Números reales y complejos

È ÌÍÄÇ 1 Números reales y complejos No sorprende que un primer capítulo de un libro de Cálculo estudie los números reales, sin embargo, muchos estudiantes creen no tener que profundizar en dichos números por saberlos conocidos. Veamos a continuación un par de resultados curiosos. Se cumple, 0 = (1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+(1 1)+ y por cumplir la propiedad asociativa las operaciones suma y resta, podemos escribir: Luego 0 = 1! 0 = 1+( 1+1)+( 1+1)+( 1+ 1)+( 1+1)+( 1+1)+ = 1+0+0+0+0+0+0+0+ Supongamos ahora a y b números reales tales que a > b y sea c su diferencia, de forma que a = b + c. Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por a b obtenemos: a(a b) = (b+c)(a b) de donde se deduce a 2 ab ac = ab b 2 bc a(a b c)= b(a b c) y simplificando, se obtiene a = b! Existen varias formas de introducir el cuerpo de los números reales, entre las que se encuentran el método de las cortaduras de Dedekind y el método de Cantor, que utiliza el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales. Los dos son métodos constructivos y prueban la unicidad del cuerpo de los números reales construido. Sin embargo, el estudio que se adopta en este libro no es constructivo. Introducimos el cuerpo de los números reales axiomáticamente.

2 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Resaltamos el axioma del supremo como el resultado más importante del análisis real, pues de él se deducen las propiedades de ser cuerpo ordenado arquimedianamente y la densidad de Q en R. 1.1. Números naturales, enteros y racionales Los conjuntos numéricos básicos para una buena comprensión de este texto, y en general de las Matemáticas, son los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), reales (R) y finalmente los números complejos (C). Tal como los hemos mencionado, cada uno de estos conjuntos contiene al anterior, es decir, N Z Q R C Designamos con la letra N al conjunto de los números naturales. N = {1,2,3,...} Este conjunto tiene una cantidad infinita de elementos y es el conjunto de números que nos permite contar y enumerar las cosas. De él se deriva el importante concepto de numerabilidad. Una de las características básicas de los números naturales es el principio de inducción, método que permite demostrar una determinada propiedad que hace referencia a los números naturales. Para demostrar que una proposición P(n) es cierta para cualquier número natural ( n N), el principio de inducción afirma que: 1. Si P(1) es cierto; 2. Si para n = k, P(k) es cierto (hipótesis de inducción), entonces P(k + 1) es cierto, entonces P(n) es cierta n N. ÑÔÐÓ ½º½ Demostrar que Demostración 1+2+ + n = n(n+1) 2 n N, n 1 1. Si n = 1, se cumple 1 = 1(1+1) = 1 2 2. Supongamos que se cumple para k = n 1 1+2+ +(n 1) = (hipótesis de inducción) y queremos demostrar que (n 1)n 2 1+2+ + n = n(n+1) 2

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 3 1+2+ + n = 1+2+ +(n 1)+n= = (n 1)n+2n 2 = n2 n+2n 2 = n2 + n 2 (n 1)n + n = 2 = n(n+1) 2 Algunos autores consideran N = {0,1,2,3,...} y expresan N = {1,2,3,...}, notación habitual cuando se excluye el cero de un conjunto. Podemos observar que el conjunto de números naturales no tiene estructura de grupo con las operaciones habituales de suma y producto, ya que no existe el opuesto por la suma o por el producto de un número natural. Al final del estudio de los conjuntos numéricos, encontraremos un conjunto que, además de tener estructura de grupo, anillo o cuerpo con ciertas operaciones, nos asegure la existencia de soluciones de una ecuación polinómica cualquiera con coeficientes en dicho conjunto. Lo que se llama ser un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, que todo polinomio a coeficientes en ese cuerpo, tenga todas sus soluciones en ese mismo cuerpo. Esta situación se dará en el conjunto de los números complejos, pero vayamos paso a paso. En el conjunto de los números naturales ni siquiera podemos resolver una ecuación tan sencilla como x+4 = 0 ya que su solución x = 4 no pertenece a N. Ampliemos pues este conjunto de números incluyendo también los negativos, es decir, para cada número natural añadimos su inverso por la suma. Tenemos el conjunto de los números enteros. Denotaremos mediante la letra Z al conjunto de números enteros, es decir, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Si nos fijamos, este conjunto ya contiene elemento inverso con la operación suma. También verifica la propiedad asociativa e incluso la conmutativa. Dispone también de un elemento neutro como es el cero, para esta operación. En definitiva, (Z, +) es un grupo abeliano o conmutativo. Este grupo toma especial importancia en toda la teoría de grupos y anillos, así como en la teoría de Galois, pero no es algo que se deba ver aquí. Pese a lo que se consigue con este nuevo grupo, todavía no tenemos suficiente ya que, qué pasa si queremos resolver la ecuación siguiente? 3x+2 = 0 Los coeficientes de la ecuación son números enteros, pero en cambio, su solución es x = 2/3 que no es un elemento entero. Entonces, todavía no tenemos suficiente con los números enteros, debemos incluir también, de algún modo, todo tipo de fracciones posibles. Definimos a continuación el conjunto de los números racionales, que se denotará por Q y que incluye a todos los elementos de la forma siguiente: { m Q =, donde m Z, n N } n Fijémonos que consideramos que el término del numerador aporta el signo; por ello le permitimos ser de Z y en cambio el denominador lo fijamos como positivo (esto podría ser al revés o

