CÍULO CÉC DEL RÍDO
CEMÁC Un cuepo ígdo puede consdese coo un sste de ss puntules cuys dstncs se ntenen constntes dunte el oento. Coenceos detenndo el núeo de coodends ndependentes necess p especfc su confgucón en culque nstnte de tepo. Ddo un p culque de ptículs del ígdo de ls que sbeos que su dstnc penece constnte. Es dec, d j c j () donde ls c son constntes. Supongos que heos fjdo l poscón de puntos no colneles, y. S deseos fj ho l poscón de un punto culque del ígdo, bst con conoce su dstnc los puntos no colneles. d c d c d c () o consguente, conocd l poscón de los tes puntos, y, l poscón de culque oto punto que dst c, c y c de los tes puntos qued detend po l nteseccón de ls tes esfes de dos c, c y c centds espectente en, y. El núeo de gdos de lbetd que hy que fj p deten l confgucón del ígdo no supe nuee, tes gdos de lbetd p cd punto. eo ellos no son ndependentes y que están nculdos po ls ecucones (), lo que pete educ ses los gdos de lbetd equedos. En efecto, se necestn tes p fj el punto ; un ez fjdo éste, bstn dos coodends p fj sobe l esfe de do c y cento y fnlente hce flt un ángulo p fj l poscón de en l ccunfeenc que esult de ntesect l esfe de do c y cento con l esfe de do c y cento. o consguente, un cuepo ígdo qued ubcdo en el espco un ez conocdo el lo de ses coodends genelzds. Ot fo de ost est popedd es pt de un sste de coodends solds con el ígdo. L poscón de un punto del ígdo con especto este sste penece constnte, sus coodends no ín. o lo tnto bst con ubc el sste de coodends en el espco p conoce l poscón de culque punto del ígdo. ello se equeen tes coodends p fj el ogen del sste O y tes ángulos que peten fj l oentcón de los ejes coodendos especto un sste fjo.
o lo tnto, es neces l eolucón de ses bles p conoce el oento de un punto culque del ígdo. eeos que ls ses ecucones fundentles de un sste de ptículs son sufcentes p deten el oento de un sóldo ígdo. S el ígdo estb estngdo en su oento po lgún ínculo, el núeo de bles equedo p deten el oento dsnuye. Ls estntes ecucones fundentles petán deten el sste de fuezs neceso p que dcho ínculo se espetdo. o ejeplo, p un sóldo con un punto fjo hcen flt solo tes gdos de lbetd y es posble deten l fuez F que ejece el ínculo. En cetos pobles lldos hpednácos el conjunto de fuezs elzds po los ínculos no qued úncente detendo po ls ecucones fundentles. o defncón, l elocdd elt de un punto culque del ígdo especto un sste soldo con él es nul. o consguente, su elocdd especto un sste ΩXYZ está dd po ( ) O O Est elcón que heos obtendo tlente de ls ecucones del oento elto cctez l dstbucón de elocddes de un cuepo ígdo. L elocdd de un punto culque del ígdo está detend po l elocdd de un punto de uno de sus puntos O y l elocdd ngul del sste soldo. Ejeplo : Dd un b de longtud l que se uee de fo tl que los exteos penecen sobe los ejes de coodends (e fgu). Clcul l elocdd de un ϕ t. punto culque de l b en funcón del ángulo ( ) ϕk lsen O ϕ l cosϕ O O ϕ ( ) O
j, O l O ϕ k j l cos ϕϕ ϕ Es sencllo, s se dese, expes el esultdo en ténos de los esoes del sste fjo. Ejeplo : Clcul en funcón de ϕ l elocdd del cento de ss de un dsco etcl que ued sn deslz sobe un plno hozontl. o defncón de oddu, ϕk ϕ K. p o x p ( ) ϕ K RJ R ϕ o p x R ϕ
CÉC En est seccón os desoll étodos que nos petn clcul l cntdd de oento totl, el oentu ngul totl L y l enegí cnétc de un cuepo ígdo. osteoente, hcendo uso de ls ecucones fundentles de un sste de ptículs, deduceos ls ecucones del oento del cuepo ígdo llds ecucones cdnles. Un cuepo ígdo es un sste contnuo de ptículs, l genelzcón del concepto de cento de ss es nedt: expesón que en el líte en que l ptcón es ás y ás efnd y los olúenes tendendo ceo conduce d M que p constnte se educe d L cntdd de oento totl es d d l l l d dt dt M clcul el oentu ngul especto un punto coenceos consdendo peo el cso de un sste dsceto de ptículs ígdente unds y luego pseos l líte contnuo. o defncón, L ( ) Usndo l dstbucón de elocddes en un cuepo ígdo L ( ) ( ) ( ) p donde es l elocdd ngul del ígdo y l elocdd del punto del ígdo que concde con en el nstnte que estos consdendo. o ejeplo, en el cso de un dsco que ued sn deslz, s es el punto de contcto,.
