ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 6 Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas Contextualización Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman estrictamente valores enteros, por lo que generalmente se aplican en procesos probabilísticos de conteo. Por su parte, las variables aleatorias continuas no se restringen a valores enteros, sino que pueden asumir, además de éstos, valores decimales comprendidos entre valores enteros, es decir, pueden tomar cualquier valor de manera continua que se encuentre entre valores discretos. En términos matemáticos, los valores discretos se denominan numerables, mientras que a los valores continuos se les conoce como no numerables.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 2 Introducción al Tema En esta sesión se estudiarán distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas, específicamente la distribución normal, así como su aproximación a la distribución binomial, dando el conocimiento del uso de sus formulas y las diferencias que caracterizas a cada una de estas, sabiendo como y donde se pueden aplicar para tener un resultado mas preciso. Al conocer estos elementos también podrás apreciar la forma en que se grafican éstas y los atributos con los que cuenta cada una de estas representaciones, es importante tener nociones de bases matemáticas para determinar un conocimiento completo sobre la estadística y la forma en que se explotan los datos que encontramos presentes.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 3 Explicación Variables aleatorias continuas. Definición de variable aleatoria continua Sea ε un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. A la función (o relación) X, que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griega omega, en minúscula) que pertenece a Ώ, se le denomina variable aleatoria continua si X(ω) puede tomar valores continuos, es decir, valores decimales que se encuentran entre valores discretos o enteros a, b. En este sentido, el conjunto {a X b} es un suceso o evento de Ώ. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria se rige por una función f, 1 entonces la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre los números a y b se denota como P(a X b) y equivale al área bajo la curva de f entre x = a y x = b. Área que puede obtenerse mediante el cálculo de la siguiente integral: P(a X b)= Este concepto se explicará más adelante en esta misma sesión, sin embargo, cabe aclarar que no es necesario tener conocimientos de cálculo integral para su manejo pues existen tablas que permiten realizar cálculos de probabilidad sin tener que desarrollar una integral. Al igual que las variables aleatorias discretas, las continuas cumplen con dos características fundamentales: (x) 0 La probabilidad de ocurrencia de un evento en particular es mayor o igual que cero. x)dx=1 La suma de las probabilidades de ocurrencia de todos los posibles eventos del espacio muestral es igual a la unidad o al cien por ciento.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 4 Distribución normal de probabilidad Al estudiar alguna característica particular de diversos fenómenos naturales y sociales, se dice que asumen un comportamiento normal aquellos que concentran la mayoría de las observaciones cercanas a un valor promedio y la minoría en valores extremos. Por ejemplo: Al medir la estatura de un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tiene una estatura muy cercana a un cierto valor promedio. Al pesar a un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tienen un peso muy cercano a un cierto valor promedio. Si se mide el coeficiente intelectual de un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tienen un coeficiente muy cercano a un cierto valor promedio. La distribución normal tiene una representación gráfica en forma de campana, frecuentemente denominada campana de Gauss en honor al célebre matemático alemán Karl F. Gauss, quien realizó importantes aportaciones al estudio de la distribución normal. Esta representación gráfica se caracteriza por ser una curva simétrica respecto al eje y. En la gráfica se observa que los valores de una distribución normal tienden a acumularse en el centro y a disminuir en los extremos. La función de distribución de probabilidad normal está dada por:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 5 Definición de distribución normal Sea X una variable aleatoria. La expresión: Significa que X se distribuye como una normal, con parámetros μ (letra griega mu) y σ (letra griega sigma), donde: X=Variable aleatoria. μ=media poblacional. σ=desviación estándar poblacional. Una vez que se sabe que un fenómeno tiene una distribución normal y se conoce la media y la desviación