Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico Begoña Feádez,* Mauel Galá** y Paticia Saaveda*** Fecha de ecepció: 7 de mayo de 00; fecha de aceptació: 6 de febeo de 003 Resume: Duate el peíodo de agosto de 996 a juio de 00, el Baco de México istumetó u mecaismo de iteveció e el mecado cambiaio acioal, que le pemitió icemeta sus esevas iteacioales po u moto mayo a los 6,000 milloes de dólaes. El mecaismo de acumulació se basó e el diseño de u cotato opcioal, cuyas caacteísticas cotactuales o se ecotaba e las opcioes exóticas existetes e el mecado. E este atículo se peseta u aálisis de dicho istumeto duate su peíodo de vigecia basado e los esultados obteidos e Feádez y Saaveda (003) y Galá, et ál. (996), e los que se peseta dos eglas de ejecicio: ua basada e el picipio de la pogamació diámica y el teoema de Pao Óptimo y ota e u citeio heuístico. El estudio muesta que bajo la hipótesis de que el tipo de cambio e cada tiempo tiee ua distibució log-omal, las istitucioes cediticias adquiieo el cotato opcioal a u pecio po debajo del valo estimado. Si embago, su política de ejecicio o fue óptima, pues de habe utilizado algua de las eglas de ejecicio popuestas había obteido ua gaacia adicioal. Palabas clave: mecado cambiaio, esevas iteacioales, opcioes, Baco de México. Abstact: Betwee August 996 ad Jue 00, the Cetal Bak of Mexico implemeted a itevetioal mechaism i the exchage maket i ode to icease its iteatioal eseves by moe tha 6,000 millios of dollas. This mechaism cosisted i a put optio that gave the Mexica Baks the ight, but ot the obligatio, to sell ameica dollas to the Cetal Bak, at the pice detemied oe day befoe the date of execise. I this wok we peset a aalysis of the behavio of * Depatameto de Matemáticas. Facultad de Ciecias. UNAM. Cicuito Exteio. Ciudad Uivesitaia. 0450. México, D. F. e-mail: bff@hp.fciecias.uam.mx ** Diecto de Sistemas Opeativos y de Pagos. Baco de México. e-mail: mgala@baxico.og.mx *** Depatameto de Matemáticas. UAM. Iztapalapa. Apdo. Postal 55-538. Av. Sa Rafael Atlixco 86. 09340. México, D. F. e-mail: psb@xaum.uam.mx ecoomía mexicaa. NUEVA ÉPOCA, vol. XII, úm., segudo semeste de 003 85
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda this istumet duig its life time. Two ules of execise ae poposed to icease the gai whe the optio is execised. The study shows that, ude the hypothesis that the ate of exchage at time t has a log-omal distibutio, the fiacial istitutios bought the optio cheap but its execise policy was ot optimal. If they had used ay of the two ules of execise poposed hee they would have gotte a substatial gai. Keywods: exchage maket, iteatioal eseves, optios, Baco de México. Itoducció Aaíz de los sucesos tubuletos e la ecoomía mexicaa duate los años de 993 y 994 que cotibuyeo a la cisis fiaciea de 994-995, las esevas iteacioales del Baco de México dismiuyeo e foma impotate. E 996, la Comisió de Cambios cosideó que ea pudete aumeta el ivel de éstas si pesioa al tipo de cambio de maea ideseable y si evia señales que pudiea itepetase de foma eóea po los distitos paticipates del mecado. Se estimó que la dispoibilidad de u moto mayo de activos iteacioales cotibuiía a loga mejoas e el costo y plazo del fiaciamieto exteo. El esquema que se decidió adopta dio oige a lo que se cooce hoy como la opció Baxico, que cosiste e u mecaismo de iteveció e el mecado cambiaio. Este istumeto se paece a u cotato opcioal tipo put sobe dólaes, si embago, tiee otas caacteísticas que lo difeecia completamete de los istumetos existetes e el mecado tato acioal como iteacioal. Este istumeto lo emite el Istituto Cetal mesualmete mediate subasta ete las distitas istitucioes de cédito del país. La opció Baxico es ua opció exótica distita de las que se ecueta e el mecado, ve Zhag (998), co tiempo de maduació de u mes, e la que la fecha de ejecicio puede se cualquiea de los días hábiles duate la vigecia del cotato; el pecio de ejecicio es aleatoio y cotiee ua esticció de ejecicio que depede del pomedio de los tipos de cambio fix hasta el día imediato ateio a la fecha de ejecicio. 86
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico E este atículo se peseta u aálisis de la opció Baxico duate su vigecia, de agosto de 996 a juio de 00, basado e los esultados obteidos po Feádez y Saaveda (003) y Galá, et ál. (996). E la Secció I, se descibe co detalle el diseño y las caacteísticas de la opció; e la Secció II, bajo la hipótesis de que el tipo de cambio fix tiee ua distibució log-omal, se peseta los esultados obteidos po Feádez y Saaveda (003), basados e el aálisis bajo la pobabilidad de iesgo-euto, el picipio de pogamació diámica y el teoema de pao óptimo sobe la valuació e cada tiempo, y ua egla de ejecicio ispiada e el aálisis de la opció si la esticció. Asimismo, se peseta oto citeio de ejecicio fudametado e u método heuístico