LA RECTA Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. Ecuación general o implícita de la recta: Ecuación explícita de la recta Pendiente
Ecuación punto-pendiente de la recta Sea un punto de una recta y su pendiente, entonces su ecuación viene dada por: Expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean y dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuación de la recta viene dada por la expresión: Expresión que se denomina ecuación continúa de la recta. Además, su pendiente es:. (* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula) Rectas paralelas Rectas perpendiculares Paralelas
Ángulo que forman dos rectas Ecuación de la mediatriz Ejercicios 1) Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). 2) Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45. Escribir la ecuación general de la recta que: 3) Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).
Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones: 1. 2x + 3y - 4 =0 2. x - 2y + 1= 0 3. 3x - 2y -9 = 0 4. 4x + 6 y - 8 = 0 5. 2x - 4y - 6 = 0 6. 2x + 3y + 9 = 0 Las rectas 1 y 4 son coincidentes, porque todos sus coeficientes son proporcionales: Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el término independiente. Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).
Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.
Distancia al origen de coordenadas Ejemplo: Hallar la distancia al origen de la recta r 3x - 4y - 25 = 0. Distancia entre rectas Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta. Ejemplos: 1 Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.
Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0. 2 Hallar la distancia entre las rectas: Problemas Resueltos Ejemplo #1 Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(- 2,10).
Ejemplo #2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos Calculamos la pendiente. Ahora aplicamos la ecuación de la recta que tenemos sustituyendo los valores tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b por lo tanto la ecuación de la recta es Ejemplo #3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y - 6x = 10 Procedimiento:
Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a : la ecuación de la recta que pasa por ese punto es: Pendiente = 3 Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x" Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y" Ejemplo #4 Halle la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a
utilizamos la ecuación general de la recta: la ecuación de la recta que pasa por ese punto es: Ejemplo #5 Halle la ecuación de la recta que pasa por y es perpendicular a utilizamos la ecuacion general de la recta : la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo la ecuacion de la recta que pasa por ese punto es:
Ejemplo #6 Encontrar la equacion de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que es paralela a 6x+3y=4 tenemos que la pendiente es paralela a
Ejemplo #7 Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3) Primero encontramos el valor de la pendiente: Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella Ejemplo #8 Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3) Primero encontramos el valor de la pendiente:
Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella Ejemplo # 9 Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz
Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento Respuesta