estándar poblacionales, puede entonces calcularse la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos; por ejemplo, la probabilidad de que al seleccionar a una persona de un grupo de individuos de la misma edad: Su estatura sea menor que un valor dado. Su estatura sea mayor que un valor dado. Su estatura se encuentre entre dos valores determinados. Área bajo la curva de una distribución normal Como ya se mencionó, el cálculo de probabilidad de ocurrencia de eventos asociados a una variable aleatoria con distribución normal equivale a calcular el área bajo la curva normal delimitada por ciertos valores. Por ejemplo, la Secretaría de la Defensa Nacional lleva un registro de todos los jóvenes que prestan su servicio militar. Considerando que sus edades son muy similares, puede resultar de interés que al seleccionar a uno de ellos: Su estatura sea menor que un valor x1, lo que se denota como P( X x 1 ) Su estatura sea mayor que un valor x2, lo que se denota como P( X x 2 )

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 6 Su estatura se encuentre entre los valores x 1 y x 2, lo que se denota como P(x 1 X x 2 ). Esto significaría calcular el área bajo la curva mediante las siguientes integrales: Por la complejidad de estos cálculos, se ha optado por desarrollar tablas de distribución normal de las cuales podrían tomarse directamente los valores de estas integrales.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 7 Conclusión Con la representación grafica se puede conocer de una forma mas precisa el actuar de los elementos que se estudian, es decir, con las áreas sombreadas dentro de una grafica se puede conocer lo que abarca o lo que no, dando la oportunidad de conocer los elementos que se buscan o a los que se desea dar una presencia mas amplia. Para lograr graficar se tiene que conocer la forma de resolver integrales y los elementos que pueden determinarse con estas operaciones. Se requiere del conocimiento de la prioridad de elementos para que los resultados no se alteren, es decir, saber si primero se multiplica, se suma, se resta o multiplica, y tener los conocimientos necesarios en los despejes de ecuaciones para facilitar la resolución y graficación de los mismos.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Normalización y cálculo de probabilidad Para calcular probabilidades de ocurrencia de eventos asociados a una distribución normal es importante considerar dos propiedades fundamentales: El área total bajo la curva normal es igual a uno. La curva es simétrica respecto a la media, por lo que el área de cada mitad corresponde al cincuenta por ciento. Para realizar el cálculo de probabilidades con una distribución normal es necesario trasladar los datos originales del fenómeno objeto de estudio a una escala común o estándar. Una variable aleatoria estandarizada se denota con la literal z y se obtiene mediante la siguiente operación de estandarización o normalización: Donde: z = Variable aleatoria estandarizada. x = Valor de la variable aleatoria a estandarizar. μ = Media poblacional. σ = Desviación estándar poblacional. El valor de z obtenido en el paso anterior se distribuye como una normal con media μ=0 y σ=1, es decir, X =N(0,1), con lo que ya es posible utilizar las tablas de distribución normal para calcular la probabilidad de ocurrencia de eventos que pueden manifestarse de la siguiente forma:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 9 Que corresponden siguientes expresiones: Probabilidad de que un valor a sea menor o igual que le valor z. Donde a, z, z 1 y z 2 son variables estandarizadas. Asimismo, por simetría, se tienen las siguientes equivalencias:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 10 Que corresponden a las siguientes expresiones: Donde a, z, z 1 y z 2 son variables estandarizadas. Ejemplos El coeficiente intelectual (IQ) es un valor obtenido a partir de una prueba que mide las habilidades cognitivas o inteligencia de una persona en relación a su grupo de edad, el cual se expresa en una escala estándar para que el valor promedio de un grupo sea igual a 100. Esto significa que una persona con un IQ de 115 puntos está por encima del promedio de las personas de su edad, mientras que otra con un IQ de 65 está por debajo del promedio. Dado que el IQ se distribuye como una normal, pueden calcularse algunas probabilidades de interés. Supóngase que X es una variable aleatoria asociada al iq de alumnos de una universidad. Si X se distribuye como una normal con media μ=100 y desviación estándar σ= 16, es decir, XN(100,16),, calcular mediante tablas de distribución normal las siguientes probabilidades: 1. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayor a 80 puntos, es decir, P(80 x).