que puede cosultase e Galá, et ál. (996) y Galá (000). E la Secció III co estos esultados y los datos tato del tipo de cambio (pesos po dóla) fix como de la subasta se aaliza el desempeño de la opció Baxico y se compaa las eglas de ejecicio popuestas e la Secció II. Los esultados que se obtiee muesta que el Baco Cetal adquiió dólaes e el mecado paa sumalos a sus esevas po ua catidad igual a 6,330 milloes de dólaes y que las istitucioes de cédito adquiieo la opció a u pecio e pomedio ifeio al valo estimado. Si embago, su política de ejecicio, bajo los supuestos ealizados e este tabajo, muesta que o fue la más adecuada. De habe ejecido co algua de las eglas popuestas había obteido más de 40 milloes de pesos adicioales a su gaacia. I. Descipció y caacteísticas de la opció La opció Baxico la da a cooce el Baco de México el pimeo de agosto de 996, mediate ua cicula diigida a las istitucioes de cédito del país, e la cual se les ifoma que a pati de esa fecha, cada fi de mes se subastaá cotatos opcioales cota el pago de ua pima e pesos, que otogaá al teedo del cotato el deecho más o la obligació (opció) de vede ua catidad pedetemiada de dólaes cota pesos al Istituto Cetal. La opció Baxico peseguía e su diseño vaios objetivos: el pimeo cietamete ea el de icemeta las esevas iteacioales del Istituto Cetal que a fiales de 995 había dismiuido a iveles históicamete bajos. Si embago, la acumulació de esevas 87
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda debeía ealizase de maea tal que o povocaa volatilidad iecesaia e los mecados, taea que o esultaba fácil e el mecado cambiaio mexicao, e el que la poca pofudidad del mismo hace que la paticipació o sólo sospecha de paticipació del Baco Cetal povoque movimietos cambiaios impotates. Las itevecioes e el mecado cambiaio mediate compa diecta de dólaes a los paticipates, tiee el icoveiete de maca iveles del tipo de cambio, itepetadas como señales, que a juicio del mecado sigifica que el Baco Cetal sugiee que la moeda acioal debe deja de depeciase. Esta eacció es coecta si lo que busca el Baco Cetal es modifica el ivel del tipo de cambio, como sucede e la mayoía de las itevecioes de los bacos cetales, peo o es coveiete cuado lo que busca la istitució es aumeta sus esevas iteacioales y deja al mecado la libe detemiació del ivel del tipo de cambio. Iclusive, ua estategia de acumulació basada e opcioes tadicioales tedía el mismo poblema, pues el pecio de ejecicio seía itepetado po el mecado como u piso. Po oto lado, el Baco de México buscaba aumeta la taspaecia e las accioes que ealizaba e mateia de política cambiaia. Se peseguía, etoces, defii eglas claas que aumetaa la ifomació y dismiuyea la discecioalidad del Istituto Cetal e esta mateia. El eto o ea fácil, se petedía aumeta las esevas iteacioales co la compa de dólaes a las istitucioes de cédito y al mismo tiempo, se buscaba que estas compas o accioes del Baco Cetal o distosioaa el mecado madado señales que povocaa u mecado volátil. Po último, se petedía etia dólaes del mecado cuado éstos pesetaa ua faca tedecia a la apeciació posible idicació de ua etada de dólaes a la ecoomía y o sólo ua apeciació de u día co especto al ateio. Paa evita ua lectua icoecta sobe las itecioes del Istituto Cetal, se sugiió que la acció de aumeta las esevas iteacioales debeía esta e maos de las istitucioes de cédito y o del Baco Cetal. De esta maea, la estategia de acumulació de esevas seía pasiva y totalmete depediete de estas istitucioes. El Baco de México sólo acumulaía esevas si los bacos optaba po vedele estos dólaes e luga de hacelo e el mecado. Adicioalmete, se evitó maca iveles o mada señales sobe iveles de iteveció del tipo de cambio, pemitiedo que el pecio de ejecicio 88
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico de las opcioes fuea detemiado diaiamete po el mecado si la iteveció del Istituto Cetal. Resumiedo, el mecaismo de iteveció peseguía los siguietes objetivos:. Icemeta las esevas iteacioales.. Acumula esevas miimizado los posibles efectos colateales ideseables. 3. No altea la atualeza del égime cambiaio e vigo, ua de cuyas caacteísticas picipales es o pedetemia u ivel o ua tayectoia del tipo de cambio. 4. Las itevecioes debe se taspaetes paa los paticipates e el mecado y completamete esteilizadas. 5. Iduci las compas de divisas po pate del Baco Cetal cuado el peso se está apeciado y desicetivalas cuado se está depeciado. Tomado e cosideació los popósitos del Baco de México se diseñó la opció Baxico que descibimos a cotiuació:. El último día hábil de cada mes el Baco de México subasta, ete las istitucioes de cédito mexicaas, opcioes paa vede dólaes al Baco Cetal.. El cotavalo de la opeació descita e el puto (), se ealizaá e pesos y se calculaá utilizado el tipo de cambio fix detemiado po el mecado el día hábil ateio. 3. El plazo de vigecia paa el ejecicio de la opció coespodeá al mes caledaio posteio al día e que se ealizó la subasta. 4. Los motos se asigaá odeado de mayo a meo las pimas coteidas e las postuas de los paticipates. Los motos demadados, se otogaá e dicho ode hasta coloca la ofeta total. E caso de existi u empate e la última postua, los motos se asigaá a poata ete los paticipates empatados. 5. Las opcioes se podá ejecuta de foma pacial o total hasta po el moto asigado. El moto míimo de ejecicio es de u milló de dólaes. 6. Las opcioes sólo podá se ejecutadas, si el pecio de ejecicio, es deci, el tipo de cambio fix detemiado el día hábil 89
