Capítulo ANALISIS FACTORIAL GENERAL 1.- INTRODUCCIÓN

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1 ANALISIS FACTORIAL GENERAL Cítulo ANALISIS FACTORIAL GENERAL.- INTRODUCCIÓN Coo decíos en l ntoduccón del ctulo nos ece nteesnte elz un beve estudo del nálss fctol genel, y que nos uede d un vsón s globl de l técnc fctol, y s cundo l yoí de ls lccones nfoátcs no hcen dstncón ente bos étodos. No obstnte coenzeos hcendo un beve cocón ente los lnteentos geneles de los dos étodos. El nálss fctol es un étodo ultvnte que ntent exlc un conjunto de vbles obsevbles ednte un nueo educdo de vbles no obsevbles llds fctoes. En ceto sentdo, coo tod técnc ultvnte, se uede consde que es un étodo de educcón de l densón o cunto el esco -densonl de ls vbles se educe, coo en ACP, un esco -densonl de fctoes (<). El AF te l gul que el étodo de coonentes ncles de un tz de ndvduos o vbles, eo en este cso se tt de obsev ls coelcones ente ls vbles. L hótess subycente es: que dchs coelcones no son fotuts, sno que se deben que ls vbles coten cuss counes llds fctoes o densones subycentes y o tnto los fctoes son seleccondos exlc ls nteelcones ente ls vbles. El objetvo del nálss consste en dentfc cules son ess densones subycentes o fctoes y cuntfclos. Coo esultdo se obtene un estcón de ls untucones de cd ndvduo en cd uno de los fctoes, y o tnto se ten educendo l densón del esco. En ACP, el e fcto o coonente se quel que exlc un yo te de l vnz totl, el segundo fcto se quel que exlc l yo te de l vnz estnte, es dec, de l que no exlcb el eo y sí sucesvente. En el nálss fctol se dstngue ente vnz coún y únc. L vnz coún es l te de l vcón de l vble que es cotd con ls ots vbles. L vnz únc es l te de l vcón de l vble que es o de es vble. En coonentes ncles no hce es dstncón ente los dos tos de vnz. Ments que el ACP busc hll cobncones lneles de ls vbles ognles que exlquen l yo te de l vnz totl el fctol etende hll un nuevo conjunto de vbles, eno en nueo que ls vbles ognles que exese lo que es coún ess vbles.

2 ANALISIS FACTORIAL GENERAL Aunque el oceso teátco de clculo est el odelo fctol cundo se elen lgunos étodos de estcón es uy sl l clculo de los CP, l flosofí del AF es uy dstnt l del ACP y que el AF lc l elbocón de un odelo que equee l foulcón de hótess estdístcs y l lccón de étodos de nfeenc. De tods nes, los quetes nfoátcos suelen nclu el ACP y AF en el so subog, debendo se el usuo quen elendo ls ss nstuccones, con lgeos cbos de ocón, quen elz un nálss u oto. Este es el cso del SPSS: donde l nstuccón fcto sve l obtencón de los dos nálss..- Folzcón del odelo El AF oe sobe vbles letos obsevbles ( x x. x x) defnds sobe un s oblcón, ls cules coten (<) cuss counes. Se tt de Z Z Z encont + nuevs vbles llds fctoes counes { } úncos {. } y deten su contbucón en ls vbles ognles. El odelo de nálss fctol se defne de l sguente fo: x z z z b x z z. z b..... x z z. z b y fctoes Donde ( z z.. z ) se denonn fctoes counes, oque de cuedo con el odelo lntedo, nfluyen en conjunto en ls vbles. Ls vbles ( ) se lln fctoes úncos o esecífcos, oque cd fcto nfluye exclusvente en ls vbles x.. ( ) Ls ecucones del odelo se ueden exes tclente de l fo sguente: x x. x el odelo qued, o tnto, en fo condensd coo: X.... AZ + ξ z b z + b.. z b donde se suone que: < uesto que se dese exlc ls vbles o un nueo s educdo de vbles nuevs letos y l totldd de los (+) fctoes son vbles ncoelconds: Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

