EL ALGEBRA COMO ARITMETICA GENERALIZADA LEYES QUE GOBIERNAN LOS NUMEROS Un conjunto de números u objetos por si solos pueden no significar nada, son las relaciones entre ellos lo que le da estructura y esto es lo que hacen las operaciones que se realicen. Los números constan de dos operaciones binarias, la adición y la multiplicación que satisfacen los siguientes axiomas: Axioma 1. La suma de números es conmutativa, es decir, si a y b son dos números cualesquiera, entonces: a+b=b+a Axioma 2. La suma de números es asociativa, es decir, si a y b son dos números cualesquiera, entonces (a+b)+c=a+(b+c) Axioma 3. Existe un elemento neutro para la suma, el 0. es decir, si a es un número cualesquiera a+0=0+a=a Axioma 4. Para cada número a existe un inverso aditivo que se denota a. Esto es, a+(-a)=(-a)+a=0 Axioma 5. El producto de dos enteros es conmutativo, es decir, si a, b son números cualesquiera, entonces ab=ba Axioma 6. El producto es asociativo, es decir, si a, b, c son números cualesquiera, entonces (ab)c=a(bc) Axioma 7. Existe un elemento neutro para la multiplicación, el 1. es decir, si a es un número cualesquiera: a1=1 a=a Axioma 8. Para todo a 0 existe un número a tal que a a a a Se tiene que a 0 ya que 0 b=0 ya que no existe un número 0-1 que 0 0-1 =1 Axioma 9 El producto distribuye a la suma, es decir, si a,b,c son números cualesquiera, entonces a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc Si un conjunto con las operaciones + y cumple con estos axiomas, entonces este conjunto, con las operaciones respectivas, constituye un anillo conmutativo con elemento unitario.
Prueba las siguientes proposiciones: Proposición 1:(ley de la cancelación). si a,b y c son enteros y a+b=a+c, entonces b=c Corolario: Si a y b son enteros y a+b=a, entonces b=0 Proposición 2. para todo entero a, se tiene que 0a= 0 Corolario: el inverso aditivo del inverso aditivo de un número -a es a. Es decir, -(-a)=a proposición 3. (regla de los signos). Si a, b son números cualesquiera, entonces (-a)b=-(ab) (-a)(-b)=ab Coroloario 3: (-1)a=-a (-1)(-1)=1 Definición: si a, b son números cualesquiera, la diferencia a-b es: a-b=a+(-b) Proposición 4: dados los números a, b, c, entonces a(b-c)=ab-ac Coroloario 4: -(a+b)=-a-b Actividades: 1. Haciendo uso de las propiedades realiza y simplifica el resultado de: ( 5 6 7)( 5 6 7)( 5 6 7)( 5 6 7) 2. Probar que: si ax=a para algún número a 0, entonces x=1 x 2 -y 2 =(x+y)(x-y) x 2 =y 2, entonces x=y o x=-y a ac, si b bc b, c 0 a c ad bc, si b d bd b, d 0 ab a b 1, si a, b 0 a c ac, si b, d 0 b d bd
a b ad, si b, c, d 0 c d bc a c si b,d0, entonces si y sólo si ad=bc b d 3. Si los números 5, 3 9,1,2 y 3 se ordenan de izquierda a derecha en orden de magnitud cuál de ellos queda en medio? Qué propiedades de los números se manejan?
POLINOMIOS ALGEBRAICOS El polinomio algebraico es una abstracción de la generalización de la estructura polinómica de número. Un número puede escribirse como suma de términos, por ejemplo: 8531 = 8x10 3 +5x10 2 +3x10+1x10 0 Cuando sumamos una expresión numérica cualesquiera, en realidad estamos utilizando el carácter polinómico de la estructura del número, porque lo que sumamos son los distintos órdenes de unidades con sus correspondientes (términos semejantes), sumando a la izquierda lo que llevamos cuando rebasamos el orden de las unidades correspondientes. 3742 Así por ejemplo + 501 4243 3x10 3 +7x10 2 +4x10+2x10 0 + 5x10 2 +0x10+1x10 0 3x10 3 +12x10 2 +4x10+3x10 0 Para expresarlo en forma idéntica, al de la izquierda, tenemos: 3x10 3 +(10+2)x10 2 +4x10+3x10 0 =3x10 3 +10 3 +2x10 2 +4x10+3x10 0 reduciendo términos semejantes: 4x10 3 +2x10 2 +4x10+3x10 0 =4243 En el caso de la multiplicación, para conservar los órdenes de las unidades, al hacer las sumas de los productos parciales, llevamos a cabo un desplazamiento hacia la izquierda en cada renglón. Al realizar la operación representando el número en su estructura polinómica se observa el porqué del desplazamiento a la izquierda. 536 268 3216 10 2 + 30 + 4 20 + 4 40 2 + 120 +16 20 3 + 60 2 +80 20 3 +100 2 +200+16 = 3216
Actividad: Realiza la multiplicación 3452x432 expresándolo como potencias de 10 y reduciendo términos semejantes, verifica el resultado. Para la división como operación inversa a la multiplicación para dos números A y C C P r B, tenemos AB=C y la división B o A, si es inexacta A y su A B B B comprobación es P=AB+r. Observemos el comportamiento de la División, mediante la estructura polinómica de los números. -3306 023142-2204 01102-1102 0-3x 5-3x 4-6x 2 0+ 2x 4 +3x 3 +x 2 + 4x+2-2x 4-2x 3-4x 0 + x 3 + x 2-2 - x 3 - x 2 + 2 0