odeos eescb est expesón en l fo: ( ) ( ) ( ) [ ] M L ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] { } M. Recodndo que un poducto escl se escbe en coponentes B B el segundo téno de L se puede eescb en coponentes ( ) ( ) ( ) { } donde s s y ( ) ( ) ( ) { } es el lldo tenso de nec. o consguente, ( ) M L El oentu ngul del ígdo se expes en ténos de los dtos cneátcos y que dependen del oento del ígdo y los dtos dependentes de l dstbucón de ss del ígdo M, y. Exsten dos csos en que l expesón nteo se splfc., es dec que se ton oentos especto l cento de ss, L S es un punto del ígdo con elocdd nul L S suos que el ígdo tene un dstbucón contnu de te con densdd y toos un sste de coodends con ogen en el punto,
x y j z k El sste se supone soldo con el ígdo. En ese sste l tz de nec en coponentes to l fo: ( y z ) xyd xzd d xyd ( x z ) yzd d yzd ( x y ) d xzd y es nedto copob que l tz de nec es sétc. Ejeplo: Clcul el cento de ss y el tenso de nec de un secículo hoogéneo de s M y do R. x cos ϕ y sen ϕ z M πr x πr R π d dϕcos ϕ y πr R πr R d dϕsenϕ π R π Los coponentes xz, yz son nulos y zz xx yy. Debeos clcul xx, yy e xy. El cálculo es totlente nálogo l elzdo p clcul ls coodends del cento de ss y conduce MR xx yy xy po lo que l tz de nec especto l cento O es dgonl. eeos luego que po zones de setí e de espe est fo de l tz de nec. ntes de dscut ls popeddes de l tz de nec, pseos l cálculo de l enegí cnétc de un sóldo ígdo.
( ) ( ) p ( ) ( ) [ ] p M. Usndo que ( ) ( ).B B sen B B se puede escb el últo sundo coo ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] y tondo en cuent que, y ( ) ( ) se obtene ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ],, o consguente, p un cuepo ígdo tene l fo ( ) M M En l expesón nteo es un punto culque y es l elocdd del punto del ígdo que en el nstnte consdedo concde con S se elge, cento de ss M S es un punto fjo del ígdo
opeddes del tenso de nec Heos sto que p el cálculo del oentu ngul y l enegí cnétc de un ígdo esult pescndble conoce el objeto, cuys coponentes especto ceto sste de efeenc soldo con el ígdo con ogen en heos ddo explíctente. Dchs coponentes fon un tz sétc en densón tes. os pob ás delnte que sepe exste un sste de ejes otogonles en tl que l tz de nec especto dcho sste es dgonl. o se Los ejes del sste ctesno en que l tz to est fo se lln ejes pncples y los coespondentes eleentos de l tz de nec dgonl,,,, se conocen coo los oentos pncples de nec. S l elocdd ngul del ígdo está oentd según uno de los ejes pncples, entonces tbén lo está. o ejeplo, s.. En este cso es un ecto popo de con utolo. Ello plc que p deten los oentos pncples de nec y los ejes pncples bst esole el poble de clcul los utoloes y utoectoes de un tz. Los utoloes son los oentos pncples y los utoectoes puntn en l deccón de los ejes pncples. L ecucón de utoloes que nos ntees esole es: donde es l tz de nec en ceto sste de efeenc e es uno de sus utoloes. Se tt de un sste hoogéneo de tes ecucones con tes ncógnts coespondentes ls coponentes de. Este sste dte solucones no tles sólo s el detennte de los coefcentes se nul. Es dec, xx - xy xz yy xy - yz zz xz yz
donde heos usdo l setí de l tz de nec. Se tt de un ecucón cúbc en, lld usulente ecucón secul. Un teoe ben conocdo en álgeb lnel estblece que l ecucón secul de un tz sétc sepe dte íces eles y sus coespondentes utoectoes son otogonles. cd un de ls íces de l ecucón secul se esuele l ecucón de utoectoes y se obtene l deccón coespondente uno de los ejes pncples. En genel en l yo pte de los pobles páctcos, el ígdo tene cets setís que peten deten los ejes pncples po nspeccón. o ejeplo, s el ígdo es de eolucón lededo del eje z, es fácl e que los poductos de nec zx e zy se nuln po setí, s uno elge el eje z coo el eje de setí. L tz de nec no puede cb, debdo l setí de eolucón l ot lededo de z los ejes x e y. Ello plc que l tz de nec especto culque sste de ejes otogonles que tengn l eje de setí po eje z ton l fo: x x z que coesponde l cso en que l ecucón secul tene un íz doble. y l tz to l fo En el cso de un ígdo que tene un plno de setí es nedto copob que l tz de nec especto un punto petenecente l plno tene l eje pependcul l plno po coo eje pncpl de nec. En efecto, es nedto copob que xz yz xx xy xy yy zz encont los tes ejes pncples bst con dgonlz l tz estngd l plno xy. Un cso ptcul con est setí es el de los ígdos plnos. El eje pependcul l plno del ígdo es eje pncpl de nec.