4 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä incluso permitiendo que ambos términos fuesen de Z) pero eso sí, no podemos permitir que el denominador se anule, ya que el conjunto no estaría bien definido en ese caso. Además tenemos muchos números repetidos por lo que tenemos que identificar todos aquellos que sean el mismo como un solo número. ÈÖÓÔ Ö Ø Ö Þ Ò Q p Q m,n Z con m.c.d(m,n) = 1 y p = m n El conjunto de números racionales puede parecer mucho mayor que el de números naturales pero no deja de ser equipotente con éste, es decir, de tener un número infinito de elementos del mismo orden: numerable. En el capítulo siguiente, en el ejemplo 2.21 veremos una demostración de que esto es así. En el conjunto de los números racionales ya tenemos soluciones para todo tipo de ecuaciones lineales o de grado uno, sí. Pero, tenemos también todas las soluciones de las ecuaciones de grado superior? La respuesta es negativa. Si queremos resolver, por ejemplo, la ecuación x 2 2 = 0 tenemos que su solución es x = ± 2, que no es un número que se pueda expresar como una fracción de números enteros de forma exacta. Veamos que efectivamente, no es un número racional. ÑÔÐÓ ½º¾ Demostraremos que 2 / Q. Demostración Procederemos por reducción al absurdo. Si 2 Q entonces 2 = p q Pero entonces tenemos 2 = p2 q 2 2q2 = p 2 p 2 es par De modo que entonces p también será par y podremos escribirlo como p = 2r para algún r Z, pero 2q 2 = 4r 2 q 2 = 2r 2 q 2 será par, con lo que q también será par, pero entonces el cociente entre p y q no sería irreductible al tener ambos, denominador y numerador, múltiplos de 2. Se definen a continuación los números reales, conjunto que incluye todos los números que no se puedan escribir como fracción de dos enteros. Este conjunto numérico merece una sección propia. 1.2. Números reales Una de las motivaciones por las cuales se definen los números reales es hallar un conjunto numérico para el cual todo polinomio a coeficientes en ese conjunto tenga todas sus raíces también

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 5 en ese conjunto. Si consideramos que ya se encontrarán en ellos todos los anteriores y además también incluimos elementos como las raíces n-ésimas de números que no tengan esa raíz como elemento racional, parece que el conjunto quede cerrado. Al final veremos que todavía no es así pero este conjunto numérico será el más habitual en el que se trabaje y es de una relevancia indiscutible. Definimos el conjunto de los números reales de forma axiomática ya que básicamente interesan las propiedades de los números reales y no los métodos utilizados para construirlos. Suponemos que existe un conjunto no vacío R de elementos, llamados números reales, que cumplen los axiomas que enunciamos a continuación. Estos axiomas se clasifican en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del supremo. Ò Ò Ù ÖÔÓ ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ Dado un conjunto no vacío R y dos operaciones (aquí las denotamos mediante los signos + y ), y sean x,y,z tres números reales arbitrarios. A la terna (R,+, ) la llamaremos cuerpo conmutativo si cumple los axiomas siguientes: 1. asociativa con ambas operaciones: x+(y+z) = (x+y)+z x (y z) = (x y) z 2. conmutativa con ambas operaciones: x+y = y+x x y = y x 3. elemento neutro distinto para ambas operaciones: 4. elemento opuesto con ambas operaciones: 0 R : 0+x = x 1 0,1 R : 1 x = x x R x R : x+( x) = 0 x R x R, x 0, x 1 R : x x 1 = 1 5. distributiva: x (y+z) = x y+x z En un curso de álgebra se define grupo y anillo para acabar dando la definición de cuerpo y finalmente la de cuerpo conmutativo [B93]. De las propiedades de cuerpo conmutativo se deducen algunos teoremas de gran importancia, por ejemplo: ÈÖÓÔ Ä Ý ÑÔÐ Ò Ð ÙÑ Si a,b,c son números reales, se cumple [a+b = a+c] [b = c]

6 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÈÖÓÔ ÈÓ Ð Ù ØÖ Ò Dados a,b R!x : a+x = b. En esta situación, x se escribe como b a. Ò Ò Ü ÓÑ ÓÖ Ò Existe una relación que establece una ordenación entre los números reales y cumple los axiomas siguientes: 1. Propiedad reflexiva 2. Propiedad antisimética x x x R 3. Propiedad transitiva Si x y e y x entonces x = y x,y R Si x y e y z entonces x z x,y,z R Por lo tanto es una relación de orden. Además este orden es total y compatible con la estructura algebraica de R. 4. Relación de orden total x y o y x, x,y R 5. El orden es compatible con la suma. Si x y entonces x+z y+z, x,y,z R 6. El orden es compatible con el producto. Si x y entonces x z y z x,y,z R z 0 y z x z z < 0 Esto completa la definición de R como un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Observemos que si x e y son números reales, x < y indica que x y y x y. También se escribe x y para indicar y x. Los números reales x tales que x > 0 se denominan números positivos y se denotan por el símbolo R +. Se cumple la propiedad siguiente. ÈÖÓÔ 1. Si x,y R + x+y,x y R +. 2. x R, x 0 tenemos que x R + o x R +, pero no los dos a la vez. 3. 0 R +.

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 7 Los números reales representan puntos de una recta. La elección del 0 y el 1 (elementos neutros de las operaciones que dan estructura de cuerpo al conjunto de los números reales) determinan unívocamente una escala tal y como se observa en la Figura 1.1. ÙÖ ½º½º Æ ÙØÖÓ ÙÑ Ý ÔÖÓ ÙØÓºº A partir de ahí todos los números serán escritos a una escala proporcional, es decir, la separación que habrá en la recta real entre los números 8 y 0 será ocho veces la que haya entre los números uno y cero. Además, cada x R corresponde a un único punto de la recta. Y si x < y entonces el número real x vendrá representado en la recta a la izquierda del número real y, como ilustra la Figura 1.2. Si a,b son números reales tales que a < b, entonces un punto x satisface las desigualdades a < x < b si, y solo si x está entre a y b. Al conjunto de todos los puntos comprendidos entre a y b se denomina intervalo. Resultarán conjuntos de fundamental importancia en el Cálculo y en el Análisis matemático en general. Como ejemplo particular veremos su importancia en la definición del concepto de la integral de Riemann. Dependiendo de si los intervalos incluyen o no a sus extremos aparecen las definiciones que enunciamos a continuación.

