Álgebra y Trigonometría Conceptos fundamentales del Álgebra Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas 1. Números Reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, vamos a mencionar los siguientes 6 conjuntos: 1.1. Conjunto de números naturales N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2,...} = N {0} 1.2. Conjunto de números enteros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Observemos que el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de lo números enteros. En símbolos: N Z. Conjunto de los enteros positivos: Z + = {1, 2, 3,...} = N Conjunto de los enteros negativos: Z = {..., 3, 2, 1} Conjunto de los enteros no-negativos: {0, 1, 2, 3,...} = N 0 1.3. Conjunto de números racionales Q = { m n : m Z, n Z, n 0} Note que todo entero n se puede escribir como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Q. 1
Es posible expresar los números racionales como decimales. Por ejemplo, 9 4 = 2,25 177 = 3,2181818... = 3,218 55 En este caso, las expresiones decimales son finitas, o infinitas repetitivas. 1.4. Conjunto de números irracionales El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), π (la razón entre la circunferencia del círculo y su diámetro), 2. Las representaciones decimales de estos números son siempre infinitas y no repetitivas. π 3,1416 2 1,41421 1.5. Conjunto de números reales Los números racionales e irracionales forman el sistema de números reales. Así, R = Q Q 1.6. Conjunto de números complejos Este conjunto, denotado por C es un conjunto numérico que contiene a los números reales, y será estudiado más adelante. R C 1.7. Propiedades de los números reales Cerrados respecto a la operación adición (+). O sea, a cada par de números reales a y b les corresponde un único número real a + b. Cerrados respecto a la operación multiplicación o producto (, ). O sea, a cada par de números reales a y b les corresponde un único número real a b. 2
1. La adición es conmutativa. a + b = b + a 2. La adición es asociativa. a + (b + c) = (a + b) + c 3. 0 es el neutro aditivo. a + 0 = a 4. a es el inverso aditivo o negativo de a. a + ( a) = 0 5. La multiplicación es conmutativa. ab = ba 6. La multiplicación es asociativa. a(bc) = (ab)c 7. 1 es el neutro multiplicativo. a 1 = a 8. Si a 0, 1 a es el inverso multiplicativo (recíproco) de a. a ( 1 a) = 1 9. La multiplicación es distributiva sobre la adición. a(b+c) = ab+ac y (a + b)c = ac + bc Notación para los recíprocos: Si a R, a 0, entonces, a 1 = 1 a Observe que, Desigualdades: a a 1 = a ( ) 1 = 1 a a > b se lee: a es mayor que b. Indica que a b es un número positivo. a < b se lee: a es menor que b. Indica que a b es un número negativo. a b se lee: a es mayor o igual a b. Indica que a b es positivo o igual a 0. a b se lee: a es menor o igual a b. Indica que a b es negativo o igual a 0. Valor absoluto: El valor absoluto de un número real a, denotado por a, se define como: { a si a 0, a = a si a < 0. Así, 5 = 5, π = π, 0 = 0. 3
El valor absoluto de un número real a es siempre positivo o cero y se puede interpretar geométricamente, como la distancia del punto a al origen. Igualmente, a b se interpreta como la distancia del punto a al punto b en la recta real. 2. Exponentes y Radicales Sean n Z + y b R. b n es una notación exponencial que representa el producto de b multiplicado n veces por sí mismo. b n : se lee b a la n-ésima potencia o simplemente, b elevado a la n. Para b 0, b n = b b b b }{{} n veces b 0 = 1 b n = 1 b n 2.1. Leyes de los exponentes para los números reales a y b y los enteros m y n 1. a m a n = a m+n 2. (a m ) n = a mn 3. (ab) n = a n b n 4. Para b 0, ( ) a n b = a n b n 5. Para a 0, a m a = a m n n a m a = 1 n a n m 2.2. Raíz n-ésima de un número real a, n a Si n es un número natural y a un número real, n a está definida por: Si a = 0, entonces n a = 0 Si a > 0, entonces n a = b, donde b > 0 y b n = a 4
Si a < 0 y n es impar, entonces n a = b, donde b < 0 y b n = a Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real. Ejemplos: 5 32 = 2, porque 2 5 = 32 8 = 2, porque ( 2) 3 = 8 9 no es un número real. Algunas propiedades de n a, con n Z +, a R ( n a) n = a si n a es un número real n a n = a si a 0 n a n = a si a < 0 y n es impar n a n = a si a < 0 y n es par Observe que de estas propiedades podemos deducir que x 2 = x Ejemplos: 3 ( 5) 3 = 5 ( 5) 2 = 5 = 5 5 2 = 5 Algunas leyes de la radicación: Las siguientes leyes son verdaderas para a R, b R, m Z +, n Z + y siempre que las raíces sean números reales. n ab = n a n b n a b = n a n b m n a = mn a 5