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda ateio al ejecicio es o mayo al pomedio de los veite tipos de cambio fix peviamete detemiados al día e que se ha decidido ejece la opció. A este pomedio, que cambia día a día, le llamaemos pomedio móvil. 7. Se pemite la compa-veta de estos deechos e el mecado secudaio. 8. Po último, al témio de la subasta, el Baco de México aplica u sistema de esteilizació co objeto de o afecta el ciculate: vede CETES po el moto equivalete a los dólaes que adquiió co objeto de etia del mecado el mismo moto de pesos que se itodujeo e dólaes. E la gáfica se muesta el tipo de cambio fix del pimeo de eeo al 3 de mazo de 000. Los pimeos días, la opció o pudo ejecese debido a que el valo del fix (la líea cotiua) está po ecima del valo pomedio (la líea puteada); es hasta el día dieciocho que puede ejecese la opció po pimea vez dado que el día ateio el valo del fix está po debajo del valo pomedio. Claamete, las caacteísticas () y () ates descitas deja e maos del mecado tato el pecio del istumeto como el pecio de Gáfica. Valo del fix y del pomedio móvil 0. 0 9.8 9.6 9.4 9. 9 90 8.8 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - Pomedio Fix
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico ejecicio. La caacteística (6) tiee el popósito de etia dólaes del mecado cuado éste peseta ua faca tedecia a la apeciació. Así, el diseño de la opció Baxico platea los siguietes poblemas a las istitucioes cediticias:. Calcula el valo de la opció al mometo de la fima del cotato.. Dado que es pemitido el mecado secudaio, calcula el valo de la opció e cada día duate la vigecia del cotato. 3. Da u citeio de ejecicio que les pemita optimiza sus gaacias. La espuesta a estos poblemas depede del modelo elegido paa valua el istumeto y de u citeio de optimalidad paa detemia el tiempo óptimo de ejecicio. Valua la opció Baxico o es taea fácil; pimeo, poque la ga mayoía de las opcioes exóticas o puede valuase e foma exacta, sobetodo aquellas que depede de u pomedio; segudo, la dificultad se icemeta al se del tipo ameicao, las cuales sólo puede valuase e foma apoximada a tavés de esquemas uméicos que esuelve la ecuació asociada e deivadas paciales o po medio de áboles biaios. E este caso, las ecuacioes e deivadas paciales o se puede utiliza al se la opció disceta e el tiempo y el método de áboles biaios es ieficiete po el úmeo de tayectoias que se equiee. Cabe mecioa que, paa estas opcioes, aas veces se obtiee e foma explícita el tiempo de ejecicio óptimo. De hecho, es más fácil estima el valo de la opció po medio de u algoitmo ecusivo, basado e el picipio de la pogamació diámica, que obtee el tiempo de ejecicio óptimo. A cotiuació se peseta esultados del valo exacto y del tiempo de ejecicio óptimo de ua opció simila a la Baxico si la esticció del pomedio, lo cual ya es ua apotació a la teoía de opcioes poque hay pocos ejemplos de opcioes exóticas que sea a la vez ameicaas que pueda valuase e foma exacta. Gacias a estos esultados, se popoe ua egla de ejecicio que pemite tato estima el valo de la opció Baxico, como detemia ua apoximació al día óptimo de ejecicio. Esta egla de ejecicio da luga a u algoitmo diámico, e el que se actualiza diaiamete los paámetos del 9
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda modelo, que es mucho más fácil y eficiete que los métodos basados e ecuacioes e deivadas paciales o e áboles biaios. II. Valuació y tiempo óptimo de ejecicio E esta secció pesetamos dos putos de vista paa el tatamieto de la opció Baxico. El pimeo se fudameta e el aálisis de iesgo euto, el picipio de la pogamació diámica y el teoema de pao óptimo, lo que pemite da cotas ifeioes paa el valo de la opció e cada tiempo y u citeio de ejecicio diámico, ve Feádez y Saaveda (003), mietas que el segudo se basa e u agumeto heuístico que da luga a ua egla de ejecicio tambié diámica, ve Galá, et ál. (996) y Galá (000). E ambos casos, el modelo cosideado paa el tipo de cambio fix es u modelo log-omal, es deci, si S t deota el tipo de cambio al tiempo t, etoces S = S exp( γ t + σ B ), t 0 t dode γ es la tedecia, σ es la volatilidad y B t es ua vaiable aleatoia Gaussiaa co media ceo y vaiaza t. II.. Valuació bajo la pobabilidad iesgo euto y el picipio de la pogamació diámica E este caso, el modelo log-omal cosideado es el Modelo de Black-Scholes, es deci, dode S σ exp + σ, µ t B t = S0 t σ γ = µ. 9
