en base 13 es 25(a+b), tal que A = 33333 31( 13) y ab0 cifras B = 33333 35 ( 13 ); m es mínimo mn cifras Calcule el mínimo valor de a+b+m+n. Potenciación 25. Cuál es el menor entero positivo par que existe, tal que al sumarle sus 5/7 se obtiene una potencia perfecta de grado 2? Dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 15 B) 12 C) 9 D) 18 E) 6 26. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. abc5=k 2 entonces b+c es par. II. 1npq0=k 2 entonces n+ p es par. III. Si N=k 2 +r entonces el residuo r máximo es par, siempre que N Z. IV. ab0ab 5 =k 2 entonces a+b=6. A) VFFV B) VVFV C) VFVV D) VVFF E) FVVF 27. Si la sucesión 12(6); 12(8); 12(10); 12(12);... posee solo tres términos que son cubos perfectos, cuántos términos que sean cuadrados perfectos, pero no potencias perfectas de grado 4 tendrá, como máximo, dicha sucesión? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 8 28. Determine a+b de modo que abab disminuido en una unidad sea un cuadrado perfecto. A) 8 B) 6 C) 10 D) 9 E) 12 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 4
29. Al alinearse los alumnos de un colegio forman un cuadrado compacto, pero luego llegan 321 alumnos y ahora forman un cuadrado compacto de 3 alumnos más por lado. Si se quiere formar un cuadrado compacto que contenga 54 alumnos por lado, pero que en el centro se forme un cuadrado concéntrico vacío y al final sobren 125 alumnos, cuántos alumnos por lado tendrá el cuadrado concéntrico que tiene menos alumnos? A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 7 30. Si abc=9 º +4 y abc 2 =n(3n)0abc calcule a b+c+n. A) 18 B) 20 C) 22 D) 21 E) 24 31. Si se cumple que abc 2 =2(b c)c(b 1)2c, calcule a b+c. A) 27 B) 39 C) 33 D) 16 E) 25 32. Se cumple que 3 ab = b b b0 a 3 b ( ) 2 Además ba=m 2 +n 2 ; {m; n} Z +. Calcule a+b+m+n. A) 25 B) 18 C) 20 D) 24 E) 22 Radicación 33. Al extraer la raíz cuadrada de 2abb4 se obtiene como raíz 1cd y residuo máximo. Calcule a+b+c+d. A) 17 B) 15 C) 16 D) 18 E) 19 34. Halle el valor de a+b+c+d si al extraer la raíz cuadrada de 14abcd64 se obtiene abcd y un residuo igual a cero. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 35. Si al extraer la raíz cuadrada por exceso de a(a+2)(a+2)a se obtuvo residuo mínimo, cuánto se tendrá que sumar, como mínimo, al número a(a+1)a para que el resultado tenga raíz cuadrada exacta? A) 13 B) 11 C) 17 D) 23 E) 1 36. Si al extraer la raíz cúbica del doble de 2abc8 se obtiene residuo máximo, halle la suma de cifras del residuo. A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 37. Al extraer la raíz cúbica de un número entero positivo, se obtiene un residuo que le falta 1461 unidades para ser máximo; pero si al número inicial se le sumara 6720 unidades, su raíz cúbica aumentaría en 2 unidades y el residuo sería 337. Determine la suma de cifras del número inicial. A) 28 B) 18 C) 15 D) 23 E) 24 5
38. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Existen 2 números capicúas de 4 cifras que tienen raíz cúbica exacta. II. Si 103m+1 tiene raíz cuadrada exacta, la suma de cifras del menor valor de m es 6. III. La raíz cúbica de 8(12)61 (n) es 21 (n) (n > 12). IV. Si un número es 7 º +2 y tiene raíz cuadrada exacta, entonces su raíz puede ser 7 º +3 o 7 º +4. 39. Cuántos números de 4 cifras tienen raíz cuadrada y raíz cúbica con el mismo residuo no nulo? A) 816 B) 64 C) 54 D) 128 E) 408 40. Si al extraer la raíz cúbica de a06a2 se obtiene residuo máximo, cuál es la suma de cifras de dicha raíz? A) VFVV B) FFFF C) FFVV D) FVFV E) VVVV A) 11 B) 10 C) 12 D) 13 E) 9... 01 - B 06 - D 11 - E 16 - A 21 - E 26 - C 31 - C Claves 36 - C 02 - A 07 - C 12 - A 17 - C 22 - C 27 - E 32 - D 37 - E 03 - C 08 - C 13 - D 18 - C 23 - B 28 - B 33 - E 38 - C 04 - D 09 - D 14 - D 19 - D 24 - A 29 - A 34 - E 39 - D 05 - E 10 - A 15 - D 20 - C 25 - B 30 - B 35 - B 40 - E 6