Tema 3: Fundamentos de Probabilidad Introducción En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por el azar. El azar está relacionado con el desconocimiento y la incertidumbre. Desconocemos de antemano qué resultado saldrá al tirar la moneda al aire, o el número de aciertos en un boleto de la lotería primitiva, o si al invertir una cierta cantidad de dinero en un negocio ganaremos más o menos dinero, o si al comprar un producto saldrá defectuoso o no. También desconocemos el tiempo que tardaremos en llegar al Campus o si una medicina será más efectiva que otra para una determinada enfermedad o si un nuevo mecanismo de fabricación produce menos unidades defectuosas. Una compañía de seguros también desconoce el número de primas que deberá abonar el próximo año por un determinado accidente. El efecto del azar está presente en estas situaciones citadas y en muchas otras de la vida cotidiana. La Teoría de la Probabilidad es la parte de las matemáticas que trata los fenómenos en los que interviene el azar o también llamados fenómenos aleatorios. En denitiva, usamos la probabilidad con el n de tomar decisiones de las que esperamos obtener la mayor ganancia o que conlleven el menor riesgo. Además, es el puente ente la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial, pues permite usar propiedades obtenidas de la descripción de muestras para formular y aceptar hipótesis relativas a la población que generó dicha muestra.. Sucesos aleatorios Un fenómeno o experiencia se dice que es un experimento aleatorio cuando al repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos e i del espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental. Se denomina suceso a todo subconjunto de Ω, es decir, a cualquier conjunto de puntos que esté contenido en Ω. Lo indicaremos poniendo A Ω. Diremos que el suceso A Ω se verica o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los puntos muestrales de A. El suceso se llama suceso imposible y es el conjunto vacío. El suceso Ω se llama suceso seguro y contiene todas las posibles ocurrencias del experimento aleatorio. Tema 3 Curso 20-2 Página:
.. Actividad. Denir experimentos aleatorios de la vida cotidiana, expresando el espacio muestral asociado y algunos sucesos relativos a los mismos. Piensa, por ejemplo en los juegos de azar. 2. Un ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio. Su espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados, Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} y un posible suceso es obtener número par, que representamos por el conjunto A = {2, 4, 6}. El suceso obtener un número menor que 20 es el suceso seguro y el suceso obtener un número entre 7 y es un suceso imposible..2. Operaciones con sucesos Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando al menos uno de los dos se verica. También expresaremos A B como AoB Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando ambos se verican. También expresaremos A B como AyB Complementario: Dado un suceso A, denotaremos mediante A al suceso que se verica cuando A no se verica. También se expresa A como A c. Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando se verica A y no se verica B. Diferencia simétrica Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando o bien se verica A y no se verica B, o bien se verica B y no se verica A..3. Actividades. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre sucesos anteriores. 2. En el caso de que el experimento aleatorio sea el lanzamiento de un dado y que los sucesos A y B sean A = {2, 4, 6} y B = {2, 3, 4}, obtener los sucesos: A B, A B, A, B, A B, B A y A B. 3. Supongamos los siguientes sucesos inciertos A =iré al cine y B =iré de compras, describir los sucesos A B, A B, A, B, A B, B A y A B. 2. Modelos de Probabilidad La probabilidad asignada a un suceso aleatorio mide el grado de conanza de que ese suceso ocurra. Podemos encontrar en la literatura varios enfoques para este objetivo. Tema 3 Curso 20-2 Página: 2
El enfoque clásico considera experimentos con espacios muestrales nitos y puntos muestrales equiprobables. La probabilidad se asigna usando la Regla de Laplace haciendo P (A) = Car(A) Car(Ω) Donde Car() indica el número de elementos que tiene el conjunto indicado entre los paréntesis. Este enfoque, aunque limitado en su uso por las condiciones que maneja, está actualmente vigente. El enfoque frecuentista considera la repetición del experimento un número considerablemente grande de veces n, de las cuales un número n A ha ocurrido el suceso A. La probabilidad se asigna como n A P (A) = lím n n Este enfoque tiene varios inconvenientes, entre ellos que no podemos estar indenidamente repitiendo el experimento. Para superar los inconvenientes de los enfoques anteriores usaremos el enfoque axiomático que engloba y generaliza los enfoques anteriores y que usa la siguiente denición. Si Ω es el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, la función P es una probabilidad si: Axioma Para cualquier suceso A, se tiene que P (A) siempre es un valor comprendido entre 0 y, es decir, 0 P (A). Axioma 2 P (Ω) =. Al suceso Ω se le llama suceso seguro y siempre hay que asociarle probabilidad igual a. Axioma 3 Cuando los sucesos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, cuando sea A B =, la probabilidad del suceso unión A B es la suma de las probalidades de A y B, es decir, P (A B) = P (A) + P (B). Los sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman incompatibles o excluyentes y signican que no pueden suceder simultáneamente. Por ejemplo, cualquier suceso A y su complementario A son siempre incompatibles. Ejemplo 2. Si el dado es equilibrado es razonable asignar /6 de probabilidad a cada una de las 6 caras, por lo que sería válida la aplicación de la Regla de Laplace para calcular probabilidades, sin embargo, si es un dado ladrillo con cuatro caras con doble área a las dos restantes, por ejemplo las caras del 2,3,4 y 5, sería más razonable asignar 2 veces más probabilidad a cada una de dichas caras que a las dos restantes. Para que dicha asignación cumpla con los axiomas y por tanto sea una verdadera probabilidad ha de ser 2/ a cada una de las cuatro caras grandes, es decir a las caras del 2,3,4,y 5, y / a las caras del y 6. Dichas distribuciones de probabilidad aparecen en sendas tablas, a continuación. Desde un punto de vista subjetivo elegiremos la distribución de probabilidad más adecuada en cada caso. P (e i ) 6 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 P (e i ) 2 3 4 5 6 2 2 2 2 Tema 3 Curso 20-2 Página: 3
2.. Propiedades de las probabilidades A partir de la denición anterior se enuncian propiedades de la probabilidad como las siguientes, en las que A, B y C representan sucesos aleatorios cualesquiera y representa al suceso imposible.. Si Ω = {e,..., e n } es nito, y asociamos probabilidad a cada uno de ellos, P (e i ), con 0 P (e i ), i y n i= P (e i) =, asignamos al suceso A la siguientes probabilidad P (A) = P (e i ) e i A En particular, si P (e i ) = se obtiene la regla de Laplace. Es decir, la probabilidad n de A sería la suma de las probabilidades de los puntos que contiene. 2. P (A) = P (A) 3. P ( ) = 0 4. P (A) P (B) si A B, es decir, si todos los puntos de A están también en B, la probabilidad de A no puede ser mayor que la de B. 5. Cuando A y B no son incompatible, es decir, que pueden ocurrir simultáneamente, tenemos P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 6. Para tres sucesos tenemos la siguiente expresión: P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C), A, B, C S 2.2. Actividades. Asignar probabilidad a los sucesos A = {2, 4, 6} y B = {, 2, 3}, A B, A B, A, B, A B, B A y A B, en el caso de que el experimento aleatorio sea el lanzamiento de un dado y en los supuestos siguientes: a) Es un dado regular b) Es un dado ladrillo 2.3. Probabilidades y porcentajes En muchas ocasiones, sobre todo en una forma coloquial de hablar de probabilidades, se utilizan porcentajes. La probabilidad es una medida de la incertidumbre de que cierto suceso incierto pueda o no ocurrir, mientras que los porcentajes son proporciones (en tanto por cien) de ocurrencia de ciertos sucesos. Hay casos en que las dos medidas coinciden, como cuando usamos la regla de Laplace en espacios muestrales con puntos equiprobables, pero hay otros en los que no. La probabilidad es mucho más que una proporción aunque en algunas ocasiones esa sea una interpretación adecuada. Tema 3 Curso 20-2 Página: 4
Ejemplo 2.2 Si el dado es equilibrado, la probabilidad del suceso C =sacar un resultado que sea mayor que y menor que 5={2, 3, 4} es P (C) = 3 6 =. Podemos decir que el 2 50 % de los resultados de un dado son mayores que y menores que 5 y si pasamos este porcentaje a proporción (tanto por ) este valor es igual a la probabilidad. Sin embargo, si el dado es un ladrillo con probabilidades en puntos muestrales según la siguiente tabla: P (e i ) 2 3 4 5 6 2 2 2 2 la probabilidad del suceso C es P (C) = P ({2}) + P ({3}) + P ({4}) = 2 + 2 + 2 = 0.6. En esta situación, el porcentaje de caras mayores que y menores que 5 no 6 equivale a la probabilidad. = 2.4. Actividades El siguiente ejemplo muestra una situación en la que los puntos muestrales tienen idéntico peso en el cálculo de probabilidades, por lo que a los sucesos A y B se le asignan probabilidades según el porcentaje de puntos que contienen. Las industrias de cierto sector productivo usan los procesos A o B de tratamiento de residuos. Supongamos que el proceso A es usado por que el 60 % de las industrias mientras que el proceso B es usado por el 50 % de las mismas. Además, el 40 % de dichas industrias usan ambos procesos. Calcula los porcentajes que se piden a continuación.. El porcentaje de industrias que usan alguno de los dos procesos de tratamiento de residuos. 2. El porcentaje de industrias que no usan ni el proceso A ni el proceso B para el tratamiento de residuos. 3. El porcentaje de industrias que usan proceso A pero no usan el B. 4. El porcentaje de industrias que que solamente usan uno de los dos procesos de tratamiento de residuos. 3. Probabilidad Condicionada La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informaciones acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el mismo. Dados dos sucesos A y B con P (B) > 0 denimos la probabilidad de A condicionada a que el suceso B ha ocurrido como P B (A) = P (A B) = P (A B) P (B) Si P (A B) = P (A) decimos que el suceso A es independiente de B. La interpretación de la probabilidad condicionada P B (A) es la probabilidad o grado de creencia acerca de que el suceso A suceda, cuando sabemos que el suceso B ha sucedido. Tema 3 Curso 20-2 Página: 5
3.. Propiedades de la probabilidad condicionada. Si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. En ese caso simplemente decimos que A y B son independientes. 2. Los sucesos A y B son independientes si y sólo si P (A B) = P (A).P (B) 3. Si los sucesos A y B son sucesos independientes sus complementarios también lo son. 3.2. Actividades. Calcular P (A B) en los casos en donde A y B son los de las actividades anteriores. 2. En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara esta local. La siguiente tabla nos da los resultados en porcentajes en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones: PP PSOE IU Blanco Sí 25 20 8 2 No 5 2 8 a) ¾Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum? b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado Sí. c) ¾Qué porcentaje de votantes del PSOE han votado que Sí?. d) ¾Es independientes el suceso Votar Sí a la cuestión planteada de la Preferencia política?. 3. Un 65 % de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70 % ha aprobado Filosofía, y un 53 % ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la probabilidad de que: a) haya aprobado al menos una de las dos materias. b) haya suspendido ambas materias c) Si aprobó Matemáticas ¾Cuál es la probabilidad de haber aprobado losofía 4. Ejemplos resueltos. Las industrias alimentarias usan procesos de conservación de alimentos como la refrigeración o la deshidratación que pretenden inhibir el desarrollo de microorganismos. Supongamos que el procedimiento de refrigeración es usado por que el 80 % de las industrias mientras que el proceso de deshidratación es usado por el 50 % de las mismas. Además, el 40 % de dichas industrias usan ambos procesos. Calcula los porcentajes que se piden a continuación. Tema 3 Curso 20-2 Página: 6
a) El porcentaje de industrias alimentarias que no usan ni el proceso de refrigeración ni el de deshidratación para la conservación de alimentos. Llamando R al suceso usar el proceso de refrigeración y D al suceso usar el proceso de deshidratación, se pide calcular P (R D) = [P (R)+P (D) P (R D)] = [0.8+0.5 0.4] = 0.9 = 0. Luego el porcentaje pedido es el %. b) El porcentaje de industrias alimentarias que usan el proceso de refrigeración pero no el de deshidratación. P (R D) = P (R) P (R D) = 0.8 0.4 = 0.4 Luego el porcentaje pedido es el 40 %. c) El porcentaje de industrias alimentarias que solamente usan uno de los dos procesos de conservación. P (R D)+P (D R) = P (R) P (R D)+P (D) P (R D)] = 0.8 0.4+0.5 0.4 = 0.5 Luego el porcentaje pedido es el 50 %. d) El porcentaje de industrias alimentarias que usan además el proceso de refrigeración dentro de las industrias que usan el proceso de deshidratación. P (R D) = P (R D) P (D) Luego el porcentaje pedido es el 80 %. = 0.4 0.5 = 0.8 2. En una ciudad el 55 % de los habitantes menores de 50 años consume pan integral, el 25 % consume pan de multicereales y el 5 % consume ambos. Se piden los porcentajes de habitantes que: Para resolver el problema llamamos I al suceso consumir pan integral y M al suceso consumir pan multicereales. a) consumen pan integral o de multicereales Calculamos P (I M) = P (I)+P (M) P (I M) = 0.55+0.25 0.5 = 0.65, es decir, el 65 % de los habitantes consumen pan integral o de multicereales b) consumen pan integral pero no de multicereales Calculamos P (I M) = P (I M) = P (I) P (I M) = 0.55 0.5 = 0.40, es decir, el porcentaje de habitantes que consumen pan integral pero no de multicereales es el 40 %. c) no consumen ni pan integral ni de multicereales Calculamos P (I M) = P (I M) = 0.35, es decir, el porcentaje de habitantes que no consumen ni pan integral ni de multicereales es el 35 %. d) consumen pan multicereales dentro de los que consumen pan integral P (M I) Calculamos P (M I) = = 0.5 = 0.27, es decir, el 27 % de los P (I) 0.55 habitantes que consumen pan integral, consumen también pan multicereales. Tema 3 Curso 20-2 Página: 7
5. Bibliografía. Tema 2, sección del texto Estadística para Ciencias Agropecuarias. Autor: Di Riezo, J. A. 2. Capítulo 4, secciones, 2 y 3 y Capítulo 5, secciones y 2 del texto Estadística Aplicada Básica. Autor: D. S. Moore Tema 3 Curso 20-2 Página: 8