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico Siguiedo el efoque de Gama y Kohlhage (983) paa divisas, bajo la pobabilidad iesgo-euto P *, el tipo de cambio fix está dado po: S exp σ + σ, t W t = S0 t dode y so las tasas libes de iesgo acioal y extajea, espectivamete, y W t es ua vaiable aleatoia gaussiaa co media ceo y vaiaza t. Como la opció puede ejecese e cada día hábil duate la vigecia del cotato, siempe y cuado se cumpla la esticció del pomedio móvil, se tiee que la opció es de tipo ameicaa. Deotemos co N a la fecha de expiació del cotato y co Z, paa =,..., N, la gaacia e el día del teedo del cotato. A Z se le llama tambié la fució de pago y está dada po: Z 9 max ( S S,0), si = 0 S i= 0 0, e oto caso. i S Deotaemos po Z^ el valo pesete de la fució de pago paa =,..., N, es deci, ^ Z = El picipio de la pogamació diámica os da u método ecusivo paa calcula el valo pesete del cotato paa cada día, que deotaemos como U^, =,..., N y que es el siguiete: Z e., ^ U ^ U N ^ = Z N, ^ = max Z * ^, E U + F, 93
* dode E [ ] Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda F, es la espeaza codicioal co especto a la pobabilidad de iesgo euto P * y F epeseta la ifomació del tipo de cambio hasta el tiempo. Éste es u pocedimieto hacia atás que tiee como fudameto la siguiete idea: el valo pesete del cotato al tiempo es el máximo ete la fució de pago e ese tiempo y el valo futuo del cotato, más pecisamete, al tiempo de expiació N del cotato U = ^ ^ N Z N es deci, si la opció o se ha ejecido al tiempo de expiació, su valo es igual al de la fució de pago. Si al tiempo N, el teedo del cotato o ha ejecido su deecho, puede ocui que lo ejeza e ese tiempo o se espee al tiempo N, po lo que el valo de la opció al tiempo N seá igual al máximo ete la fució de pago al tiempo N y el valo futuo de la opció, que es itepetado como el valo espeado de U^ dada la ifomació del tipo de cambio hasta el día N, es deci, como E * [U^ F^ N N- ]. Siguiedo este mismo azoamieto se obtiee que el valo del cotato e cada tiempo está dado po: U ^ ^ max Z, E U ^ * = +, F. Este pocedimieto esuelve al meos teóicamete la valuació de la opció e cada tiempo. Po oto lado, se sabe po el teoema de pao óptimo que u tiempo óptimo de ejecicio (τ 0 ) es la pimea vez que la fució de pago actualizada es mayo que el valo futuo del cotato, es deci, ^ * ^ τ 0 = if 0 < N Z E U F + y la pima de la opció está dada po * ^ * ^ U 0 = supe Z = τ, 0 τ E Z τ 94
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico dode el supemo se toma sobe todos los posibles tiempos de ejecicio que o utiliza ifomació pivilegiada. Obsevemos que el teoema de pao óptimo elacioa el valo del cotato al tiempo iicial co ua egla de ejecicio, que es óptima e el setido que maximiza la gaacia espeada. Así, este teoema os povee de u método alteativo a la fómula ecusiva paa calcula el valo del cotato. E caso de cooce τ 0 el valo U 0 se puede calcula como E * [Z^τ 0 ]. Aú más, dada cualquie egla de ejecicio τ, que o usa ifomació pivilegiada, E * [Z^τ] es ua cota ifeio paa el valo del cotato, es deci, ^ * ^ E Z τ 0 * E Z τ Desafotuadamete e el caso de la opció Baxico o es posible detemia diectamete el tiempo de pao óptimo. El pocedimieto ecusivo os obliga a calcula e cada paso la fució de pago, la cual depede del pomedio móvil de los 0 días ateioes a la fecha de ejecicio, dificultado cosideablemete su estudio y maejo computacioal. E Feádez y Saaveda (003), se peseta el estudio de la opció Baxico po medio del modelo biomial que pemite apoxima la solució po medio de áboles biaios y el método ecusivo ates expuesto. Geea áboles co N odos y calcula paa cada uo de los odos el pomedio móvil, es u pocedimieto que sólo fucioa paa valoes o muy gades de N, po lo que o hay posibilidad de efia el ábol y obtee ua mejo apoximació a la solució. Las coclusioes de Feádez y Saaveda (003) muesta que paa la opció Baxico el modelo disceto puede estima aceptablemete el valo de la opció, peo o es el mejo pocedimieto paa estima el tiempo de pao óptimo. Po estas azoes, se evitó usa el método ecusivo e el caso cotiuo. Si embago, del aálisis del modelo cotiuo de la opció Baxico si la esticció del pomedio móvil, ve Feádez y Saaveda (003), se obtiee cotas ifeioes paa la opció y tiempos de ejecicio óptimos que si bie o se puede gaatiza que sea óptimos al toma e cosideació la esticció del pomedio móvil, so muy eficietes cofome a los esultados obteidos. Ates de peseta los esultados paa la opció si la esticció del pomedio móvil, se defiiá a cotiuació alguas vaiables.. 95