8 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º¾º ÇÖ Ò Ò Rº Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ Si a y b son números reales tales que a < b, definimos el intervalo abierto (a,b) como sigue: (a,b) = {x R : a < x < b} Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó Si a y b son números reales tales que a < b, definimos el intervalo cerrado [a, b] como sigue: [a,b] = {x R : a x b} Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÖØÓ Si a y b son números reales tales que a < b, definimos los intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) como sigue: (a,b] = {x R : a < x b} [a,b) = {x R : a x < b}

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 9 Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ò ØÓ Si a R definimos los intervalos infinitos (,a] = {x R : x a} (a,+ ) = {x R : x > a} entendiendo que los símbolos + y se definen más adelante y de momento son números reales no finitos que cumplen, dado a R, si a > 0 si a < 0 a 0 = + a 0 = Se cumple R = (,+ ) y definimos la extensión del cuerpo de los números reales como: R = R {+, } Hemos comentado que los números reales son aquellos que cumplen los axiomas de cuerpo conmutativo totalmente ordenado y el axioma del supremo. Para entender el enunciado de este último axioma, debemos dar unas definiciones previas. Ò Ò ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ Sean A R, α y β números reales. Entonces 1. α es una cota superior de A x A, x α 2. β es una cota inferior de A x A, β x Naturalmente estas cotas no tienen por qué existir, o bien puede existir una de ellas y no la otra. En caso de existir diremos que el conjunto está acotado, otra definición fundamental en la teoría de conjuntos reales. Ò Ò ÓÒ ÙÒØÓ ÓØ Ó Sea A R. Diremos que el conjunto A está acotado si tiene cota superior y cota inferior. Observemos que el conjunto A = R + no está acotado por no estar acotado superiormente.

10 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Ò Ò Å Ü ÑÓ Sea A R, entonces se denomina máximo del conjunto A a un número real M tal que M A x A x M En caso de existir escribiremos M = máx(a). Ò Ò Å Ò ÑÓ Sea A R, entonces se denomina mínimo del conjunto A a un número real m tal que m A x A x m En caso de existir escribiremos m = mín(a). Estamos ya en condiciones de definir el supremo de un conjunto, concepto que existirá en conjuntos de números reales acotados superiormente. Ò Ò ËÙÔÖ ÑÓ Sea A un conjunto de números reales acotado superiormente. Si existe el mínimo del conjunto de las cotas superiores recibe el nombre de supremo de A. En caso de existir lo notaremos sup(a). De manera análoga se define el ínfimo de un conjunto. Ò Ò Ò ÑÓ Sea A un conjunto de números reales acotado inferiormente. Si existe el máximo del conjunto de las cotas inferiores recibe el nombre de ínfimo de A. En caso de existir lo notaremos ínf(a). En el caso en que estos supremos e ínfimos se alcancen en el mismo conjunto A, entonces reciben el nombre de máximo y mínimo respectivamente, pero no tienen porqué existir en general. Notemos que tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto acotado existen siempre. ÑÔÐÓ ½º El conjunto A = {x R : 0 x 1} está acotado superiormente. Ejemplos de cotas superiores son los números = 1, 2, 3,... Este conjunto tiene máximo, máxa = 1 Sin embargo, el conjunto B = {x R : 0 x < 1}, igualmente acotado superiormente, no tiene máximo. El conjunto B sí tiene supremo, supb = 1

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 11 Ò Ò Ü ÓÑ Ð ÙÔÖ ÑÓ Ó ÓÑÔÐ Ø ØÙ Todo conjunto no vacío A de números reales acotado superiormente tiene supremo, es decir, a R : a = supa El conjunto de los números racionales Q no cumple el axioma del supremo. Del axioma del supremo se deduce el teorema siguiente: Ì ÓÖ Ñ Todo conjunto no vacío de números reales A acotado inferiormente tiene un extremo inferior, es decir, L R : L = ínfa ÑÓ ØÖ Ò Sea A el conjunto de los números opuestos a los de A. El conjunto A /0 y está acotado superiormente, luego del axioma del supremo se deduce que existe a R tal que a = sup( A). Luego a = in f(a). Algunas de las propiedades fundamentales del supremo que se utilizan para demostrar propiedades y teoremas importantes del Análisis matemático son las siguientes: ÈÖÓÔ ÔÖÓÜ Ñ Ò Sea A un conjunto no vacío de números reales y b = sup(a). Entonces, a < b, x R tal que a < x b. ÑÓ ØÖ Ò Sabemos que x b, x R (ya que b es cota superior de A). Si x a entonces a sería una cota superior de A más pequeña que el supremo, y esto lleva a una contradicción. Luego a < x. ÈÖÓÔ Ø Ú Sean A,B R conjuntos no vacíos. Sea C = {x+y : x A, y B}. Si A y B tienen supremo, entonces C tiene supremo y se cumple sup(c) = sup(a)+sup(b) ÈÖÓÔ ÓÑÔ Ö Ò Sean A,B R conjuntos no vacíos tales que a b, a A, b B. Si el conjunto B tiene supremo, entonces A tiene supremo y se cumple sup(a) sup(b)