3 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 3 es dec que l vbldd de un vble exlcd o un fcto no tene elcón con los deás fctoes. En el odelo, cd vble obsevd es el esultdo de l cobncón lnel de los fctoes counes con dfeentes esos ( ). A estos esos se les ll stucones. Peo hy un te de x no exlcd o los fctoes counes, estos son los fctoes úncos o esduos ( ). - Hótess de td.- Coo es sbdo todos los obles ntutvos ueden se nconsstentes l ho de obtene solucones y o ello se equee el lnteento de uns hótess de td, ls hótess que se utlzn en el A.F. son: H : Podeos estblece que los fctoes son v tfcds e ncoelconds. Así: E z E E z z E E z z E E z ' ' Po oto ldo, coo los fctoes tenen coo ncl fnldd estud y slfc ls coelcones ente ls vbles, edds tvés de l tz de coelcones, entendeeos que: H : ls vbles ognles tbén se tfcn. A tvés de l tnsfocón de ests vbles del to: x x x σ x o tnto y o ls oeddes de l vnz: sí: v ( x ) v( z ) + v( z ) +. + v( z ) b v( ) + +. b Stucones, counldd y uncdd.- Denonos stucón de l vble x en el fcto z l coefcente. L detencón de l tz fundentles del AF. A del odelo fctol es uno de los obles Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

4 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 4 A Los coefcentes de A, nfon de l elcón exstente ente ls vbles y los fctoes counes. Se obtenen t de los coefcentes de coelcón ente ls vbles ognles (tz R). En efecto ecodndo ls oeddes de ls tces de covnzs (ecuédese que estos esuonendo ls hótess H y H. R V V' V V' AA ' A Λ Λ Λ sendo V l tz de vectoes oos y L l tz de vloes oos. V Λ Esto suone que l stucón concde con el coefcente de coelcón ente l vble y el fcto. En cso genel de vbles no tfcds, A se obtene t de l tz de covnzs S. Entonces l coelcón ente x y z seá el cocente: (, ) co L tz de stucones cule que: L vnz del -éso fcto se obtene sundo los cuddos de ls stucones de l -és colun de A (conjunto de coelcones con dcho fcto). es dec: y que: A ' A λ σ ( VΛ )' ( VΛ ) Λ V ' VΛ Λ IΛ Λ téngse en cuent que el vlo oo λ nos ndc el ocentje de l vnz totl exlcd o el fcto. Se denon counldd l exesón: h λ Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

5 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 5 Evdenteente l counldd nos ndc el ocentje de vbldd de cd vble () exlcd o los fctoes counes. A Cd uno de los coefcentes h se denon esecfcdd de l vble. Po tnto, coo teníos que el odelo en fo tcl X AZ + ξ, x (tz de fctoes úncos), Z (tz de fctoes counes) seá tnto eno cunto yo se l vcón exlcd o los - fctoes counes. En el cso que estos tbjndo con vbles tfcds y o ls oeddes de l vnz ludds nteoente, teneos que: esto es: b h + b es dec l vnz de un vble culque es l su de su counldd s su uncdd b. Po tnto en funcón del nueo de fctoes counes que obtengos, exstá un te de l vbldd de l vble ognl no exlcd que coesondeá un esduo (fcto únco)..3.- Mtz de coelcones educds.- Ptos de l coelcón ente dos vbles e de ne que: sbeos de s que: o ls hótess de td teneos que: co co ( x x ) ' ( x x ) cov σ σ x z b x z b ' ' + + ' ' ' ' ( x x ) cov( x x ) σ E z + b z + b ' desollndo el oducto ' ' ' E ' z z b' z ' b ' z bb' de l lneldd de l esenz y l se los fctoes ncoelcondos (hótess de td) tendeos que: ' ' ' Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

6 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 6 cov ' ( x x ) σ co( x x ) ' ', '. Tbén odeos obsev que l vnz de l vble -és, vene dd o l exesón: v E ' ( x) σ E[ xx] E ( z + b ) ( z + b + bz ) y lcndo nuevente ls hótess de td odeos coob l exesón que hbíos ndcdo nteoente: σ + + b h b coobos ues coo l vnz se descoone en dos tes, l counldd y l uncdd que es l vnz esdul no exlcd o el odelo. Po tnto tclente odeos dec que R AA +x donde R * R - x. Sendo R * l tz de coelcones eoducd obtenéndose de l tz R susttuyendo los unos de l dgonl ncl o ls counlddes de ls vbles. R h 3 h h h L dentdd fundentl tendá l exesón equvlente R * AA. Po tnto l tz de coelcón uestl es un estdo de l tz AA. Los coefcentes de stucón de ls vbles en los fctoes deben vefc est condcón, que no es sufcente detenlos. En eldd exsten uchs tces A que lo vefcn, sendo, tods ells, solucones vlds del nálss. P seleccon un solucón, debeeos estblece ot condcón A. Cundo teneos estdo el oducto AA, se dgonlz l tz de coelcones educd, y que un solucón de l ecucón: R - x R * AA es l tz A cuys coluns son los vectoes oos estndzdos de R * A t de est tz educd y o edo de l dgonlzcón, coo nstuento teátco, obteneos tvés de los vectoes y vloes oos los ejes fctoles. Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

7 ANALISIS FACTORIAL GENERAL Vbldd del odelo fctol Cundo coenzos un AF, lo eo que elzos es l obtencón de l tz R de coelcón uestl t de los dtos de un uest de n ndvduos y vbles. Un vez obtend es tz, odeos hce contstes de hótess evos decd s el odelo fctol es decudo l nfocón obtend. Uno de estos contstes es el test de esfecdd de Btlet (Btlett, M.S. 950). Este contste tt de deten s exste un estuctu de elcón -ejo dcho de nteelcones sgnfctvs - o no ente ls vbles ognles. Coo sbeos, l tz de coelcón R nos y su dgonl está couest o ndc l elcón exstente ente cd de vbles ( ) j unos. S no exstese elcón ente ls h vbles, todos los coefcentes de coelcón ente cd de vbles se ceo. Po tnto, l tz de coelcón oblconl concdí con l tz dentdd y su detennte se gul uno. Hótess nul: H o : R Hótess ltentv: H : R S los dtos son un uest leto ocedente de un dstbucón nol ultvnte, entonces bjo l hótess nul, el detennte de l tz seá y se deuest que el estdístco: ( 5) + n ln R 6 se dstbuye sntotcente coo un χ con ( -)/ gdos de lbetd. En el cso de que se cete l hótess nul ceceí de sentdo elz un AF. Oto índce de donedd de l lccón del AF es el contste de Kse-Meye -Okl. Consste en co los coefcentes de coelcón y los coefcentes de coelcón cl. Est edd se denon decucón uestl, uede obtenese el conjunto o cd vble. Ddo que el coefcente de coelcón cl nos ndc l coelcón exstente ente dos vbles, un vez que se hn elndo los efectos lneles de ls deás vbles. En un AF se uede nteet esos efectos de ls ots vbles coo los coesondentes los fctoes counes. Po lo tnto, el coefcente de coelcón cl ente dos vbles se equvlente, en este contexto, l coefcente de coelcón ente los fctoes úncos esecífcos de cd dos vbles. De cuedo con ls hótess de td, los fctoes úncos están ncoelcondos, los coefcentes de coelcón cl consttuyen un oxcón los teócos y seán áctcente ceo. L edd de decucón se exes coo: Cundo el detennte se gnde y equeño el gdo de sgnfcnc, s obble seá que l tz se l dentdd. Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

8 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 8 KMO j j + j j j j j donde j son coefcentes de coelcón obsevdos ente vbles y j son coefcentes de coelcón cl ente vbles ognles. S los coefcentes de coelcón cl ente ls vbles son uy equeños, quee esto dec que l elcón ente cd de ls ss se debe o uede se exlcd o el esto y o tnto llev cbo un nálss fctol de los dtos no dej de se un buen solucón. En este suuesto, s l su de los coefcentes de coelcón cl l cuddo es uy equeñ. KMO, seá un índce uy óxo l undd y o tnto el nálss fctol un ocedento decudo. De hecho y Kse: > KMO > 0 90 son consdedos excelentes 0 9 > KMO > 0 80 son buenos 0 8 > KMO > 0 70 son consdedos cetbles 0 70 > KMO > 0 60 son egules 0 60 > KMO > 0 50 son los Tbén odeos obsev l dgonl de l tz de coelcones nt-gen. Seán los negtvos de los coefcentes de coelcón cl ente cd de vbles neutlzdo el efecto de tods ls estntes. Intees que sen los s equeños osbles y en l dgonl teneos los coefcentes MSA (Mesues of Slng Adequncy) que vene se los KMO eo en este cso cd vble o sedo, que nteesn sen lo s elevdos osbles. 4.- Estcón de l tz de stucones. En el odelo fctol hy que est l tz de stucones A y de esduos x t de l tz R de coelcones uéstles, ente n ndvduos y vbles cuntttvs. Dch estcón se uede elz o dfeentes étodos, eo el s utlzdo es el fctoes ncles. Este étodo es sl l obtencón de ls coonentes ncles. En el ACP ddo un conjunto de vbles ognles X (,) se obtenen coonentes ncles Z (,.,) ednte: Z u x u x u x. u x 3 3 Z u x u x u x. u x Z u x u x u x... u x 3 3 Po ot te en el AF ls coonentes ncles (<) y ls vbles ognles, se elconn ednte: Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