eoe de Stene Ls expesones obtends p clcul L y son álds culque se el punto que se to coo ogen del sste de coodends soldo l ígdo. Muchs eces conene to oentos especto ceto punto (un punto fjo del cuepo, po ejeplo) unque el cálculo del tenso de nec se ás sple en oto punto. El teoe de Stene pete elcon los tensoes de nec especto dos puntos. Supongos po ejeplo que teneos un cubo con un eje fjo que ps po un de sus sts. Es ás fácl clcul l tz de nec especto l cento de s, y que los ejes pependcules ls cs son obente pncples, y luego ps los ejes plelos po. pob el teoe, ecodeos que: { ( ) ( ) ( ) } y toos el ogen de coodends en, de odo que. y usndo que M { ( ) ( ) ( ) } M {( ) } ( ) que es l fo genel de l elcón de Stene ente los tensoes de nec especto culque y especto l cento de ss. Enftceos que est elcón sólo le s bos sstes tenen sus ejes plelos. Ejeplo: Se dese tsld lo lgo del eje Ox
( ) M po lo tnto xx xx, yy yy M y penecen nntes. zz zz M, y todos los poductos de nec Rotcones Heos sto cóo elcon dos tensoes de nec especto ejes plelos tslddos. Supongos que queeos elcon el tenso de nec especto dos sstes otdos uno con elcón l oto. o ejeplo, en l fgu consdeos el cso de un otcón pln. Llos ls coodends de Q especto xyz y sus coodends especto x y z. Bjo un cbo de bse ls coodends de Q se tnsfon lnelente. Es dec, donde es l tz coespondente l otcón consded. Ls otcones dejn nntes ls dstncs de Q l ogen. Q γ γ γ γ,, γ γ, γ γ donde es l tz tspuest de. Coo l elcón se cuple p todo punto Q, esult γ γ elcón que esct en fo tcl to l fo γ
o se y Ls tces que efcn est elcón se lln otogonles. Recodndo l fo explíct del tenso de nec esult { } γ γ γ,, γ γ γ γ γ γ γ γ γ Es dec, Los objetos que tnsfon de este odo son lldos tensoes de ngo dos. Ejeplo: Clcul el tenso de nec de un cubo especto los ejes Ox y z que se uestn en l fgu. Coenceos clculándolo especto Oxyz y luego oteos un ángulo π especto l eje Oz. ( ) yy xx zz M y x dxdydz y x 5 yz xz xy M y x xydxdydz po lo que especto Oxyz l tz de nec to l fo M O
Clculos ho l tz de otcón lededo del eje Oz con ángulo ϕ : ( ϕ) x x cos ϕ y sen ϕ y xsen ϕ y cos ϕ z z j cos ϕ sen ϕ que es un tz otogonl. En sen ϕ cos ϕ ( ϕ) cos ϕ sen ϕ sen ϕ cos ϕ.. π ϕ, π y sólo qued po clcul o π o π Concluyos es cpítulo con un obsecón potnte. Usulente se clculn ls coponentes del tenso de nec especto ejes soldos con el ígdo. S uno dese clcul, po ejeplo, el oento ngul especto l cento de ss, bst con clcul ls coponentes de l elocdd ngul en el sste soldo. Luego. w nos dá el ecto oento ngul expesdo en los ejes soldos. S ben sepe es posble tbj en los ejes soldos con el ígdo, hy csos en que puede conen us otos sstes de efeenc, lldos ejes nteedos, donde ls coponentes del tenso de nec son tbén constntes.
Ejeplo: Un cono ued sn deslz sobe un plno hozontl con su étce fjo un ltu R, gul l do de l bse, del eje z. El cono tene ltu h, ángulo l étce, y s M. Se dese clcul l enegí cnétc del cono en funcón de θ. h Es fácl e que l dstnc de l étce es. Elegos ho un sste de ejes pncples po. El eje de setí del cono es obente un eje pncpl, po lo que elegos el eje z según. Coo el cono es de eolucón lededo del eje, culque p de ejes pependcules son pncples. Elegos y según l hozontl y x según l etcl. Respecto estos ejes el tenso de nec tene l fo deten l elocdd ngul del cono coenceos obsendo que C, y que es fjo., y que el cono ued sn deslz. o lo tnto C C C ( ) ( ) es colnel con C cos. k sen. L elocdd del cento de ss es { h. k h θ j θ sen o se θ ctg. k θ.
clcul bst ecod que: M M θ ctg θ x z (,, ) x z Los oentos de nec l punto del cono son x z Mh tg Mh ( tg ) y susttuyendo se obtene ( ) tg Mh 6 θ