12 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Del axioma del supremo y de la propiedad de aproximación del supremo, se deduce el siguiente resultado. ÈÖÓÔ El conjunto Z + de los enteros positivos no está acotado superiormente. A continuación enunciamos la propiedad arquimediana de los números reales. Geométricamente equivale a decir que todo segmento lineal, por largo que sea, puede recubrirse por un número finito de segmentos lineales de longitud dada. ÈÖÓÔ ÖÕÙ Ñ Ò Si x > 0 y y R n Z + tal que nx > y. ÑÓ ØÖ Ò Demostrar que existe n Z + tal que nx > y equivale a demostrar que existe n Z + tal que n > y x. Si no fuera así y x seria una cota superior de Z+ y esto contradice el teorema anterior. A continuación se enuncia uno de los resultados más importantes que caracterizan el conjunto de los números reales. ÈÖÓÔÓ Ò Ö Ø Ö Þ Ò R Q es denso en R. Es decir, x,y R tales que x < y, entonces existen infinitos números racionales q tales que x < q < y. ÑÓ ØÖ Ò Se deduce de la propiedad arquimediana. El concepto de numerabilidad se define en el capítulo siguiente, sin embargo, continuando un comentario anterior, realizado en el estudio de los números racionales, afirmamos que el conjunto Q es numerable mientras que R no lo es. Adelantamos que un conjunto es numerable si es finito o bien permite establecer una biyección con N. Se puede ver la definición de numerabilidad en la Sección 4.2. A continuación definimos uno de los conceptos asociados a los números reales más interesantes: el valor absoluto de un número real, que inducirá las definiciones de norma y de distancia en R. Ò Ò Î ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Definimos el valor absoluto de un número real como { x si x 0 x = x si x < 0

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 13 ÈÖÓÔ Si x es un número real, se cumple x x x Observemos que x es la distancia de x a 0 tal como se visualiza en el gráfico de la Figura 1.3. ÙÖ ½º º Î ÐÓÖ ÓÐÙØÓº ÈÖÓÔ Si a R +, entonces x R se cumple: x a a x a x > a [x < a o bien x > a] Luego si un punto x R está a distancia menor o igual que a del origen, está situado en la recta real entre a y a. Si x > a el número real x está a distancia mayor que a del origen de coordenadas.

14 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÈÖÓÔ ÈÖÓÔ Ð ÙÒ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Para cualquier x, y R se cumplen las propiedades siguientes: 1. x = 0 x = 0 2. x = x 3. x y = y x 4. xy = x y 5. x y = x y si y 0 6. x+y x + y (desigualdad triangular) 7. x y x y 8. x y x y ÑÓ ØÖ Ò Algunas de estas propiedades son inmediatas aplicando la definición de valor absoluto. Demostramos a continuación las que podrían presentar mayor dificultad. 1. x x x y y y ( x + y ) x+y x + y x+y x + y { x y si x y 2. x y = y x si x y x = x y+y 1) x y + y x y x y y = y x+x 1) y x + x y x y x = x y ÑÔÐÓ ½º Escribir en forma de intervalo el conjunto de los números reales que cumplen: {x R : 3x+5 2} De las propiedades del valor absoluto, se deduce 3x+5 2 [3x+5 2 o 3x+5 2] por lo tanto, se debe cumplir una de las dos desigualdades. 3x+5 2 3x 3 x 1 3x+5 2 3x 7 x 7 3

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 15 por lo tanto, ( {x R : 3x+5 2} =, 7 ] [ 1,+ ) 3 Finalmente enunciamos y demostramos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que será el resultado más fundamental a nivel topológico y de conjuntos en el conjunto de los números reales. Servirá para demostrar la desigualdad triangular de distancias y otros resultados similares. ÈÖÓÔ Ù Ð Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Sean a 1,...,a n,b 1,...,b n R. Se cumple ( n ) 2 a k b k k=1 ( n a 2 k k=1 )( n b 2 k k=1 ) Hay igualdad si λ = b k a k k = 1,...,n. ÑÓ ØÖ Ò Para cualquier número real x se cumple: n k=1 (a k x+b k ) 2 = = n k=1 ( n a 2 k k=1 a 2 k x2 + 2 ) n k=1 x 2 + 2 a k b k x+ n k=1 ( n ) k b k k=1a b 2 k = x+ n k=1 b 2 k 0 Si n k=1 tenemos: a 2 k > 0, es decir, existe algún a k 0, tomamos x = como queríamos demostrar. n k=1 a k b k y substituyendo en la igualdad n a 2 k k=1 ) ( n ) 2 ( n )( n a k b k a 2 k b 2 k k=1 k=1 k=1 0 Si n a 2 k = 0, eso implica a k = 0 k=1 k = 1,...,n. En este caso, la igualdad es trivial. 1.3. Números complejos Considérese la ecuación x 2 + 1 = 0

16 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä aparentemente muy sencilla pero con soluciones x = ± 1 que no son números reales, al no pertenecer a este cuerpo las raíces de números negativos. Es por ello que para conseguir un cuerpo donde todos y cada uno de los polinomios a coeficientes reales (y de hecho también los polinomios a coeficientes complejos) tengan solución, debemos ampliar nuestro conjunto con todas las raíces de números reales negativos. A este conjunto se le conoce con el nombre de conjunto de números complejos y se denota mediante C. A principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y William Rowan Hamilton (1805-1865) independientemente y casi al mismo tiempo propusieron la idea de definir los números complejos como pares ordenados (a,b) de números reales que tienen unas ciertas propiedades. Esta idea es la que se presenta a continuación. Ò Ò Æ Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó Se define el conjunto C de los números complejos como el producto cartesiano C = R R = {(a,b) : a,b R} es decir, que un número complejo se identifica con un punto del plano. Si z = (a,b) es un número complejo, diremos que a es la parte real de z y se escribe Re(z) y que b es la parte imaginaria de z que escribiremosim(z). Diremos que z = (a,b) está expresado en forma cartesiana. El curso en la plataforma Moodle asociado a este texto, presenta ejercicios interactivos que ayudan a la comprensión de los conceptos matemáticos que se van introduciendo en el texto. La Figura 1.4 muestra uno de los ejemplos, en este caso asociado a la representación gráfica de los números complejos en el plano. Ò Ò ÇÔ Ö ÓÒ ÙÑ Ý ÔÖÓ ÙØÓ Si (a, b) y (c, d) son dos números complejos, definimos (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad+bc) Con estas operaciones, (C, +, ) es un cuerpo conmutativo. A diferencia de lo que ocurre con la definición de la operación suma, la definición del producto de números complejos no parece intuitiva. A continuación se define la expresión binómica de los números complejos y es un buen ejercicio razonar el porqué de la definición del producto de los números complejos. Ò Ò ÍÒ Ñ Ò Ö Se define i como el número complejo i = (0,1). Observamos que i 2 = (0,1) (0,1)=( 1,0). Como que los números complejos de la forma (a,0) tienen exactamente el mismo comportamiento respeto a la suma y multiplicación de números