96 Paa cada {,..., N} defiamos a T como los edimietos e el -ésimo día, es deci,. = S S T Bajo el modelo de Gama-Kohlhage (983) y la pobabilidad iesgo euto P *, T es ua vaiable aleatoia log-omal de la foma X T e + σ σ = co X como ua vaiable aleatoia Gaussiaa estáda idepediete de F. E otas palabas, X es ua vaiable aleatoia que satisface. ) ( ), (, log σ = σ = + σ = k k K K T X E lo que sigue vamos a usa la siguiete otació σ + Φ = Φ = ) ( ) (, k e K A K Y N N y paa toda {0,..., N}, ) )( ( ) ( ), log( + + + + + σ Φ = Φ + σ σ = N N N N N N N A e A e e Y Y A e A e Y dode Φ deota la distibució Gaussiaa acumulada. Sea Z s la fució de pago de la opció si la esticció, es deci,,0), ( max s S S Z = Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico s Z^ el valo actualizado y U^ s el valo pesete de la opció Baxico si la esticció de ejecicio del pomedio móvil, obteida po el mismo pocedimieto hacia atás ates descito. El siguiete teoema puede cosultase e Feádez y Saaveda (003). Teoema. El valo de la opció Baxico si la esticció de ejecicio s del pomedio móvil U^, satisface paa toda {0,...,N}, (U^ s = U s ) 0 0 ^ s U N ^ s U N ^ s 0 U = S S = e ^ N S = e 0 A, max { T ^ N N ( TN TN A e, 0}, ) N+ si X si X N N < Y Y N N,, dode T, X y Y está dadas ateiomete. Coolaio. El tiempo óptimo de ejecicio τ s de la opció Baxico si 0 esticció está dado po τ s 0 { 0 < N X < Y } if si X < Y = N, e oto caso. paa algua, E este caso, se tiee que el valo espeado de la opció Baxico si la esticció del pomedio móvil, dado que se cueta co la ifomació del tipo de cambio hasta el día, es mayo o igual que el valo espeado de la opció Baxico; es deci, paa cada =,..., N se tiee * ^ E U F E ^ U F s * + + 97
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda peo esta elació o es suficiete paa obtee u tiempo óptimo de ejecicio paa la opció Baxico. Si embago, a pati del coolaio se puede defii como egla de ejecicio paa la opció la siguiete: τ 0 9 if 0 < N si X < Y, = S i S 0 i= 0 N, e oto caso. paa algua Po el teoema de pao óptimo E * [Z^τ] es ua cota ifeio paa el valo de la opció y esta cota ifeio es posible estimala po el método de Mote-Calo. Es deci, dados, y σ, se calcula las costates A y Y espectivas y se geea M tayectoias del tipo de cambio fix po medio de σ j + ε σ j j S = S e, j =,..., M, =,..., N, co ε j úmeos aleatoios idepedietes omales co media ceo y vaiaza uo. A cada tayectoia se le aplica el citeio de ejecicio τ y se calcula la fució de pago e el tiempo que se satisface. El pome- Gáfica. Juio 999 9.8 9.7 9.6 9.5 9.4 9.3 4 6 8 0 4 6 8 0 Fix Pomedio 98
Gáfica 3. Juio 999 Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico 0 4 6 8 0 4 6 8 0 4 - - Y X dio de estos valoes estima ifeiomete el valo de la opció Baxico. Cabe señala, que aú cuado el método Mote-Calo o se usa paa estima el valo de las opcioes tipo ameicaa, gacias a que teemos u citeio de ejecicio podemos aplicalo e este caso. A cotiuació pesetamos alguas gáficas paa ilusta el compotamieto de esta egla de ejecicio. La gáfica muesta el compotamieto del tipo de cambio fix duate el mes de juio de 999 a pati del último día del mes ateio, o sea, es la gáfica de S paa = 0,..., N. Como podemos obseva, los pimeos cico días del mes o se cumple la esticció del pomedio móvil. A pesa de que el sexto día se satisface, como el valo de S 7 se icemeta co especto a S 6, o coviee ejece ese día, po lo que hay que espea hasta el doceavo día paa hacelo. E cosecuecia, el día doce es el pime día e que es posible ejece la opció; de hacelo así, se obtedía ua gaacia de S S = 43.30 pesos po mil dólaes. Po oto lado, si se ejeciea co la egla de ejecicio τ, había que hacelo el pime día que se satisface la esticció del pomedio y que X <Y. La gáfica 3 muesta los valoes que toma estas dos vaiables duate el mes de juio. Como podemos obseva, se da X <Y e el teceo, quito y vigésimo pime día del mes; dado que la esticció del pomedio móvil sólo se satisface el vigésimo pime día del mes, es éste el pime día e el que se cumple ambas codicioes. De ejece el deecho ese día se obtedía ua gaacia de 7.00 pesos po mil dólaes, la mayo posible duate el mes. 99
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda Cabe señala que, de utiliza el tiempo τ como ua egla de ejecicio, gaatizamos que el valo de la fució de pago e ese tiempo es mayo que el valo futuo de la opció, peo podía ocui que uca se pudiea ejece, po lo que puede se u citeio muy estictivo. Si embago, dado que los esultados obteidos so válidos paa cualquie valo de N (es deci, del tiempo de expiació), popoemos u algoitmo diámico paa estima ifeiomete el valo de la opció diaiamete. Más pecisamete, popoemos el siguiete algoitmo paa calcula, tato el valo de la opció e cada día, como paa decidi si se ejece o o ese día: () Se toma, como la tasa de CETES y la tasa de los Ameica Teasuy Bills, espectivamete. () Se estima la volatilidad σ, co la ifomació del tipo de cambio hasta el tiempo. (3) Co estas catidades se calcula las