REDLAND SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT 3 MEDIO NM 1.- Estadística y probabilidad. Contenidos IB-Test Matemática NM 2014. 1.1.- Conceptos de población, muestra, muestra aleatoria, y datos discretos y continuos. Presentación de los datos: distribuciones de frecuencia (tablas); histogramas de frecuencia con intervalos de clase de la misma amplitud. Diagramas de caja y bigotes; valores no esperados. Datos agrupados: uso de los valores centrales de los intervalos para los cálculos; amplitud del intervalo; límites superior e inferior de los intervalos; clase modal. 1.2.- Medidas estadísticas y su interpretación. Medidas de posición central: media, mediana y moda. Cuartiles y percentiles. Dispersión: rango; rango intercuartil; varianza; desviación típica. Efecto producido por constantes en los datos originales. Aplicaciones. 1.3.- Frecuencia acumulada; gráficos de la frecuencia acumulada; su uso para hallar la mediana, cuartiles y percentiles. 1.4.- Correlación lineal de variables bidimensionales. Coeficiente de correlación momento-producto de Pearson, r. Diagramas de dispersión; rectas de ajuste óptimo. Ecuación de la recta de regresión de y sobre x. Uso de la ecuación para realizar predicciones. Interpretación matemática y de contexto. 1
1.5.- Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, espacio muestral (U) y suceso. La probabilidad de un suceso A es: P(A) = n(a) n(u). Los sucesos complementarios A y A (no A). Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol y tablas de resultados. 1.6.- Sucesos compuestos, P(A B). Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes P(A B) = 0. Probabilidad condicionada; definición P(A/B) = P(A B). P(B) Sucesos independientes; definición P(A/B) = P(A) = P(A/B ). Probabilidades con y sin reposición. 2.- Funciones y ecuaciones. Representaciones: Empleo de distintos tipos de notación para funciones (p. ej. aplicación, "f(x)=", "y=", etc.). 1.- Lineales: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando la calculadora de pantalla gráfica. 2.- Cuadráticas: Dominio y recorrido Gráficos de funciones cuadráticas Uso del discriminante Resolución de ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) mediante descomposición en factores, empleando la fórmula de la solución de una ecuación de segundo grado y utilizando la calculadora de pantalla gráfica. 3.- Exponenciales y logarítmicas: Representación gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas. Ecuación de las asíntotas. 4.- Potencias: Análisis de la función potencia f (x) = ax n con a y x en los reales y n entero, en situaciones que representen comparación de tasas de crecimiento aritmético y geométrico y cálculo de interés compuesto, mediante el uso de un software gráfico. 5.- Circular: Dominio y recorrido. Gráficos de las funciones seno, coseno y tangente (en grados y en radianes). Aplicaciones. 2
6.- Racional/recíproca: Dominio y recorrido. Gráficos de funciones racionales, con y sin calculadora de pantalla gráfica. Ecuación de las asíntotas. Empleo de la calculadora de pantalla gráfica para representar gráficamente funciones que resultan poco familiares. Transformaciones: Transformaciones aplicadas a los gráficos de funciones. Composición: Hallar la función compuesta. 7.- Inversa: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Hallar y representar gráficamente la inversa de una función. 3.- Funciones circulares y trigonometría. 3.2.- El círculo: medida de ángulos en radianes; longitud de un arco; área del sector circular. Definición de cos θ y senθ a partir del círculo unitario. Definición de tan θ como sen θ cos θ. Valores exactos de las razones trigonométricas de 0, π, π, π, π y sus múltiplos. 6 4 3 2 3.3.- Relación fundamental cos 2 θ + sen 2 θ = 1. Identidades del ángulo doble para el seno y el coseno. Relación entre las razones trigonométricas. 3.4.- Funciones trigonométricas (circulares) sen (x), cos(x) y tan(x): dominios y recorridos; amplitud; periodicidad; gráficos. Funciones compuestas de la forma f(x) = asen(b(x + c)) + d. Transformaciones. Aplicaciones 3
3.5.- Resolución de ecuaciones trigonométricas en un intervalo finito, tanto de forma gráfica como analítica. Ecuaciones que llevan a ecuaciones cuadráticas en, por ejemplo, sen (x), cos(x) o tan(x). 3.6.- Resolución de triángulos. Teorema del coseno. Teorema del seno, incluido el caso ambiguo. Área del triángulo: 1 2 absen(c). Aplicaciones. 4.- Álgebra. 4.1.- Progresiones aritméticas y series aritméticas; suma finita de series aritméticas; progresiones geométricas y series geométricas; suma finita e infinita de series geométricas. Notación de sumatoria. Aplicaciones 4.2.- Estudio elemental de potencias y logaritmos. Propiedades de las potencias; propiedades de los logaritmos. Cambio de base. 4.3.- Teorema del binomio: Desarrollo de (a + b) n, n ε N. Cálculo de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio usando el triángulo de Pascal y ( n r ). 5.- Vectores. 5.1.- Los vectores como desplazamientos en el plano y en el espacio. v 1 Componentes de un vector;; representación en columna v = ( v 2 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k. v 3 Enfoques algebraico y geométrico de los siguientes temas: Suma y diferencia de dos vectores; el vector nulo, el vector v. Multiplicación por un escalar, kv; vectores paralelos. Módulo de un vector: v. Vectores unitarios; la base i, j, k. Vectores de posición OA = A. AB = OB OA = b a. 4
5.2.- Producto escalar de dos vectores. Vectores perpendiculares; vectores paralelos. Ángulo entre dos vectores. 5.3.- Ecuación vectorial de una recta en dos y tres dimensiones: r = a + tb. Ángulo entre dos rectas. 5.4.- Distinción entre rectas coincidentes y paralelas. Cálculo del punto de intersección entre dos rectas. Determinación de la posición relativa de dos rectas. 6.- Análisis. 6.1.- Idea informal de límite y convergencia. Notación de límite. Definición de derivada, a partir del concepto, como: f (x) = lim ( f(x+h) f(x) h 0 h Interpretación de la derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razón de cambio entre dos variables. Tangentes, normales y sus ecuaciones. 6.2.- Derivada de x n (n ε Q), sen (x), cos(x), tan(x), e x y ln(x). Derivada de la suma y del producto por un escalar de estas funciones. Regla de la cadena para la composición de funciones. Regla del producto y del cociente. Derivada segunda. Extensión a derivadas de orden mayor. 6.3.- Puntos máximos y mínimos locales. Comprobación de máximos y mínimos. Puntos de inflexión con pendiente nula y no nula. Comportamiento de los gráficos de las funciones, incluida la relación entre los gráficos de f, f y f. Optimización. Aplicaciones. ). 5