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 17 ÙÖ ½º º Ð ÔÐ ÒÓ ÓÑÔÐ Óº complejos que los números reales respecto a sus operaciones de suma y producto, escribiremos (a, 0) simplemente como a. Por lo tanto, i 2 = 1 Observar que 1 = ±i, luego, el estudio con números complejos permite trabajar con raíces de números negativos, a diferencia de la situación en R. Fijémonos que podemos escribir (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0) (0,1) = a+bi Esta es una forma muy habitual de escribir los números complejos y se denomina forma binómica. Ò Ò Æ Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó ÓÔÙ ØÓ Si z = (a, b) diremos que el opuesto de z es el número complejo z = ( a, b)

18 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Ò Ò Æ Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó ÓÒ Ù Ó Si z = a + bi definimos su conjugado, que escribiremos z, como z = a bi La Figura 1.5 visualiza uno de los ejemplos interactivos en la plataforma Moodle que permite consolidar los conceptos de número complejo opuesto y conjugado. ÙÖ ½º º ÇÔÙ ØÓ Ý ÓÒ Ù Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Óº Ò Ò ÒÚ Ö Ó Si z = a+bi, con (a,b) (0,0), se define el número complejo inverso de z, que escribiremos z 1, como z 1 = 1 a+bi Para definir correctamente el número complejo debemos conocer su parte real y su parte imaginaria, 1 a+bi = 1 a+bi a bi a bi = a bi a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 19 Comprobar que ( a (a,b) a 2 + b 2, b a 2 + b 2 ) = (1,0) La Figura 1.6 muestra un ejemplo interactivo para consolidar el concepto de inverso de un número complejo. Este concepto, permite ampliar las operaciones entre complejos ya estudiadas y que se pueden practicar interactivamente tal como ilustra la Figura 1.7. ÙÖ ½º º ÁÒÚ Ö Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Óº Ò Ò Ñ ÙÐÓ Si z = a + bi es un número complejo, definimos su módulo, que escribiremos z, como z = a 2 + b 2 Observar que z es la distancia de z a (0,0). En general, la distancia entre dos números complejos z y w se define como z w.

20 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º º ÇÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó º ÈÖÓÔ Si z y w son números complejos, se cumple 1. z = z 2. z = z z es real 3. z+w = z+w 4. z = (z) 5. z w = z w 6. z 1 = (z) 1, si z 0 7. z 2 = z z 8. z w = z w 9. z+w z + w ÑÔÐÓ ½º Demostrar que si z,z C, se verifica que: z 2 + z 2 = 1 2 ( z+z 2 + z z 2 )

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 21 Aplicando la propiedad z 2 = zz, obtenemos: 1 2 ( z+z 2 + z z 2 ) = 1 2 ((z+z )(z+z )+(z z )(z z )) = 1 2 ((z+z )(z+z )+(z z )(z z )) = 1 2 (zz+zz + z z+z z + zz zz z z+z z ) = 1 2 (2zz+2z z ) = zz+z z = z 2 + z 2 Anteriormente hemos visto que los números reales representan los puntos de una recta mientras que los números complejos son los puntos del plano. La parte real se representa en el eje de abcisas o eje real, y los múltiplos de i como puntos del eje imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand. Si z = (a, b) y w = (c, d) son dos números complejos, determinan un paralelogramo, tal que dos de sus lados son los segmentos rectilíneos de (0,0) a z y de (0,0) a w. El vértice opuesto a (0,0) es el número complejo z + w. Luego la suma de números complejos se corresponde gráficamente con la suma de vectores. Observamos esta representación en la Figura 1.8. La interpretación geométrica del producto es más complicada y para ayudar a intuir la interpretación introducimos una nueva forma de representar los números complejos. El producto de números complejos no es ni el producto escalar de vectores ni el producto vectorial. Suponemos que z y w son dos números complejos diferentes de cero. Observamos que si z = 0 o bien w = 0 entonces z w = 0. Para cualquier z C, z 0 podemos escribir z = z z z donde z es un número real positivo y z es un número complejo de módulo 1, porque z z z = z z = 1 Pero, además, cualquier número complejo z = a + bi con z = 1 se puede escribir como z = (cosθ,senθ) = cosθ + isenθ por lo tanto, cualquier número complejo z 0 se puede escribir como z = r(cosθ + isenθ) con r > 0. Esta expresión se denomina forma trigonométrica de un número complejo. El número r es único (es z ) pero θ no es único; si una posibilidad es θ 0, que se denomina argumento y se escribe arg(z), entonces las otras son θ 0 + 2kπ siendo k Z.