costates Y, k A, < k N, de las ecuacioes () y (). k (4) Po el método Mote-Calo y usado la egla de ejecicio τ se estima E * [Z^ τ ]. (5) Si la fució de pago al tiempo es mayo que la espeaza estimada, se ejece la opció; si o, se espea y el día + se epite el pocedimieto ateio co la ifomació actualizada. II.. Método heuístico de tiempo de ejecicio E este puto de vista, supodemos que el teedo del cotato busca obtee ua egla de ejecicio elacioada diectamete co la volatilidad y que maximice el beeficio espeado. Más pecisamete, podemos obseva que la distibució de los edimietos T es idepediete de, ya que S T = S = e γ+σ X, dode X es ua vaiable aleatoia Gaussiaa estáda. Así, deotaemos geéicamete a los edimietos po T. Paa cada α < 0, el 00
beeficio ecoómico espeado deotado po G(α) que esultaía de ejece la opció e fució diecta de la volatilidad estaía dado po: G( α) = E[ log T logt < α σ]. Obsévese que α < 0, pues de ejece la opció, el logaitmo de los edimietos es egativo. Puesto que lo que se busca es maximiza el beeficio espeado se equiee ecota α * tal que Po oto lado, Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico G( α * ) = maxg( α). α [ ] E log TI[ log T ασ] G( α) = P log T ασ [ ] = ασ ( xγ) / xe πσ Φ( α γ / σ) σ dx = γ + σ ( αγ / σ) e π Φ( α γ / σ) /. Deivado G(σ) co especto a α obteemos d ( G( α)) dα σ e π ( αγ / σ) / γ + α, σ de dode α * γ + σ. 0
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda Po lo tato, es óptimo ejece cuado Log T < [ + (γ /σ)] σ. El cociete γ /σ depede de la elació ete la difeecia de la tasa doméstica y foáea y de la volatilidad. Esta elació está lejos de se ua costate. E Galá (000), a pati de los valoes obsevados duate los pimeos meses de vigecia de la opció, se sugiee que este cociete sea igual a 0.. Po lo tato, se popoe segui el siguiete algoitmo heuístico paa ejece la opció: () La volatilidad σ del día se estima co la ifomació del tipo de cambio hasta ese día. () Si el día se cumple la esticció del pomedio y L (S / S - ) 0.8 σ se ejece la opció. Si o, se espea y se epite el pocedimieto paa el día +. III. Desempeño de la Opció Baxico A cotiuació se peseta el esume del compotamieto de la opció Baxico de agosto de 996 a juio de 00, peíodo e que estuvo e opeació la opció. Hay que mecioa que duate 997 y 998 se decidió lleva a cabo dos subastas po mes, siempe y cuado ates del quiceavo día del mes espectivo se hubiea ejecido más del 80 po cieto del moto adjudicado a picipios del mes. Cuado No. de subastas ealizadas 6 No. de subastas e las que se pudo ejece al meos e u día 5 Moto total ofecido e las subastas 6,330 mdd Moto total colocado 6,330 mdd Moto total ejecido.,45 mdd Moto total de pimas ecibidas 430 mdp Beeficio ecoómico obteido al ejece la opció 4 mdp E el cuado se muesta el compotamieto mesual de la opció Baxico. E la pimea columa se idica el mes; cuado hay dos subastas e u mes, se idetifica la pimea co u y la seguda co u dos. La tecea columa peseta el valo estimado de la pima de la opció cuado se aplica el modelo log-omal co la volatilidad históica y la egla de ejecicio τ. El pecio de la subasta y el valo estimado es po mil dólaes. E la cuata columa se idica los milloes de 0
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico Cuado Mes Subasta U 0 Moto C G G G3 G-C G-C G3-C 996 Agosto.68 4.88 30 6.0600.38 3.704.30 3.80.356 3.750 Sep. 4.65 6.06 00 0.9300.497 0.000 0.000 0.5670 0.930 0.930 Oct. 0.8.9 00.0360.680 0.000 0.000 0.6440.030.030 Nov. 0.3 9.0 00.0640 3.640 6.900 0.000.5760 4.836.060 Dic. 4.43 7.73 00.8860 4.75.80 7.40.3890 0.066 4.530 Total 930 3.9800 4.330 3.40 9.7 0.3540 0.55 4.50 997 Eeo 3.75 6.33 300 4.50 5.403 4.680 6.030.780 0.555.900 Feb 6.4 9.90 300 4.840.50 3.540 3.540.330.300.300 Feb 5.08 0.00 300 4.540.70 3.690 3.690.80 0.830 0.830 Mazo 0.40.6 300 3.00.40 0.000 0.000 5.3600 3.0 3.0 Abil.86 46. 300 6.5580 5.80 4.80 4.80 0.7380 7.70 7.70 Abil 3.86 0.00 300 4.580 3.005 0.000 0.000.530 4.50 4.50 Mayo 4.38 0.6 300 4.340.300 6.690 6.690.040.370.370 Juio.74 6.64 300 3.50 0.40 0.000 0.000 3.660 3.50 3.50 Julio 0.6 0.6 300 6.830 5.690.60 6.80 0.4930 5.47 0.003 Julio 9.57 0.00 300 5.870.700.60.60 3.70 5.730 5.730 Agosto 3.6 9.89 500.6300.300 0.000 0.000 0.3300.630.630 Sep..7 9.53 500 6.350 7.940 6.550 6.550.8050 0.40 0.40 Oct. 6.0 0.99 400 6.4400 7.090 8.560 8.560 0.6500.0.0 Nov. 3.05 60.6 50 3.60 3.680 0.750 0.000 0.470.55 3.60 Dic. 30.50 88.38 50 7.650 9.470 5.550 5.550.8450 7.90 7.90 Dic. 33.8 0.00 50 8.450 0.030.500.500.5770 3.040 3.040 Total 550 90.7600 76.60 99.00 94.80 4.5000 8.48 3.40 998 Eeo 33.54 33.55 50 8.3850 0.793 0.000 0.000 7.590 8.380 8.380 Febeo 5.85 4.9 50 3.960 0.000 0.000 0.000 3.960 3.960 3.960 Mazo 30.5 8.54 50 7.560 0.400 0.400 0.400.8370.830.830 Abil 33.60 0.00 50 8.4000 9.050 0.00 0.00 0.6500.700.700 Abil 4.09 9.86 50 6.00 0.000 0.000 0.000 6.00 6.00 6.00 Mayo 4.5.97 50 