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 11 2. Probabilidad de que el iq de un alumno sea mayor a 105 puntos, es decir, P(105 x). 3. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menor que 80 puntos, es decir, P(x 80). 4. Probabilidad de que el iq de un alumno sea menor que 105 puntos, es decir, P(x 105). Soluciones 1. De acuerdo a los datos del problema, se tiene que μ=100, σ=16 y x=80. Entonces se procede a normalizar el valor de x: Este valor transforma la expresión P(80 x) a su equivalente normalizada P(z a),en donde z= 1.25.Esto significa que se debe calcular P( 1.25 a). Entonces:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 12 2. Normalizando los datos tenemos que: Que puede redondearse a 0.31. Este valor transforma la expresión P (105 x) a su equivalente normalizada: P(z r, se debe calcular P(0.31 a). Entonces, P(0.31 a)=0.5 P(0 a 0.31). Utilizando las tablas de distribución normal se obtiene que P(0 a 0.31)=0.1217,por lo que P(0.3 1a)=0.5 0.1217=0.3783 que equivale a 37.83% de probabilidad. 3. Normalizando datos se tiene que:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 13 Este valor se transforma en la expresión P(x 80) a su equivalente normalizada P(a z), donde z= 1.25, es decir, se procede a calcular P(a 1.25). En consecuencia, P(a 1.25)=0.5 P(0 a 1.25). A través de las tablas de distribución normal se obtiene que P(a =0.1056,entonces P(a 1.25)=0.5 P(0 a 1.25) que equivale a 10.56% de probabilidad. 4. Al normalizar los datos obtenemos que: Que puede redondearse a 0.31. Este valor permite transformar la expresión P(x 105) a su equivalente normalizada P(a z), donde Z=0.3125. Esto significa que se debe calcular P(a 0.31). Consecuentemente, P(a 0.31)=0.5+P(0 a 0.31). Utilizando las tablas de distribución normal, se tiene que P(0 a 0.31)=0.1217, por lo que P(a 0.31)=0.5+0.1217=0.6217 que equivale a 62.17% de probabilidad. Aproximación normal de probabilidades binomiales La distribución binomial P(X= k)= b(k;n,p) puede acercarse notablemente a la distribución normal cuando n es grande y ni p ni q tienen valores cercanos a cero, donde: n=número de ensayos o repeticiones del experimento. k = Número de éxitos. p= Probabilidad de éxito.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 14 q= Probabilidad de fracaso. Para calcular probabilidades aproximando la distribución normal a la binomial se tiene que: µ = np Por ejemplo, si se lanza una moneda 14 veces, calcular la probabilidad P de que el número de águilas que aparezcan se encuentre entre tres y seis. De los datos del ejemplo tenemos que: Si X representa el número de águilas, se debe calcular P (3 X 6). Dado que la distribución normal se define sobre variables aleatorias continuas, debemos expresar los valores discretos, esto es, enteros, en una forma continua o decimal, con lo que la expresión discreta P(3 X 6) puede transformarse en la expresión continua P(2.5 X 6.5). Entonces, se procede a estandarizar los valores 2.5 y 6.5: En consecuencia, P(2.5 x 6.5) se transforma en su equivalente normalizada P( 2.41 a 0.27)=0.4920+0.1064=0.5984 ó 59.84%.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 15 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos. Supóngase que X es una variable aleatoria asociada al IQ de alumnos de una universidad. Si X se distribuye como una normal con media µ= 100 y desviación estándar =10, es decir, X N(100,10), calcula mediante tablas de distribución normal las siguientes probabilidades: 1. Probabilidad de que el IQ de un alumno sea mayor a 80 puntos, es decir, P(80 x). 2. Probabilidad de que el IQ de un alumno sea mayor a 105 puntos, es decir, P(105 x). 3. Probabilidad de que el IQ de un alumno sea menor a 80 puntos, es decir, P(x 80). 4. Probabilidad de que el IQ de un alumno sea menor a 105 puntos, es decir, P(x 105). 5. Probabilidad de que el IQ de un alumno se encuentre entre 105 y 110 puntos, es decir, P(105 x 110).

ESTADÍSTICA INFERENCIAL 16 Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM. (2007). Estadística básica con Excel. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.