22 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º º ËÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó º Con el módulo y el argumento se define otra forma de representar los números complejos, la forma polar. z = r θ Es interesante el ejemplo interactivo que muestra la Figura 1.9 pues en él podemos practicar las distintas expresiones de un mismo número complejo. La forma trigonométrica de los números complejos nos ayuda a dar la interpretación geométrica del producto. Si z y w son dos números complejos diferentes de cero tales que entonces, z = r(cosθ + isenθ) w = s(cosφ + isenφ) z w = rs(cosθ + isenθ)(cosφ + isenφ) = rs[(cosθ cosφ senθ senφ)+y(senθ cosφ + cosθ senφ)] = rs[cos(θ + φ)+isen(θ + φ)]

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 23 ÙÖ ½º º Ê ÔÖ ÒØ Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó º Por lo tanto, el número complejo z w es un número de módulo, el producto de los módulos de z y de w y de argumento, la suma de los argumentos de z y w. Obsérvese la interpretación geométrica en la Figura 1.10. ÈÖÓÔ ÈÖÓÔ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Si z y w son dos números complejos, entonces se cumple: 1. arg(zw) = arg(z) + arg(w) 2. arg(z 1 ) = arg(z), si z 0 ( z 3. arg = arg(z) arg(w), si w 0 w) por lo tanto, si z = r θ y w = s φ podemos escribir siendo θ y φ ángulos del intervalo [0, 2π). z w = ( z w ) θ+φ z w = r ( θ z ) = s φ w θ φ

24 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º½¼º ÈÖÓ ÙØÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó º Para el cálculo de potencias y raíces de números complejos conviene tener la expresión del número en forma trigonométrica o polar, por lo tanto es interesante dado un número complejo saber pasar de la forma binómica o cartesiana a la forma polar o trigonométrica y viceversa. En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar con ejercicios interactivos el cambio de expresión de los números complejos, de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. Ver Figuras 1.11 y 1.12. Dada la forma trigonométrica es sencillo encontrar la forma binómica o cartesiana de un número complejo z = r(cosθ + isenθ) = r cosθ + ir senθ = a+bi = (a,b) siendo a = r cosθ b = r senθ Supongamos ahora que tenemos un número complejo en forma binómica. Buscamos su módulo y calculamos el argumento. z = a+bi = z (cosθ + isenθ)

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 25 ÙÖ ½º½½º ÓÓÖ Ò ÔÓÐ Ö º por lo tanto, a = z cosθ b = z senθ Si a = 0 entonces θ = π 2 si b > 0 y θ = 3π 2 si b < 0. Si a 0 entonces b a = senθ ( ) b cosθ θ = arctan a Fijémonos que existen dos ángulos en [0,2π) con el mismo valor de la tangente. Para encontrar el valor correcto de θ debemos tener en cuenta los signos de a y de b. Si a y b tienen el mismo signo, la tangente es positiva y el ángulo θ se encuentra o bien en el primer cuadrante (si a > 0 y b > 0), o bien en el tercero (si a < 0 y b < 0). Las Figuras 1.13 y 1.14 muestran gráficamente estas observaciones. Si a y b tienen signos diferentes, la tangente es negativa y el ángulo θ se encuentra en el segundo cuadrante (a < 0 y b > 0) o en el cuarto (a > 0 y b < 0).

26 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º½¾º ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º ÑÔÐÓ ½º Expresar en forma polar el número complejo z = 1 i 3. En primer lugar debemos calcular el módulo y el argumento del número complejo z. z = (1) 2 +( 3) 2 = 1+3 = 4 = 2 Como a = 1 > 0 y b = 3 < 0 θ = arctan 3 1 = arctan( 3) y, por lo tanto, θ = 5π 3 z = 2 5π 3

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 27 ÙÖ ½º½ º ÐÙÐÓ Ð Ò ÙÐÓº Ò Ò ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÑÔÐ Si x R, se define la exponencial compleja como e ix = cosx+isenx Ò Ò ÓÖÑ ÜÔÓÒ Ò Ð Dado un número complejo z, se puede expresar en forma trigonométrica como z = z (cosθ + isenθ) De la definición de exponencial compleja se deduce z = z e iθ y a esta expresión se denomina forma exponencial de un número complejo. En el curso de Cálculo en la plataforma Moodle se puede practicar esta expresión de los números complejos de manera interactiva. Ver Figura 1.15.

28 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º½ º ÐÙÐÓ Ð Ò ÙÐÓº ÈÖÓÔ ÖÑÙÐ ÅÓ ÚÖ Sea z un número complejo, z 0 entonces, si n N se cumple, z = r(cosθ + isenθ) z n = z n (cosnθ + isennθ) expresión que se conoce como fórmula de De Moivre. ÑÓ ØÖ Ò Aplicamos el método de inducción para demostrar la fórmula de De Moivre. Si n = 1, expresando el número complejo en forma trigonométrica, tenemos z = z (cosθ + isenθ) Supongamos que la fórmula se cumple para un determinado valor n, veamos si se cumple para n+1. z n+1 = z n z = z n (cosnθ + isennθ) z (cosθ + isenθ) = z n+1 (cos(n+1)θ + isen(n+1)θ) de donde se deduce que la fórmula es cierta para cualquier valor n N.

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 29 ÙÖ ½º½ º Æ Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó Ò ÓÖÑ ÜÔÓÒ Ò Ðº Ò Ò Ê Þ Ò¹ Ñ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó Si z C y n N, se dice que el número complejo u es una raíz n-ésima de z si se cumple z = u n. ÈÖÓÔ ÐÙÐÓ Ö Ò¹ Ñ ÓÑÔÐ Todo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas complejas, que se calculan de la siguiente manera: Si z = z (cosθ + isenθ), entonces, los u k C tales que u n k = z son u k = ( z ) 1 n (cosθ k + isenθ k ) con θ k = θ + 2kπ n k = 0,1,...,n 1 Observamos que estos números complejos son todos diferentes, puesto que dos argumentos θ k cualesquiera con k = 0,1,...,n 1 difieren en menos de 2π.

