Dfinición d drivada. Halla, utilizando la dfinición, la drivada d la función f ( ) n l punto =. Compruba aplicando las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto. f ( ) f () La drivada pdida val: f () lím 0 f ( ) ; f ( ) ( ) 0 ( 4 ) f ( ) f () = ( ) ( 4 ) 0 Por tanto: f ( ) f () f () lím 0 lím lím 0 0 0 0 Drivando la función s tin: f ( ) ( ) ( ) Si =, f ( ). ( ) Efctivamnt, coincidn.. Aplicando la dfinición dmustra qu la función f ( ) no s drivabl n =. Da también un razonaminto gráfico. Como s sab: f ( ) =,, Hacindo las drivadas latrals n = s tin: f ( ) f () Por la izquirda: f ( ) lím lím lím 0 0 0 f ( ) f () Por la drca: f ( ) lím lím lím 0 0 0 Como no coincidn, la función no s drivabl n =. En la rprsntación gráfica pud obsrvars qu la función tin un pico n =.
. Aplicando la dfinición, dtrmina los valors d a y b para qu la función si 0 f ( ) sa drivabl n l punto = 0. a b si 0 Rprsnta gráficamnt la función allada. Continuidad: Si 0, Si 0 +, f ( ) 0 f ( ) a b b b = 0 Drivabilidad: Por la izquirda: f ( ) f (0) f (0 ) lím lím 0 0 Por la drca: f ( ) f (0) a b a f ( 0 ) lím lím lím a a =. 0 0 0 Por tanto, la función pdida s f ( ) si si 0 0 Su gráfica, qu s obtin dando valors s la siguint.
4. (CVJ06) Una prsona camina a la vlocidad constant d m/s aljándos orizontalmnt n lína rcta dsd la bas d un farol cuyo foco luminoso stá a 0 m d altura. Sabindo qu la prsona mid,70 m, calcular: a) La longitud d la sombra cuando la prsona stá a m d la bas dl farol. b) La vlocidad d crciminto d la sombra a los t sgundos d comnzar a caminar La situación pud squmatizars n l siguint dibujo. a) Si s s la longitud d la sombra cuando stá a m, por l torma d Tals s tin: 0 s 0s 8,, 7s,7 s 8, s, 04 m 8, b) A los t sgundos d mpzar a caminar la prsona stá a t m dl farol. Si la longitud d la sombra n s instant mid m, s cumpl: 0 t, t 0, t, 7 m,7 8, La variación d la sombra (vlocidad d crciminto) n l instant t vin dada por la d, drivada d con rspcto a t, m/s dt 8,. (CVS06) Un incndio s tind n forma circular uniformmnt. El radio dl círculo qumado crc a la vlocidad constant d,8 m/min. a) Obtnr l ára qumada n función dl timpo t transcurrido dsd l cominzo dl incndio. b) Calcular la vlocidad d crciminto dl ára dl círculo qumado n l instant n qu l radio alcanc 4 m. El radio dl círculo qumado crc a la vlocidad constant d,8 m/min significa qu dr,8 dr, 8dt r, 8t dt Con sto: a) El ára qumada n función d t srá S r,8 t,4t ds b) La vlocidad d crciminto dl ára vin dada por 6, 48t. dt El radio alcanza los 4 m cuando 4 =,8t t = minutos. ds() Por tanto, la vlocidad d crciminto n l instant t = srá 6,48 6 dt
4 Práctica d drivadas 6. Halla la drivada d las siguints funcions: a) f ( ) 4 7 4 b) f ( ) 4 c) f ( ) 4 d) 4 f ( ) ) y 4 f) y g) y ) y ( ) 4 a) f ( ) 4 4 7 ( 8) b) f ( ) 4 4 4 8 4 6 ( 4) ( )( 4) ( 8 ) c) f ( ) = ( 4) ( 4) 6 0 d) f ( ) 4 6 ( ) ( )( ) ) y ( ) ( ) (6 ) 0 f) y ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 6 g) y ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) y = 6 ( ) ( ) ) 0 7 ( ) = 6 7. Para las funcions dadas n l problma antrior, alla l valor d f (0) n l caso n qu sté dfinida. Si no stá dfinida, indica l motivo En principio, basta con sustituir. a) f (0) = 0 b) f (0) =. c), d) y f) No ist. La función no stá dfinida n s punto. g) f (0) = 6 ) f (0) =
