INVERSA DE UNA MATRIZ

INVERSA DE UNA MATRIZ Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Ivan Darío Gómez Hernán Giraldo 2009

Definición Sean x = x 1 x n y y = y 1 y n vectores de n componentes, definimos el producto interno o producto escalar de los vectores x y y, denotado por x y, por la fórmula n x y = x 1y 1 + + x ny n = x iy i i=1

Ejemplo Sea u = 1 2 3 y v = 0 3 2 Definición a 11 a 1n Sea A = una matriz de tamaño m n, definimos la a m1 a mn matriz transpuesta de A, denotada por A t, como la matriz que se obtiene al intercambiar las filas y las columnas de A, esto es: a 11 a m1 A t = a 1n a mn

Definición a 11 a 1n Sea A = una matriz de tamaño m n y a m1 a mn b 11 b 1q B = de tamaño n q Definimos el producto A B como b n1 b nq c 11 c 1q la matriz A B de tamaño m q dada por AB = donde c m1 c mq c ij = n a ik b kj = a i1b 1j + a i2b 2j + + a inb nj k=1 para i = 1,, m y j = 1,, q Este producto coincide con el producto escalar ( A i) t Bj donde A i es la i-ésima fila de A y B j es la j-ésima columna de B

Ejemplo Calcular el producto AB donde A = [ ] 2 0 1 1 0 y B = 2 1 2 2 3 1 0 Inplementación al Matlab Sean A = [ ] 1 1 0 y B = 2 2 3 matrices en MatLab con el comando >> A B >> B A 2 0 2 1,podemos calcular el producto de 1 0

Teorema Sean A, B y C matrices de tamaños m n, n p y p q, respectivamente Entonces se tiene que A(BC) = (AB)C Teorema Sean A y C matrices de tamaños m n y n q respectivamente, entonces se tiene lo siguiente 1 I ma = A y AI n = A En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AI n = I na = A 2 O qma = O qn y AO nq = O mq para cualquier q = 1, 2, 3, En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AO nn = O nna = O nn 3 (A + B)C = AC + BC, donde B es una matriz de tamaño m n 4 A(B + C) = AB + AC, donde B es una matriz de tamaño n q

Lema Sean A = A 1 A m una matriz de tamaño m n donde A 1,, A m son las filas de A, B = [ ] B 1 B q de tamaño n q donde B1,, B q son las columnas de B y x = x 1 x q un vector columna, entonces 1 Las columnas del producto AB son los vectores AB 1,, AB q, es decir AB = [ AB 1 AB q ] 2 las filas del producto AB son los vectores fila A 1 B,, A m B, es decir A 1 B AB = A m B 3 El producto Bx es el vector x 1B 1 + + x qb q Es decir, el vector Bx es una combinacion lineal de las columnas de B con coeficientes tomados de x

Ejemplo Sean A = [ ] 1 3, B = 4 1 [ ] 1 0 3 y x = 2 1 1 2 3 1 Teorema Sea A una matriz de tamanõ m n y A su forma escalonada reducida Entonces Ax = 0 si y solo si A x = 0, es decir, x es una solución al sistema homogeneo Ax = 0 si y solo si x es una solución al sistema A x = 0

Definición Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, decimos que A es invertible si existe una matriz B de tamaño n n tal que AB = BA = I n Ejemplo La matriz A = A [ ] 2 1 es invertible ya que el producto 1 1 [ ] 1 1 = 1 2 [ 2 1 1 1 ] [ ] 1 1 = 1 2 [ ] 1 0 = I 0 1 2

Definición Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, decimos que A es invertible si existe una matriz B de tamaño n n tal que AB = BA = I n Ejemplo La matriz A = A [ ] 2 1 es invertible ya que el producto 1 1 [ ] 1 1 = 1 2 [ 2 1 1 1 ] [ ] 1 1 = 1 2 [ ] 1 0 = I 0 1 2 Ejemplo No toda matriz tiene inversa, por ejemplo A = [ ] 1 1 0 0

Lema Sea A una matriz n n una matriz invertible, entonces la inversa es única Observaciones Como la inversa de una matriz invertible es única, entonces de ahora en adelante denotaremos la inversa de A por A 1

Lema Sea A una matriz n n una matriz invertible, entonces la inversa es única Observaciones Como la inversa de una matriz invertible es única, entonces de ahora en adelante denotaremos la inversa de A por A 1 Teorema Sean A y B matrices de tamaños n n, entonces: 1 Si A y B son invertibles entonces AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1 2 A es invertible si y solo si A t es invertible y ( A t) 1 = ( A 1)t

Inplementación al Matlab 1 1 3 1 1 2 Sean A = 1 2 2 y B = 0 0 1, hallar (AB) 1, podemos 2 0 2 1 2 2 calcular en MatLab con los comandos: >> A = [1 1 3; 1 1 2; 2 0 2], B = [1 1 1; 0 0 1; 2 1 2] >> C = inv(a B) o D = inv(b) inv(a) Teorema Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas Si A es invertible entonces el sistema tiene solución única y esta está dada por x = A 1 b

Inplementación al Matlab 1 1 3 1 1 2 Sean A = 1 2 2 y B = 0 0 1, hallar (AB) 1, podemos 2 0 2 1 2 2 calcular en MatLab con los comandos: >> A = [1 1 3; 1 1 2; 2 0 2], B = [1 1 1; 0 0 1; 2 1 2] >> C = inv(a B) o D = inv(b) inv(a) Teorema Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas Si A es invertible entonces el sistema tiene solución única y esta está dada por x = A 1 b Inplementación al Matlab x y + 3z = 2 Resuelva el sistema lineal x 2y + 2z = 1 >> A=[1-1 3;1-2 2;2 0 2]; 2x + 2z = 0 b=[2;1;0]; x=inv(a)*b