30 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÑÓ ØÖ Ò Sea ω = x(cosφ + isen φ) donde s = ω. Un número complejo z = r(cosθ + isenθ) satisface que z n = ω si y solo si se verifica, donde r n (cosnθ + isennθ) = s(cosφ + isenφ) { r n = s cosnθ + isennθ = cosφ + isenφ De la primera ecuación r n = s obtenemos que el módulo será y de la segunda ecuación tendremos con lo cual, r = n s nθ = φ + 2πk θ = θ k = φ + 2πk n Recíprocamente, si consideramos r = n s y θ = θ k para algún k, tendremos que z = r(cosθ + isenθ) satisface la condición z n = ω. Ahora nos falta determinar que el número de raíces n-ésimas de ω es exactamente n. Tendremos suficiente con ver cuáles de estos z son distintos y que en total hay n diferentes. Pero, θ k = φ + 2πk n ( ) = φ + 2(nq)π + 2k π = φ 2πk + 2qπ + n n n ( ) ya que para algún q Z entre 0 y n 1 y algún k Z podremos escribir k = nq+k (división euclidiana). Entonces, cosθ k + isenθ k = cosθ k + isenθ k Y esto quiere decir que todo z que satisface z n = ω se puede escribir como: para k = 0,,n 1. z k = n s(cosθ k + isenθ k ) ÑÔÐÓ ½º Resolver en el cuerpo C de los números complejos la ecuación z 3 i = 1 Este problema se puede reducir al cálculo de las raíces cúbicas de un número complejo. En efecto, de la ecuación dada se deduce que z = 3 1+i Expresamos el número 1+i en forma trigonométrica:

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 31 1+i = ( ( π ) ( π )) 2 cos + isen 4 4 Por lo tanto, las tres raíces que estamos buscando son los números complejos de módulo y argumentos: 3 2 6 = 2 ϕ 0 = ϕ 1 = ϕ 2 = π 4 + 0 (2π) = π π 4 12 4 + 1 (2π) = 3π π 4 4 4 + 2 (2π) = 17π 4 12 Estos tres puntos del plano que denominamos z 0, z 1 y z 2 están sobre una misma circunferencia centrada en el origen de coordenadas y de radio 6 2, tal y como se puede visualizar interactivamente en el ejercicio de la plataforma Moodle que muestra la Figura 1.16. La Figura 1.17 muestra un ejemplo interactivo para practicar con las raíces de números complejos. Observamos que existen polinomios con coeficientes reales que no tienen solución, por ejemplo x 2 + 1 = 0. El teorema fundamental del álgebra establece el hecho que la introducción del número complejo i proporciona soluciones a cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos. Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ð Ö Cualquier ecuación z n + a n 1 z n 1 +...+ a 0 = 0, a 0,a 1,...,a n 1 C tiene todas sus n soluciones (contadas con su multiplicidad) en el cuerpo de los complejos. Ejercicios resueltos Ö Ó Determinar el conjunto de los números reales que cumplen: {x R : x+1 + x+2 < 3}

32 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ÙÖ ½º½ º Ê Ò¹ Ñ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Óº ËÓÐÙ Ò En este ejercicio tenemos la suma de dos valores absolutos. Para poder trabajar más cómodamente, eliminaremos el valor absoluto de x + 1 aplicando la definición. Si x+1 0 x 1 x+1 + x+2 < 3 x+1+ x+2 < 3 x+2 < 2 x que equivale a x 2 < x+2 < 2 x Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resultados correspondientes. x+2 < 2 x 2x < 0 x < 0 x 2 < x+2 2 < 2 (cierto) Luego, {x R : x+2 < 2 x} = (,0) [ 1,+ ) = [ 1,0)

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 33 ÙÖ ½º½ º Ê ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Óº Si x+1 < 0 x < 1 x+1 + x+2 < 3 x 1+ x+2 < 3 x+2 < 4+x que equivale a 4 x < x+2 < 4+x Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resultados correspondientes. x+2 < 4+x 2 < 4 (cierto) 4 x < x+2 6 < 2x 3 < x Por lo tanto, {x R : x+2 < 3+x} = (, 1) ( 3,+ ) = ( 3, 1) Así pues, {x R : x+1 + x+2 < 2} [ 1,0) ( 3, 1) = ( 3,0)

34 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Ö Ó Determinar el conjunto de los números reales que cumplen: ËÓÐÙ Ò {x R : x 2 6 < x } En esta desigualdad aparecen dos valores absolutos. Eliminaremos el valor absoluto de x aplicando la definición. Si x 0 que equivale a x 2 6 < x x < x 2 6 < x luego, estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resultados correspondientes. Por lo tanto, Si x < 0 que equivale a x < x 2 6 x 2 + x 6 > 0 (, 3) (2,+ ) x 2 6 < x x 2 x 6 < 0 ( 2,3) {x R : x 2 2 < x} = ((, 3) (2,+ )) ( 2,3) = (2,3) x 2 6 < x x 2 6 < x x < x 2 6 < x Estudiamos las dos desigualdades separadamente y consideramos la intersección de los resultados correspondientes. Por lo tanto, x < x 2 6 x 2 x 6 > 0 (, 2) (3,+ ) x 2 6 < x x 2 + x 6 < 0 ( 3,2) {x R : x 2 2 < x} = ((, 2) (3,+ )) ( 3,2) = ( 3, 2) Así pues, {x R : x 2 2 < x } = ( 3, 2) (2,3) Ö Ó Calcular los valores z C tales que z, 3 y 2 z tengan el mismo módulo. z

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 35 ËÓÐÙ Ò Si z = x+yi tendremos: z = x 2 + y 2 3 z = 3 z = 3 x 2 + y 2 2 z = (2 x) yi = (2 x) 2 + y 2 Igualando las expresiones: x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 x2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 = (2 x) 2 + y 2 x 2 + y 2 = 4 4x+x 2 + y 2 4x = 4 x = 1 Debemos encontrar el valor de y que cumple { x = 1 x 2 + y 2 = 3 De donde se deduce 1+y 2 = 3 y 2 = 2 y = ± 2 por lo tanto, los números complejos que cumplen las condiciones son: z 1 = 1+ 2i z 2 = 1 2i Ö Ó Expresar en forma binómica la suma: S = 1+ 1 1+i + 1 (1+i) 2 + 1 (1+i) 3 + + 1 (1+i) 20