6.75.54 4.05 4.05 3.9730.00.00 Juio 0.4 40.5 50.5600 0.000 0.000 0.000.5600.560.560 Julio 4.85 0.00 50 6.5 9.05.90.90.80 5.70 5.70 Julio 3.76 5.9 50 5.9400 6.80 0.000 8.050 0.8800 5.940.0 Agosto 9.67 3.50 50 4.975 0.000 0.000 0.000 4.970 4.90 4.90 Sep..43 64.00 50 3.075 0.394 0.000 0.000 3.500 3.00 3.00 Oct. 0.00 0.00 000 0.0000 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.000 0.000 Nov. 0.00 0.00 000 0.0000 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.000 0.000 Dic. 0.00 0.00 000 0.0000 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.000 0.000 Total 750 63.950 37.840 36.450 44.500 5.3500 6.750 8.690 999 Eeo 4.38 9.76 50 6.0950.990.380.380 5.8950 5.80 5.80 Febeo 36.63 6.30 50 9.575 9.900 5.00 9.880 0.740 3.950 0.70 Mazo 46.6 30.36 50.6550 8.50 9.30 7.680 3.450.40 3.970 Abil 33.84 33.8 50 8.4600 3.00 0.000.780 4.5600.540 4.30 Mayo 35.34 44.0 50 8.8350 0.000.00.00.650 3.360 3.360 Juio 0.0 46.4 50 5.005.540 7.750 7.750 6.5375.740.740 Julio 50.89 53.5 50.70.0 5.900 8.350.600 3.77 4.370 Agosto 3.5 38.4 50 7.85 6.300 0.830 0.83.5 3.00 3.0 Sept. 36.93 8.3 50 9.35 4.60 8.95 7.43 5.07 0.307.80 03
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda Oct. 6.36 6.80 50 6.5900 0.000 0.000 0.00 6.590 6.590 6.59 Nov. 9.59 3.5 50 7.3975.000.000.00 3.600 3.600 3.60 Dic. 3.44.60 50 5.8600 0.688 5.300 7.00 5.7 0.560.4 Total 3000 98.800 08.00 7.70 6.0 9.408 8.890 7.46 000 Eeo 36.56 8.33 50 9.400 7.59 0.000 0.00.6 9.40 9.4 Febeo 30. 9.7 50 7.5550.900.900.90 4.345 4.340 4.34 Mazo 33.37 3.73 50 8.345 7.80 6.680 6.8.6.66.06 Abil 35.3.9 50 8.8300 0.000 0.000 0.00 8.830 8.830 8.83 Mayo 34.34 40.03 50 8.5850 0.900 0.000 0.00 7.685 8.580 8.58 Juio 35.70 47.30 50 8.950 0.000 0.000 0.00 8.95 8.90 8.9 Julio 59.90 70.9 50 4.9750 69.550 69.550 69.55 54.570 54.570 54.57 Agosto 35.78 4.76 50 8.9450 9.0 7.680 7.68 0.066.60.6 Sept. 3.60 7.83 50 7.9000 0.000 0.000 0.00 7.900 7.900 7.90 Oct. 5.68 4.95 50 6.400 0.000 0.000 0.00 6.40 6.40 6.4 Nov. 3.40 5.3 50 8.000 5.430 5.430 5.43 7.330 7.330 7.33 Dic. 34.70 30.34 50 8.6750 6.080 9.880 9.88.595.00.0 Total 3000 06.3900 7.500.0 0.7.70 4.70 4.3 00 Eeo.56 35.66 50 5.3900 3.590 0.000 0.00.800 5.390 5.39 Febeo 43.8 60.54 50 0.9550 3.680 4.050 4.05.75 3.090 3.09 Mazo 39.0 7.5 50 9.7550 7.870 7.630 7.95.885.5.80 Abil 48.4 44.08 50.0350 9.530 9.530.80 7.495 7.495 0.3 Mayo 47.80 54.7 50.9500 8.90 4.330 4.33 3.030 30.380 30.38 Juio 7.36 34.45 50 6.8400 4.400 0.000 0.00.440 6.840 6.84 Total 500 56.950 57.990 83.540 76.3.065 6.60 9.0 Total geeal 6330 430.0700 4.00 48.00 47.53 7.846 5.80 4.45 pesos subastados ese mes. E la quita columa, C, se muesta el moto mesual o pima, e milloes de pesos, que ecibió Baxico como poducto de la subasta. E la sexta columa se peseta las gaacias obteidas po las istitucioes fiacieas, G, y e la séptima y octava columa se muesta las gaacias que se hubiea obteido si se hubiea ejecido co el algoitmo diámico, G, o co la egla heuística, G3, espectivamete. Estas dos catidades se calcula mesualmete de la siguiete foma: se detemia el día óptimo del mes segú la egla que coespoda; se calcula la gaacia total multiplicado la gaacia obteida po dóla ese día po el moto total de dólaes que se asigao e la subasta mesual. Po último, e la ovea, décima y oceava columa se peseta las gaacias etas, es deci, las gaacias totales meos el pago de la pima que obtuvieo las istitucioes fiacieas, G-C, y las que hubiea obteido co el algoitmo diámico, G-C y co el algoitmo heuístico, G3-C. Cuado apaece u 0 e la columa G idica que duate ese mes o se pudo ejece la opció; si apaece 0 e la columa de G o 04
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico G3 implica que el citeio paa ejece la opció del algoitmo diámico o heuístico o se cumplió a lo lago del mes, espectivamete. Este cuado muesta que el valo obsevado de la opció, poducto de la subasta, está e pomedio po debajo del valo estimado. Cabe señala que es difícil compaa estas cifas poque el pecio eal que pagao las istitucioes fiacieas se fijó a tavés de ua subasta y depedió de muchos factoes, ete los que destaca la volatilidad del mecado y el compotamieto de la opció e el mes ateio. Po ejemplo, duate el mes de agosto de 998 o se cumplió la esticció del pomedio e todo el mes po lo que los compadoes de la opció o estuvieo dispuestos a paga mucho po la opció de septiembe, a pesa de que la volatilidad históica el día de la subasta ea supeio al 0 po cieto aual. Po oto lado, el valo estimado siempe se calculó co la volatilidad históica y su valo se icemeta a medida que cece ésta. Po ello, e alguos meses e los que la volatilidad es supeio al 0 po cieto aual, la difeecia ete el valo eal de la subasta y el estimado es cosideable, como po ejemplo, e la pimea quicea del mes de diciembe de 997, e septiembe de 998, e febeo de 999 o e agosto de 000. Si embago, a pesa de estas