9 ANALISIS FACTORIAL GENERAL 9 x z z z b x z z. z b..... x z z. z b Recodndo tbén que ls vbles de l tz econstud que se hce efeenc el ctulo nteo (ACP) son: λ u co j y deás j ( ) j x u v' j j j λ. Susttuyendo en l guldd nteo, teneos que: x' v coo v j j j xu y xu Z odeos dec que: λ x z z z λ λ λ λ j j j 3 j j 3 z coo hbíos defndo en el ctulo nteo que z λ y teneos que: x y y 3 y 3.. y j j j j j donde est ecucón se uede exes, gegndo los ( -) últos ténos, de l fo sguente: ( y + y ) x j j y + j y + + jy s coos est exesón con el odelo fctol x z + z + j z + + z + b 3 3. odeos obsev que los coefcentes que ece en el segundo ebo, son áetos dfeenc de los coefcentes de coelcón que son estdístcos. Ts l cocón ente bos sstes odeos ndc que:. j j j o todo lo cul odeos obtene los coefcentes de l tz de stucón tvés de los coefcentes de coelcón de ls vbles ognles con los fctoes. Un vez conocdos estos coefcentes de stucón odeos obtene ls counlddes ntes enconds. Ls uncddes o esecfcdd ls obtendeos l co bos sstes y elcon: j Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

10 ANALISIS FACTORIAL GENERAL b y. y +, + L uncdd (l te de l vnz debd l fcto únco) se uede est dectente un vez conocds ls counlddes, ednte l exesón: b Relzndo lo so todo obteneos ls counlddes y uncddes de cd un de ls vbles. 5.- Cteos decd el nueo de fctoes etene Lo eo que hy que tene en cuent es que cundo estbos en un ACP, lo que etendíos obtene e fctoes ncoelcondos que fuen cobncón lnel de ls vbles ognles, de ne, que l seleccon un nueo educdo de ellos < exlcn el áxo de l vbldd totl de ests vbles. En AF el lnteento es l conto. Petendeos obtene ls vbles ognles coo cobncón de los fctoes (tenendo en cuent que solente se estblecen coo hótess < fctoes counes). Estos fctoes counes son desconocdos o, y debe decdse su nueo en bse los esultdos obtendos del oo nálss. Incluso en ocsones se elz un AF fjándose evente y se estn los áetos, sn que se ued est convencdo de que el nueo de fctoes escogdo se el coecto. En nco, l ho de escoge el nueo de fctoes etene se uede ele los cteos dotdos en el ACP. Peo coo el AF es un étodo nfeencl tbén se uede elz contstes de sgnfccón de los fctoes. Fctoes que se hn obtendo tvés de los vectoes oos de l tz de coelcones educd. El oble que se lnte es decd el nueo de vectoes oos de est tz. P to est decsón y coo estos en un contexto nfeencl, uede elese los sguentes contstes: Cteo de esfecdd de Btlet (954). ( λ λ ) Coo esultdo de l dgonlzcón de R * h heos obtendo vloes oos λ. El nueo de vloes oos no nulos nos ndc l densón del esco en el que se encuentn ls obsevcones. Un vlo oo nulo evelí l exstenc de un deendenc ente ls vbles. Queeos contst l hótess de que hy fctoes counes. Bjo l hótess nul, el ngo de l tz oblconl de coelcones educd es, de fo que los últos ( - ) vloes oos deben se déntcos ente sí e gules ceo. Bjo l hótess nul el estdístco: Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc

11 ANALISIS FACTORIAL GENERAL tzr + n log 6 R λ λ sgue un dstbucón sntotc χ con (--)(-) / gdos de lbetd. S el vlo del estdístco de ueb sue el vlo ctco coesondente, echzos l hótess nul de que l densón del esco fctol es, y o tnto odfceos este vlo y coenzeos de nuevo el oceso. Cteo de x-veosltud Este étodo est los áetos del odelo fctol t de: Cov AA + x y exge l esecfccón ev del odelo, ncludo el nueo de fctoes. Se tt de obtene los estdoes de l tz de stucones ( A ) y x (de vnzs esdules), de ne que se áx l veosltud o obbldd de l tz de covnz uestl oocond o los dtos. Se suone que estos son obsevcones letos extíds de un dstbucón nol ultvnte. Pof: Slvdo Csco Aoyo Unvesdd de Vlenc