36 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä ËÓÐÙ Ò Esta suma corresponde a la suma de los veinte primeros términos de la progresión geométrica de 1 razón luego utilizaremos la fórmula 1+i siendo a 0 = 1, a n = 1 (1+i) 20 y r = 1 1+i S n = a 0 a n r 1 r Calculamos el módulo y el argumento del número 1 + i. 1+i = 1 2 + 1 2 = 2; θ = arctan 1 1 = π 4 Por lo tanto, aplicando la fórmula de De Moivre: (1+i) 20 = ( 2) 20 20 π 4 = ( 2) 20 5π Calculamos, pues, la expresión binómica de la suma. 1 1 1 1 1 (1+i) S 20 = 20 1 1+i (1+i) 1 1 = 21 (1+i) (1+i) = 20 i i 1+i 1+i = (1+i) ( 2 π ) 20 4 i i i = i(1+i)+i( 20 2 ) 5π 1 = (1 i)+i 2 20 (cos( 5π)+sen( 5π)i) = (1 i)+i( 2) 20 ( 1) = 1 (( 2) 20 + 1)i Ö Ó Consideramos la ecuación siguiente en el cuerpo C de los números complejos: z 3 +( 1 2i)z 2 +( 1+9i)z 2(1+5i)= 0 a) Demostrar que tiene una solución real y calcularla. b) Buscar las otras soluciones de la ecuación. c) Demostrar que el triángulo que determinan las tres soluciones de la ecuación es isósceles.

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 37 ËÓÐÙ Ò Se trata de resolver una ecuación de tercer grado en el cuerpo de los números complejos. Recordar que si un polinomio a coeficientes reales tiene una raíz compleja también es raíz su conjugada. En este caso esto no pasa porque el polinomio tiene coeficientes complejos. a) Suponemos z = r con r real. Tendremos: r 3 +( 1 2i)r 2 +( 1+9i)r 2(1+5i)= 0 que separando la parte real y la parte imaginaria será: (r 3 r 2 r 2)+( 2r 2 + 9r 10)i = 0 Por lo tanto, r deberá cumplir las ecuaciones: r 3 r 2 r 2 = 0 2r 2 + 9r 10 = 0 Resolviendo la segunda ecuación tenemos que r = 2 o bien r = 2,5. Pero r = 2,5 no cumple la primera ecuación, por lo tanto, la solución real de la ecuación es r = 2 b) Dividimos el polinomio por z 2. La ecuación que debemos resolver se transforma en: (z 2)(z 2 +(1 2i)z+(1+5i))= 0 es decir, z 2 +(1 2i)z+(1+5i)= 0 que es una ecuación de segundo grado. z = (1 2i) ± (1 2i) 2 4(1+5i) 2 = (1 2i) ±( 3+4i) 2 = (1 2i) ± 7 24i = 2 { 2+3i = 1 i (hemos calculado 7 24i resolviendo el sistema resultante de plantear la ecuación (a+bi) 2 = 7 24i, pero también se puede calcular pasando el número 7 24i a forma trigonométrica y calculando la raíz.) Así, pues, las tres soluciones de la ecuación son: z 1 = 2, z 2 = 2+3i y z 3 = 1 i. c) Comprobamos que la distancia de z 2 a z 1 es la misma que la de z 2 a z 3 teniendo en cuenta que la distancia se define como d(z 1,z 2 ) = z 1 z 2. d(z 2,z 1 ) = z 2 z 1 = ( 2+3i) 2 = 4+3i = ( 4) 2 + 3 2 = 5 d(z 2,z 3 ) = z 2 z 3 = ( 2+3i) (1 i) = 3+4i = = ( 3) 2 + 4 2 = 5

38 ýä ÍÄÇ ÇÆ ËÇÈÇÊÌ ÁÆÌ Ê ÌÁÎÇ Æ ÅÇÇ Ä Problemas propuestos ½º½ ½º¾ Definir conjunto ordenado. Dar un ejemplo. Expresar en forma de intervalos los siguientes conjuntos de números reales: a) {x R : 2 2x 6 } b) {x R : x+1 > x 2 } ½º Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales A = {x R : x+1 x 1 < 1} ½º Expresar en forma de intervalo el siguiente conjunto de números reales { x R : x 2 } + 6x 1 (x+3) 2 < 1 ½º ½º ½º Encontrar el lugar geométrico de los puntos z C tales que z+z < z. Determinar el lugar geométrico de los puntos del plano z C tales que la razón de distancias de z a los puntos 1 y 1 tiene valor constante 2. Encontrar para qué valores de n N, z = ( 3+i) n es un número real positivo. ½º Calcular ( 8) 1 3 en el conjunto de los números complejos C y expresar el resultado en forma binómica. ½º Sea z C el punto del plano z = 24+23i 10 5i + 1 5 i. Calcular z2/3. ½º½¼ Calcular en el cuerpo de los números complejos 6 2 i 6 ½º½½ Sean z 1 y z 2 las soluciones de la ecuación z 2 2z + 5 = 0 en el cuerpo de los números complejos. Calcular 3 z1 + z 2. ½º½¾ Demostrar que, si z 1 y z 2 son las soluciones complejas de la ecuación ax 2 + bx+c = 0 (b 2 < 4ac), entonces z 1 z 2 y z 2 z 1 son números complejos conjugados de módulo 1. Test de autoevaluación Creemos interesante para el lector de este texto realizar el test de autoevaluación que se encuentra en la página de Moodle asociada al curso. El estudiante puede visualizar la corrección del test y recomendamos que en caso de no obtener resultados satisfactorios se practique de nuevo con los ejercicios interactivos correspondientes a este capítulo. A continuación se muestra una de las preguntas del test.

È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ê Ä Ë ÇÅÈÄ ÂÇË 39