Ejemplos: x 2 y = x 2 y = x y 4 x 6 y 3 = 4 x 4 x 2 y 3 = 4 x 4 4 x 2 y 3 2.3. Exponentes racionales Sea m/n un número racional, donde n es un entero positivo mayor que 1. Si a es un número real tal que n a existe, entonces 1. a 1/n = n a 2. a m/n = ( n a) m = n a m 3. a m/n = ( a 1/n) m = (a m ) 1/n Ejemplo: ( ) ( 32 2/5 ) 2 (2 ) 5 32 5 = = 5 243 243 3 2 = ( ) 2 2 = 4 3 9 3. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Es común usar la notación y la terminología de la Teoría de Conjuntos para describir relaciones matemáticas. Para denotar los conjuntos se usan letras mayúsculas A, S,... Las letras minúsculas son usadas para representar los elementos de los conjuntos. Notación a T S T Significado a es un elemento del conjunto T a pertenece al conjunto T Todo elemento de S está en T S es un subconjunto de T 6
Una letra o símbolo que represente un elemento específico se denomina constante. Por ejemplo, 5, π son constantes. Una letra o símbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variable o incógnita. Ejemplo: En la expresión Sea x un número real, x está representando a cualquier elemento de los números reales. Si x es una variable, entonces: Monomio en x es una expresión de la forma ax n, donde a R y n es un entero no-negativo. Binomio es una suma de dos monomios. Trinomio es una suma de tres monomios. Polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x. Un Polinomio en x es una suma de la forma a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente a k es un número real. Cuando a n 0 decimos que el polinomio tiene grado n. El coeficiente a k de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio. Ejemplos: En el polinomio 8x 4 + 5x 2 + x 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4. La expresión x+2 x 2 1 no es un polinomio (es una expresión fraccionaria). También podemos considerar polinomios de más de una variable: Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de términos de la forma ax m y n, donde a R y m y n son enteros no-negativos. 7
Por ejemplo, 2x 3 y + 5xy 4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4 para y. Ejemplos de operaciones entre polinomios Suma de polinomios: (x 2 + y) + (8y 3x 2 ) = 2x 2 + 9y Resta de polinomios: (x 2 + y) (8y 3x 2 ) = 5x 2 7y Multiplicación de polinomios (6w 3z 2 )(5z + 2w 2 ) = (6w)(5z) + (6w)(2w 2 ) (3z 2 )(5z) (3z 2 )(2w 2 ) = 30wz + 12w 3 15z 3 6z 2 w 2 División de un polinomio entre un monomio: 15x 4 y 5 + 2x 3 y 6 3x 10 y 8 6x 2 y 3 = 15x4 y 5 6x 2 y 3 + 2x3 y 6 6x 2 y 3 3x10 y 8 6x 2 y 3 = 5 2 x2 y 2 + 1 3 xy3 1 2 x8 y 5 3.1. Fórmulas de algunos productos de polinomios (x + y)(x y) = x 2 y 2 (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 (x ± y) 3 = x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3 Ejemplo: (3a 2b) 3 = (3a) 3 3(3a) 2 (2b) + 3(3a)(2b) 2 (2b) 3 = 27a 3 3 9 2 a 2 b + 3 3 4 ab 2 8b 3 = 27a 3 54a 2 b + 36ab 2 8b 3 8
3.2. Factorización Es el proceso de expresar una suma de términos como un producto. Por ejemplo: x 2 25y 2 = (x + 5y)(x 5y), es la factorización del polinomio x 2 25y 2 en dos factores (x+5y) y (x 5y). Algunas fórmulas de factorización: 1. Diferencia de cuadrados: 2. Diferencia de dos cubos: 3. Suma de dos cubos: x 2 y 2 = (x + y)(x y) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 4. Expresiones fraccionarias Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones fraccionarias. Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. El dominio (valores posibles) de este cociente está formado por todos los números reales, excepto por los que hacen cero al denominador. Por ejemplo, en el cociente 4x 2 8y 3, 6x el denominador se hace 0 cuando reemplazamos x por 0. Entonces, decimos que el dominio de este cociente son todos los reales, excepto el cero. Todo x 0. Una expresión racional está simplificada o reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. 9
Ejemplo: 3x 2 5x 2 x 2 4 = = (3x + 1)(x 2) (x + 2)(x 2) (3x + 1) (x + 2) donde este último paso se puede hacer siempre que x 2. 10