cosideacioes, se puede coclui que las istitucioes fiacieas pagao e pomedio u valo meo que el obteido teóicamete. El aálisis ateio detemia que la gaacia eta de las istitucioes fiacieas fue de 7.85 milloes de pesos. Esto quiee deci que e pomedio las istitucioes fiacieas o ejecieo la opció cuado más les coveía. De hecho, ceca del 30 po cieto del moto total ejecido, se ejeció el pime día que se cumplió la esticció del pomedio y que la gaacia ea positiva. Icluso, alguas istitucioes lo hicieo el pime día e que se pudo ejece la opció auque la gaacia fuea egativa. Lo ateio puede se esultado de supoe e este tabajo que el tipo de cambio, al cual las istitucioes adquiieo los dólaes del mecado, es el tipo de cambio fix. Este supuesto cietamete o es válido, dado que cada ua de las istitucioes de cédito compa y vede dólaes a distitos tipos de cambio duate el día y co distitos difeeciales ete compa y veta. Si embago, po caece de esta ifomació, sólo cosideamos u mecado al fix. Po oto lado, la efectividad de los algoitmos diámico y heuístico se muesta al obseva e el último egló que si las istitucioes fiacieas hubiea ejecido co estos algoitmos había obteido 05
Begoña Feádez, Mauel Galá y Paticia Saaveda casi 5 milloes de pesos o ceca de 4 milloes de gaacia eta, espectivamete. A cotiuació se muesta u esume del compotamieto de los algoitmos diámico y heuístico al se aplicados a la opció Baxico duate su peíodo de opeació. Cuado 3 No. de subastas ealizadas 6 No. de subastas co ejecicio 5 No. de subastas co ejecicio co el algoitmo diámico 38 No. de subastas co ejecicio co el algoitmo heuístico 40 Moto total ofecido 6,630 mdd Moto ejecido la pimea vez 3 % Moto ejecido e el óptimo del algoitmo diámico 3.8 % Moto ejecido e el óptimo co algoitmo heuístico 3.4 % Moto total de pimas ecibidas 430 mdp Beeficio obsevado 4. mdp Beeficio potecial e el óptimo algoitmo diámico 48.5 mdp Beeficio potecial e el óptimo algoitmo heuístico 47.53 mdp Beeficio eto obsevado 7.84 mdp Beeficio eto e el óptimo algoitmo diámico 5.8 mdp Beeficio eto e el óptimo algoitmo heuístico 4.45 mdp IV. Coclusioes Este tabajo tiee como objetivo picipal peseta ua egla de ejecicio paa estima el valo y la fecha de ejecicio óptima de la opció Baxico. Cabe ecoda que este istumeto fiacieo es ua opció exótica, depede de la tayectoia que sigue el subyacete, que tiee ua vigecia de 8 a 3 días hábiles y que puede ejecese e cualquiea de estos días, siempe y cuado se cumpla ua esticció que depede de u pomedio móvil. Además, su pecio de ejecicio o es fijo sio estocástico; esta difeecia itoduce ua diámica muy paticula a la opció que complica su valuació. La opció, que fue diseñada e México, se utilizó de agosto de 996 a juio de 00 e icidió de maea impotate e el icemeto de las esevas iteacioales del Baco de México, epesetado e su mometo u istumeto de política cambiaia del Gobieo Fedeal. La egla de ejecicio y el algoitmo diámico que se popoe e este atículo os pemite estima el valo y el día óptimo de ejecicio 06
Dos estategias gaadoas paa la opció Baxico de la opció Baxico. Los esultados uméicos pesetados valida el algoitmo diámico y muesta su desempeño al compaalos co otas eglas de ejecicio. Los esultados os pemite afima que el algoitmo diámico es u bue algoitmo paa detemia el tiempo de ejecicio de la opció Baxico. A maea de esume podemos deci que el cálculo y la simulació popuesta e este atículo os lleva a las siguietes coclusioes:. Bajo la hipótesis que el tipo de cambio fix tiee ua distibució log-omal los esultados sugiee que la opció Baxico fue compada, e pomedio, po debajo de su valo.. Bajo la hipótesis de existi u úico mecado al tipo de cambio fix, las istitucioes fiacieas o ejecieo, e pomedio, el día que mejo les coveía, pudiedo co ello geea mayoes utilidades. 3. La opció Baxico cumplió pefectamete co su cometido de auxilia al Baco de México a icemeta sus esevas iteacioales. 4. La egla de ejecicio heuística es muy secilla de aplica y tiee u excelete compotamieto. 5. El tiempo de ejecicio τ popuesto pemite estima ifeiomete el valo de la opció e cada tiempo po medio del Mote-Calo que es u pocedimieto flexible y secillo de aplica. 6. El algoitmo diámico que popoemos o sólo os pemite estima ifeiomete el valo de la opció, sio que os da u citeio de ejecicio que, segú sugiee el aálisis del compotamieto de la opció, es mejo que el citeio heuístico y las eglas que siguieo las istitucioes fiacieas. Refeecias bibliogáficas Feádez, B. ad P. Saaveda (003), Valuatio ad Optimal Execise Time fo the Baxico Put Optio, aceptado paa su publicació e el Iteatioal Joual of Theoetical ad Applied Fiace. Galá, M., J. Duclaud Gozález y Castilla, A. Gacía Tamés (996), Ua estategia de esevas mediate opcioes de veta de dólaes. Deivados Fiacieos. Teoía y Páctica, Opeadoa de Bolsa Sefi, pp. 34-50. 07
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