8. Driva y simplifica: a) y ( ) b) y ( ) ( ) ( ) ( )( ) a) y ( ) ( ) b) y ( ) = / ) ( ) / (0 ) ( y = (0 ) 9. Para las funcions dl problma antrior, indica los puntos n los qu la drivada val 0. a) ( ) 0 =, = / o = 0. En los trs puntos allados ay dificultads. En = / la función no stá dfinida. Por tanto, n s punto no s drivabl. En = ay problmas, pus la función sólo stá solo stá dfinida por la izquirda. Por tanto, n s punto la función no s drivabl. El razonaminto s análogo para = 0, dond sólo sta dfinida por la drca. En conscuncia, la drivada no s anula nunca. (0 ) b) 0 = / 0. Driva y simplifica (pinsa si puds utilizar las propidads d los logaritmos): 7 a) y log(4 ) b) y log( ) c) f ( ) log d) f ( ) log 8 a) y log 4 7 b) y log( ) 7log( ) y 7 c) f ( ) log f ( ) log log f ( ) log d) f ( ) log
6. Driva y simplifica (pinsa si puds utilizar las propidads d los logaritmos): a) y ln 6 6 b) y ln( ) c) f ( ) lncos d) f ( ) lncos 6 6 a) y ln ln( ) y 8 9 6 6 8 9 b) y = 6 6 ln( ) 6 6 ( ) ln( ) sn ( f ( ) ln cos f ( ) tag cos sn f ( ) ln cos f ( ) tag cos c) f ) lncos d). Aplicando las fórmulas d drivación y las propidads d los logaritmos, calcula, simplificando l rsultado, las siguints drivadas: a) y ln b) y ( ) ln( ) c) y ln d) y log a) y ln 6 = ln( 6) / ln( 6) y 6 6 6 6 b) y ( ) ln( ) y ln( ) ( ) ln( ) c) y ln = ln ln( ) y 0 d) y log = 0 log y log. Aplicando logaritmos alla la drivada d: a) f ln ( ) b) f ( ) a) Aplicando logaritmos: ln Drivando: ln f ( ) ln ln ln ln. f ( ) ln ln f ( ) ln f ( ) b) Aplicando logaritmos: f ( ) ln ln Drivando: f ( ) f ( ) ln. f ( ) ( )
7 4. Driva: ln( ) a) f ( ) ln( 4) b) f ( ) ( )ln( ) c) f ( ) a) f ( ) ln( 4) f ( ) ln( 4) = ln( 4) 4 4 b) ( ) ( )ln( f ) f ( ) ln( ) ( ) = ln( ) ( ) ln( ) ln( ) ( ) ( )ln( ) c) f ( ) f ( ) = 6 4 ( ). Driva: a) d) y b) y ) y c) y f) y f ( ) ( ) a) 6 y ln b) c) ) y ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) d) y y ( = ) f) f ( ) 6. Driva: cos a) f ( ) b) f ( ) cos c) f d) f ( ) sn ( ) ) f ( ) sn ( ) f) f ( ) cos sn g) f ( ) ) f ( ) sn a) f ( ) cos b) c) d) cos cos sn = sn f ( ) ) cos ( sn = f ( ) f cos ( sn ) = ( ) ( )( ) cos( sn cos 6 sn cos ) ( ) sn( ) cos( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) cos f = 6( -)sn( ) cos( ) f) f ( ) ( ) sn sn g) sn cos ( ) sn ) f ( ) sn cos ( ) sn f
8 7. Driva: a) y tag ( ) b) d) ( ) tag ( ) f f) f ( ) tag a) y ( tag ( )) cos ( b) y ( ) ( tag ( ) ) y tag ( ) c) y tag ( ) ) 4 c) y tag ( )( tag ( )) = tag ( ) tag ( )) d) f ( ) tag ( ) ( tag ( )) f) f ( ) tag tag = 4tag tag 8. A partir d la drivada d la tangnt alla la d f ( ) cotag. Halla también la drivada d y cotag ( ). Por dfinición d coscant: Drivando: f ( ) cotag = cos sn sn sn cos cos f ( ) (sn ) sn. cosc Para y cotag ( ) y (6 ) cosc ( ). 9. Driva: a) y arcsn b) y arcsn (cos) c) y arccos(cos ) d) y arccos( ) ) y arctag f) y arctag ( ) a) y 6 b) y sn sn (cos ) sn Nota: Por dfinición y arcsn (cos) sn y = cos y = / o y = /. Por tanto, y = ± sn sn c) y (cos ) sn Nota: Por dfinición y arcsn (cos) sn y = cos y = / o y = /. Por tanto, y = ± d) y ) y ( ) ( ) f) y
9 0. (NAJ04) Halla la drivada d las siguints funcions y simplifica l rsultado: a) y ln sn b) y ln a) y ln sn y ln ln b) Aplicando logaritmos: y y ln Drivando: y ln ln y y y y / ln( sn ) ln sn y cos cot ag sn ln y ln ln ln ln ln. (CLJ00) Calcula, simplificando l rsultado todo lo posibl, la drivada d la función: cos f ( ) ln cos ln Por las propidads d los logaritmos: cos f ( ) ln f ( ) ln( cos ) ln( cos ) cos Drivando: sn sn ( cos )sn ( cos )sn f ( ) cos cos cos sn sn sn. Halla, simplificando l rsultado, la función drivada d 0 f ( ) arctag cos cos, para f ( ) Rcordamos qu si y arctag f ( ) y. ( f ( )) Por tanto, sn( cos ) ( cos )( sn) f ( ) cos cos ( cos ) = cos cos cos sn cos sn = = = cos ( cos ) 4 cos cos cos sn sn sn = 4 cos cos cos sn D otro modo. Una d las fórmulas d trigonomtría s: En conscuncia, cos tag. cos cos f ( ) arctag arctag tag cos f ( )
0. Si ( ) f y g( ) sn alla la drivada d las funcions F( ) f ( g( )) y G( ) g( f ( )), aplicando la rgla d la cadna. Para F( ) f ( g( )) F ( ) f ( g( )) g ( ) Como f ( ), s tndrá qu f ( g( )) g( ) sn. Por otra part g ( ) cos. Por tanto, F ( ) f ( g( )) g ( ) = sn cos = 4sn cos Como ( ) cos Por otra part f ( ). Por tanto, ( ) g ( f ( )) f ( ) g, s tndrá qu G = ( ) cos( ) g ( f ( )) f ( )cos f ( ) ( ) cos( ). = 4 ( ) cos( 4. Halla la drivada n-ésima d f ( ) ln. 4) D f ( ) ln f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 n ) 4 n) ( ) ( n )! f ( ) f ( ) n Nota: Si scribimos f ( ) las sucsivas drivadas s obtin con mayor facilidad, pus: f ( ) f ( ) ( ) 4) 4 f ( ) ( )( )( ) )
Funcions dfinidas a trozos. (MAS06) a) ( punto). Calcular los valors d a y b para qu la función si 0 f ( ) a cos si 0 a b si sa continua para todo valor d. b) ( punto). Estudiar la drivabilidad d f() para los valors d a y b obtnidos n l apartado antrior. a) Hay dos puntos conflictivos: = 0 y =. En ambos casos la función stá dfinida, sindo f(0) = a y f() = a + b. Para qu sa continua, admás, db tnr límit n sos puntos y coincidir con su valor d dfinición. En = 0: Si 0, f ( ) Si 0 +, f ( ) acos a. Ambos límits coincidn cuando a =. En = : Si, f ( ) acos a = Si +, f ( ) a b a + b = + b. Ambos límits coincidn cuando b = La función continua s: si 0 f ( ) cos si 0 si b) Salvo n = 0 y =, su drivada s si 0 f ( ) sn si 0 si Para = 0: Si 0, f ( ) Si 0 +, f ( ) sn 0. Como las drivadas latrals no coincidn, la función no s drivabl n = 0. Para = : Si, f ( ) sn Si +, f ( ) Como las drivadas latrals coincidn, la función s drivabl n =. Por tanto, la función obtnida srá drivabl n R {0}.
a, si 6. (MAS9). Dada la función f ( ) /( a), si a) Para qué valors dl parámtro a s continua? b) Para qué valors d a s drivabl? a) El único punto conflictivo s =. Para qu sa continua n = los límits latrals dbn coincidir con su valor d dfinición. Si, f ( ) a a Si +, f ( ) a a Como dbn sr iguals: a a a 0 a = o a = a La función s continua cuando a = o a =. b) Srá drivabl n = si las drivadas latrals coincidn: f ( ) = f ( + ). Salvo n = la función drivada s: a, si f ( ) /( a ), si Si, f ( ) a a Si +, f ( ) a a Son iguals cuando a a 0 a = o a = a Por tanto, la función s drivabl sólo para a =. Obsrvación: Para a = la función s continua pro no drivabl. Para a = la función no s continua, lugo tampoco pud sr drivabl.
sn si 0 7. (ICJ00) Dada la función f ( ) a b si 0 a) Para qué valors d los parámtros a y b s continua la función f ()? b) Dtrmina a y b para qu f() sa drivabl n = 0. a) El único punto conflictivo s = 0. Continuidad n = 0: Si 0, f() Si 0 +, f() b b = sn si 0 Por tanto, para cualquir valor d a, f ( ) s continua,. a si 0 b) Salvo n = 0, la drivada d la función s: cos si 0 f ( ) a si 0 Drivabilidad n = 0: Si 0, f () Si 0 +, f () a a = sn si 0 La función f ( ) s continua y drivabl n todo R. si 0 8. (PVJ04). Dada la función: sn( ) si 0 f ( ) a si 0 Eistn valors d a para los cuals f sa drivabl n toda la rcta ral? En cualquir caso razonar la contstación y si s afirmativa ncontrar dicos valors. El único punto qu prsnta dificultads s = 0. En s punto ay qu studiar, n primr lugar la continuidad, dspués la drivabilidad Continuidad n = 0: Si 0, f() = sn 0 Si 0 +, f ( ) a 0 Como los límits latrals coincidn, la función s continua para cualquir valor d a. Drivabilidad. cos si 0 Salvo para = 0, la función drivada s f ( ) a si 0 Si 0, f () = cos Si 0 +, f ( ) a Como las drivadas latrals son iguals, indpndintmnt dl valor d a, la función dada s drivabl para cualquir valor d a.
4 9. En qué puntos no son drivabls las funcions: a) f ( ) b) f ( ) cos En cada caso indica l porqué. a) La función f ( ) pud dfinirs a trozos así: f ( ) Su drivada, salvo n = y n = 0, s: f ( ) 0 0 En =, f ( ) f ( ) no s drivabl n s punto. 0 0 En = 0, f ( 0 ) f (0 ) no s drivabl n = 0. Nota: Si s ac su gráfica pud obsrvars qu n sos puntos la función prsnta sndos picos. b) f ( ) cos, cuya gráfica s no s drivabl n k. cos Al mismo rsultado s llga si dfinimos f ( ) cos = cos Naturalmnt la función s rpit con príodo. / /, / / 0. (IBS00). S considra la función f() = arctag. Dmustra qu ist al mnos un númro (0, ) tal qu f () =. f() = arctag f ( ) Considramos aora la función F( ) f ( ). Esto s, F( ) Esta función cumpl las ipótsis dl torma d Bolzano n l intrvalo [0, ], pus s continua n él y admás, F(0) = y F ( ). En conscuncia, ist un punto (0, ) tal qu F() = 0. Pro F() = 0 F( ) = 0 f () = Como quríamos dmostrar.
Drivación implícita. Si y s una función d, drivabl, qu vrifica la cuación 6y y 8 0, alla y por drivación implícita. Compruba qu l punto (, ) prtnc a la gráfica d la cuación y alla y n s punto. Drivando dirctamnt n la prsión 6y y 8 0 s tin: y 4 6y 6y yy` 0 y ( y) ( y) y y Obsrva qu l sumando y 6y 6y 6y 6 s driva implícitamnt como un producto: El punto (, ) s d la curva, pus 6 8 0. 8 La drivada n s punto valdrá: y (, ).. Para cada una d las siguints cuacions, alla l valor d y n l punto (, ) d su gráfica: a) y 9 b) y 0 c) y y 0 a) y 9 4yy 0 y y y b) y 0 0 y y (, ) 4 y y c) y y 0 yy y y 0 y (, ) y (, ) y y y