Probabilidad y Estadística Tema 4 Variables aleatorias Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Describir las características de las variables aleatorias discretas y continuas.
Introducción al tema Hasta el momento hemos observado las propiedades de la probabilidad y la estadística y hemos explorado los conceptos de probabilidad condicional e independencia, así como algunas técnicas de conteo para determinar el número de combinaciones posibles en un experimento. Introducción al tema En el intento de crear maneras para predecir el resultado futuro de un experimento, los investigadores han creado modelos matemáticos para describir el comportamiento y evaluar posibilidades de que ocurra una cosa u otra. Durante este tema, discutiremos los principios matemáticos que nos permiten clasificar los experimentos en diferentes distribuciones de probabilidad, conoceremos el concepto de valor esperado y la varianza de una variable aleatoria y haremos algunos cálculos para determinar resultados con base en una distribución de probabilidad.
Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad es un resumen gráfico o tabular que nos muestra los resultados esperados de un experimento, así como la probabilidad asociada con cada uno de los resultados esperados. Distribuciones de probabilidad Supongamos que estamos interesados en determinar la suma de los puntos al lanzar dos dados balanceados. Hay 11 posibles resultados de la suma de los dos dados. El espacio muestral para este experimento es: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Distribuciones de probabilidad El resumen de los resultados se ve en la siguiente tabla: Dado 1 Dado 2 Suma Dado 1 Dado 2 Suma Dado 1 Dado 2 Suma 1 1 2 3 1 4 5 1 6 1 2 3 3 2 5 5 2 7 1 3 4 3 3 6 5 3 8 1 4 5 3 4 7 5 4 9 1 5 6 3 5 8 5 5 10 1 6 7 3 6 9 5 6 11 2 1 3 4 1 5 6 1 7 2 2 4 4 2 6 6 2 8 2 3 5 4 3 7 6 3 9 2 4 6 4 4 8 6 4 10 2 5 7 4 5 9 6 5 11 2 6 8 4 6 10 6 6 12 Distribuciones de probabilidad De la tabla podemos concluir el número de ocurrencias para cada resultado, es decir, el número de resultados del experimento donde se obtiene una suma de 2 es 1, mientras que el número de resultados donde se obtiene una suma de 7 es 6.
Total de ocurrencias Probabilidad y Estadística Distribuciones de probabilidad La siguiente tabla se incluye la probabilidad de que ocurra cada uno de los resultados. Resultado esperado Número de ocasiones Probabilidad 2 1 0.02778 3 2 0.05556 4 3 0.08333 5 4 0.11111 6 5 0.13889 7 6 0.16667 8 5 0.13889 9 4 0.11111 10 3 0.08333 11 2 0.05556 12 1 0.02778 Distribuciones de probabilidad Gráficamente, podemos observar la distribución de probabilidad de la suma de los puntos de dos dados balanceados. 7 6 5 4 3 2 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Suma de puntos de dos dados
Variables aleatorias Variable cuyo valor representa la cantidad resultado de un experimento aleatorio, que debido al azar, puede tomar valores distintos. El número de empleados ausentes los lunes, que puede tomar el valor de 0, 1, 2, 3 El peso de una barra de acero, que puede tomar el valor de 2500, 2500.1, 2500.13, etc., dependiendo de la exactitud de la báscula. El número de caras al lanzar dos monedas, que puede tomar el valor de 0, 1 o 2. La suma de los puntos al tirar dos dados, que puede tomar el valor de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12. Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria discreta es válida para cierto número de valores definidos y distantes (no necesariamente números enteros). Es una variable que sólo puede tomar ciertos valores claramente separados y que es resultado de contar algún elemento de interés. Un claro ejemplo de una variable aleatoria discreta es la suma de los puntos de dos dados balanceados.
Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua es válida para un número infinito de valores dentro de un rango, en otras palabras, es una variable que puede tomar cualquier valor de una cantidad infinitamente grande de valores y que es resultado de medir algún elemento de interés. Valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado de una variable aleatoria es una medida de tendencia central que representa a una distribución probabilística. También es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, representado por E(X).
Valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado de una variable aleatoria se calcula con la siguiente fórmula: Donde: P(X) = La probabilidad de los diversos resultados de El valor esperado de una variable aleatoria se calcula sumando las multiplicaciones individuales de cada valor de X por su probabilidad de ocurrencia. Varianza de una variable aleatoria La varianza de una variable aleatoria muestra el grado de dispersión en una distribución de probabilidad y se calcula con la siguiente fórmula: La varianza de una variable aleatoria se obtiene como la suma de las diferencias entre la media y cada valor individual, multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.
Ejemplo de valor esperado y varianza Una tienda de electrodomésticos vende televisores, ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el número de televisores que espera vender en un sábado en particular. Número de televisores vendidos X Probabilidad (X) 0 0.10 1 0.20 2 0.30 3 0.30 4 0.10 Ejemplo de valor esperado y varianza Sea X la variable aleatoria discreta para el número de televisores vendidos en un sábado en particular, obtenemos el valor esperado: Número de televisores vendidos X Probabilidad (X) X * P(X) 0 0.10 0.0 1 0.20 0.20 2 0.30 0.60 3 0.30 0.90 4 0.10 0.40 E(X) = 2.10
Ejemplo de valor esperado y varianza Para calcular la varianza, podemos utilizar nuevamente una tabla: Número de televisores vendidos X P(X) (X- μ) (X- μ)^2 [(X- μ)^2 * P(x)] 0 0.10 0 2.1 4.41 0.441 1 0.20 1 2.1 1.21 0.242 2 0.30 2 2.1 0.01 0.003 3 0.30 3 2.1 0.81 0.243 4 0.10 4 2.1 3.61 0.361 σ^2=1.290 Cierre En el mundo real, los experimentos están basados en un resultado esperado, es decir, medimos la probabilidad de que un resultado sea favorable o no para el interesado en el experimento.
Cierre A este resultado deseado se le denomina variable aleatoria, pues dado que no conocemos su resultado final, el azar nos obliga a pensar en la aleatoriedad de la situación. La manera de representar el comportamiento de los posibles resultados de un experimento se le denomina distribución de probabilidad. En ella podemos determinar la probabilidad individual de todos y cada uno de los eventos que rodean al experimento, en donde la suma de dichas probabilidades siempre será 1. Cierre Este tema nos ha servido para iniciar el estudio de las distribuciones de probabilidad más conocidas; como la distribución binomial como una representante de las distribuciones de probabilidad discretas, o como la distribución normal, la máxima representante de las distribuciones de distribución continuas.
Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 3 y 4 Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI