Selectividad CCNN 008 x-z = -. [ANDA] [SEP-A] Sea la recta dada por y+z = a) Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x- = -y+ = z-. b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano, de ecuación x+y =, y deduce la distancia entre ambos.. [ANDA] [SEP-B] Dados los puntos A(,,0), B(,,) y C(,-,): a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan. b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.. [ANDA] [JUN-A] Dada la recta r definida por x- = y+ = z- : (a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. (b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. 4. [ANDA] [JUN-B] Dados los puntos A(,,) y B(0,0,), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es. 5. [ARAG] [SEP] Se considera la recta r y los planos y siguientes: r a) Determinar la posición relativa de los dos planos. b) Calcular la distancia de r a. x = - y = + z = 4- ; -x+y-z = 0 +x+y-z = 0 6. [ARAG] [SEP] a) Obtener los valores de y para los cuales el vector de componentes (,,0) tiene módulo y esperpendicular x = - a la recta r y = -. z = - b) Estudiar si los vectores a = (,,), b = (0,,), c = (0,,-) son linealmente independientes. c) Calcular el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores directores son b y c respectivamente.. [ARAG] [JUN] Considerar la recta r x- = y+5-5 = z+ y el plano x+4y+4z = 5. 4 (a) Estudiar la posición relativa de r y. (b) Calcular la ecuación implícita de un plano que es perpendicular a y contiene a r. 8. [ARAG] [JUN] (a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano x+y+z =. Obtener el punto de corte de la recta con el plano. x = (b) Hallar el punto de la recta r y = - z = + cuya distancia al punto P(,0,) sea 5. 9. [ASTU] [SEP] Se denota por r la recta x- = -y = z- y sea s la recta que pasa por A(,0,) y B(,,0). a) Estudie si las rectas r y s se cortan y, si se cortan, halle el punto de intersección. b) Halle la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. c) Halle el punto de r que equidista de A y B. 0. [ASTU] [JUN] Un plano determina sobre la parte positiva de los ejes Ox, OY y Oz tres segmentos de longitudes, y 4 m respectivamente. a) Halle la ecuación del plano. b) Halle la ecuación de la recta r que contiene a los puntos A(,0,) y B(0,6,a) y estudie la posición relativa de y r según los valores de a. 5 de diciembre de 009 Página de 5
Selectividad CCNN 008 c) Para el caso a =, halle el punto donde se cortan y r.. [ASTU] [JUN] Sean las rectas r: x+y = x-kz = y s: x = -t y = +t. z = t a) Estudie si para algún valor de k las rectas son paralelas. b) Estudie si para algún valor de k las rectas son perpendiculares. c) Halle la distancia del punto A(,,) a la recta s.. [C-LE] [SEP-A] Hallar la distancia entre el punto A(,,4) y la recta r x- = y+ = z.. [C-LE] [SEP-B] Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas r a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s. c) Hallar la distancia entre r y s. y = z = 0, s x = 0 z =. 4. [C-LE] [SEP-B] Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano dados por: r x = z ; x+y = z. y+z = x+y+z = 5. [C-LE] [JUN-A] Se considera el plano x+ay+az = 4 y la recta r x+y-z =. a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos. b) Para a =, calcular la recta que pasa por P(,0,-), es paralela al plano y se apoya en la recta r. 6. [C-LE] [JUN-A] Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son A(,,), B(,,4) y C(,,6), hallar el área del mismo.. [C-LE] [JUN-B] Dada la recta r x+y =, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto,-. 8. [C-MA] [SEP] Dado el plano x-y+z+k = 0, donde k, y la recta r x- = y+ = -z, se pide: a) Demuestra que para cualquier k, la recta r es paralela al plano. b) Determina el valor de k de forma que la recta r esté contenida en el plano. x = +t-s 9. [C-MA] [SEP] Dado el punto P(,,) y el plano de ecuaciones y = -t+s, se pide: z = t a) Distancia desde el punto P al plano. b) Ecuaciones generales de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a. 0. [C-MA] [JUN] Dados los puntos A(,,), B(+,,- ) y C(+,+,+ ), donde : a) Prueba que los vectores AB y AC forman un ángulo de 90º, independientemente del valor de. b) Determina los valores de para que la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices A, B y C sea igual a.. [CANA] [SEP] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto intersección del plano x+y-z+6 = 0 con la recta r x-y+6 = 0 -x+z+ = 0 y es paralela a la recta s x- = y - = z.. [CANA] [SEP] Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-,0,) y contiene a la recta s x = y- - = z+. 5 de diciembre de 009 Página de 5
Selectividad CCNN 008. [CANA] [JUN] Dadas las rectas r x-y+ = 0 z = - y s x = y-z-5 = 0, i) Determinar su posición relativa. ii) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. x = +t 4. [CANA] [JUN] Se consideran las rectas r y = +t, el plano x-4y-z = 0 y el punto P,,. Se pide: z = +t i) Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P y es paralelo al plano. ii) Determinar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y pasa por el punto P. 5. [CATA] [SEP] Las rectas r : x-a = y = z+ 4 y r : x+ = y-b = z-4 son coplanarias (es decir, están contenidas en el mismo plano). - a) Explique, razonadamente, cuál es la posición relativa de estas rectas. b) Encuentre la relación que debe existir entre los parámetros a y b. c) Encuentre los valores de a y b si el plano que las contiene pasa por P=(,4,6). 6. [CATA] [SEP] Dados el punto P=(,5,), el plano : x-y-z = 0 y la recta r: a) Encuentre la distancia del punto P al plano. b) Encuentre la distancia del punto P a la recta r. c) Encuentre la distancia de la recta r al plano. x-y+z = x-6y-z = 5 :. [CATA] [JUN] Dadas las rectas r: x- = y+ = ẕ x- y s: = y+ = z+5 y el punto P=,,-, queremos encontrar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s. Para conseguirlo: a) Encuentre la ecuación general o cartesiana (es decir, la ecuación de la forma Ax+By+Cz+D = 0) del plano que contiene a la recta r y el punto P. b) Encuentre el punto M calculando el punto de intersección del plano con la recta s. c) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los punto P y M. d) Compruebe que la recta encontrada en el apartado anterior es la que buscamos. 8. [CATA] [JUN] Encuentre la ecuación de la recta perpendicular al plano : x-y+z+ = 0 que pasa por el punto -,,a del plano. 9. [EXTR] [SEP-A] a) Determina la recta que pasa por el punto (,,) y es perpendicular al plano x+y =. b) Calcula el punto donde la recta obtenida corta al plano dado x+y =. 0. [EXTR] [SEP-B] a) Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas (,,) y corta perpendicularmente a la recta x- = y = z+. b) Calcula el punto donde se cortan la recta y el plano.. [MADR] [SEP-A] Dados los puntos P(,,), Q(0,,0), se pide: a) Hallar todos los puntos R tales que la distancia entre P y R sea igual a la distancia entre Q y R. Describir dicho conjunto de puntos. b) Hallar todos los puntos S contenidos en la recta que pasa por P y Q que verifican dist(p,s) = dist(q,s), donde "dist" significa distancia.. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r x+ ambas. = y- = z, s x = y- = z, hallar la ecuación de la recta t perpendicular común a 4 5 de diciembre de 009 Página de 5
Selectividad CCNN 008. [MADR] [SEP-B] Dados el plano x+y+z = y la recta r x- = y+ = z, se pide: -4 a) Hallar el punto P determinado por la intersección de r con. b) Hallar un plano paralelo a y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos y tenga longitud de 9 unidades. x-ay = 4. [MADR] [JUN-A] Dadas las rectas r ay+z = y s x-z =, se pide: y+z = (a) Discutir la posición relativa de las dos rectas r y s, según los valores del parámetro a. (b) Si a =, calcular la distancia mínima entre las dos rectas r y s. 5. [MADR] [JUN-B] Dados los puntos A(0,0,), B(,0,-), C(0,,-) y D(,,0), se pide: (a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios. (b) Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. (c) Hallar la distancia del punto D al plano. 6. [MADR] [JUN-B] Dado el plano x+y-z+0 = 0 y el punto P(,,), se pide: (a) Hallar la ecuación de la recta r perpendicular al plano que pasa por el punto P. (b) Hallar el punto Q intersección de y r. (c) Hallar el punto R intersección de con el eje OY. (d) Hallar el área del triángulo PQR.. [MURC] [SEP] Dada la recta r determinada por el punto P=(,,-) y el vector de dirección v = (,-,), calcule el punto de r más cercano al punto Q=(,0,). 8. [MURC] [SEP] Dadas las rectas r : x = y = z y r determinada por los puntos P=(,,) y Q=(,-,0), calcule la ecuación de la recta que une ambas rectas por el camino más corto. 9. [MURC] [JUN] Calcule la distancia entre la recta r : x+ = y = z- y la recta r determinada por el punto P =,-, y el vector de dirección v =,0,. 40. [MURC] [JUN] Calcule el punto del plano x+y-z = más cercano al punto (,,-). x+y-5z- = 0 4. [RIOJ] [SEP] Sea r la recta r. x+y-z-8 = 0 Buscad un punto y un vector direccional de r, y calculad sus ecuaciones en forma paramétrica y en forma continua. 4. [RIOJ] [SEP] Hallad la distancia entre el punto (,-,) y el plano que pasa por los tres puntos (0,,), (,0,), (,,0). 4. [RIOJ] [JUN] Calculad una ecuación del plano que pasa por el punto (,-) y es perpendicular a la recta x+y+z = x-y+z = 44. [RIOJ] [JUN] Consideramos el plano de ecuación x+ay+4z = y la recta que pasa por los puntos (,0,-) y (-,,). Discutid, según los valores de a, la posición relativa de la recta y el plano. Hallad, en los casos en que sean paralelos, la distancia entre la recta y el plano. 45. [VALE] [SEP] De todos los planos : x+y+z = y : x+y- z = 0, se pide calcular razonadamente: a) El valor de para que los planos y sean perpendiculares y, para ese valor de, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de esos dos planos. b) El valor de para que los planos y sean paralelos y, para ese valor de, obtener la distancia entre los dos planos y. 5 de diciembre de 009 Página 4 de 5
Selectividad CCNN 008 46. [VALE] [SEP] Dados el punto O(0,0,0) y el planos : x+y+z = 6, se pide calcular razonadamente: a) La ecuación de la recta r que pasa por O y es perpendicular al plano. b) Las coordenadas del punto simétrico de O respecto del plano. c) La ecuación del plano que contiene al eje X y a la recta r. 4. [VALE] [JUN] Se dan los puntos A = (,,) y B = (,0,-) y la recta de ecuación r: x-5 = y = z+. Se pide calcular razonadamente: - a) El punto C de r que equidista de A y B. b) El área del triángulo ABC. 48. [VALE] [JUN] Dada la recta r, intersección de los planos y+z = 0 y x-y- = 0 y la recta s de ecuación x = y- = -z+, se pide: a) Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de r y s. b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas r y s. c) Calcular la distancia entre las rectas r y s. Soluciones. a) x-z+ = 0 b) se cortan en (4,-,5). a) b) y+z- = 0. (a) x-y-5z = 0 ; (b) x+y+z = 0 4.,0,0, -,0,0 5. a) se cortan en una recta b) a),- ; -, b) si c) 90º. (a) paralelos (b) x-z-5 = 0 8. (a) x = -k y = 6k ; a = -: paralelos; a -: secantes c) (4,-6,4). a) b) 0 z = +(a-)k 6. 4. 5,-4 5 8. b) -4 9. a) b) x = +k y = +k z = ii) x+y-z- = 0 5. a) Se cortan b) a+b+ = 0 c) -, - 6. a) 8 4,,. 0. a) x+y+z-4 = 0 b),,- paralelas; a -: secantes (b) 6 40. (-,,-) 4. P(,-,-4) ; w = (,-,-) ; y = -k z = b) -; 46. a) y = k z = k. a) plano x+z-5 = 0 b) 5. (b) x+y+z- = 0 (c) x = + y = -- z = -4- b) (6,6,6) c) y-z = 0 4. a) y = k ; A(,,) (b) (,,) 9. a),, z = k c). 0. b) - 5 ;. x = -9+k y = --k z = -4+k 4 6. (a) ; x- = y+ - = z+4 -. a) se cruzan b) b) x-y-z+ = 0 c),, x = 0 y = z = c) 4. 9 6 6. 0. a) 6x+4y+z- = 0 b) 5. a) b) x = -0k y = k z = -+5k. x+9y+5z+ = 0. i) se cortan ii) 60º, (,4,-) 4. i) x-y-z+ = 0 b) 6 c) 0. a) y+z+ = 0 b) (,-,) c),,, -,,-.. x = +k y = +k z = -k 4. 9,-,- b) 4 48. a) r x = -+ y = -+ z = -4- x = +k y = -k z = -+k (b) Q(-,0,4) (c) R(0,-5,0) (d) 0 8. x = -+ y = - z = + 9. a) x = + y = + z =. a) (,,-4) b) x+y+z = 0; x+y+z =. 4. (a) a = -:. (,0,) 8. x = y = - z = + 4. x-y-z- = 0 44. a 0: se cortan; a = 0: paralelos, d = 5 y = - +k s x = -k y = +k z = -k b) paralelas c) 5 b) 9. 4 4 45. a) ; 5 de diciembre de 009 Página 5 de 5