TEORIA DE EXPONENTES ING. CRISTHIAN VELANDIA Conceptos preliminares. Epresión algebraica.- es el conjunto de letras y números interrelacionados entre si, mediante las operaciones de adición y sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o por algunas combinaciones entre ellos. Ejemplos: a) b) 5 +-6 c) 5 Término algebraico.- Es aquel conjunto de letras y números interrelacionados entre sí, mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación o por alguna combinación entre ellas. Ejemplos: a) - yz b) c) Partes de un término algebraico Signo Coeficiente - Eponent Parte Literal Valor absoluto y valor relativo.- El valor absoluto de un número es su valor sin considerar su signo; en tanto que el valor relativo de él, es su valor considerando su signo. VA = 5 VA = 5 Ejemplos: 5-5 VR = 5 VR = -5 Suma algebraica A) Sumando igual signo.- Se escribe el signo igual, seguido de la suma de los valores absolutos de los términos. Ejemplos ) 5 + 8 = )-5 8 = - B) Sumandos con signos diferentes.- Se escribe el signo del mayor y se resta el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto. ) 5+8= ) 5 8 = - observamos que la resta se hace siempre: 8 5 Valor numérico de epresiones algebraicas.- Es el resultado que se obtiene al reemplazar la parte literal de una epresión algebraica por los valores arbitrarios a tribuidos a sus letras. Ejemplo : Determina el valor numérico de X= p(p-a)(p-b)(p-c) ; si a =; b =4; c =5 y p =. Solución.- Reemplazando valores: X= (-) (-4) (-5) = (8) (7) (6) = 84 Consideremos las siguientes situaciones: a. El piso de una habitación cuadrada se quiere cubrir con baldosas cuadradas, de las cuales se muestra una hilera en la figura. Cuántas baldosas se necesitarán en total? b. Analicemos el problema inverso: Si en una habitación cuadrada hay un total de 69 baldosas cuadradas de 0 cm 0 cm Cuántas hileras de baldosas hay en cada lado de la habitación? Solución Los dos problemas anteriores dan origen a dos nuevas operaciones: la potenciación y la radicación. Para responder la pregunta a. se tiene que multiplicar:, y aquí tenemos una multiplicación que, por tener los factores iguales, puede abreviarse así: = ² = 69 baldosas. La segunda operación (radicación) actúa en forma inversa a la potenciación. La habitación tiene trece hileras por cada lado, entonces 69 =
Conclusión En la potenciación en general podemos definir: Consideremos: a a a... a = se lee: a elevado a la n. n veces n es un número natural que se llama eponente. a es un número cualquiera que se llama base. Conclusión Esto nos sugiere las siguientes propiedades: b n
Reglas de los Eponentes Para multiplicar factores eponenciales que tienen la misma base y los eponentes son enteros positivos diferentes. Para multiplicar factores que tienen base diferente y eponentes iguales, el eponente se queda igual. En división, si tienen la misma base y los eponentes son enteros positivos diferentes, se restan los eponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n. En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.
Reglas Básicas para Manejar los Eponentes: Regla:
Radicales Un radical es una epresión en la forma: Cada parte de un radical lleva su nombre, El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice es usualmente omitido. Propiedades de los Radicales ppp p p... a m = a m ( radicales) a m b n = a m b n n... a = n a ( radicales) a m b n = a m b n mnp mnp a = a a m b n = a m b n a m b n c p d q = abcd m bcd n cd p d q
Suma y Resta de Radicales Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando. Ejemplos: Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta solo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS Con ligeras nociones de ecuaciones, potencias, radicales y sistemas, puedes conseguir fácilmente realizar estos ejercicios. Te recuerdo que: * Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a 0 = * Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los eponentes: a 5. a = a 8 * Para dividir potencias de la misma base, se restan lo eponentes: a 5 / a = a * Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los eponentes: (a 5 ) = a 5 * Una potencia con eponente negativo será lo mismo que uno partido por la misma potencia con eponente positivo: a - 5 = / a 5 * Una potencia con eponente fraccionario, equivale a una raíz: a /4 = Problemas propuestos. Ejercicios Propuestos. Conteste con verdadero o falso cada una de las siguientes afirmaciones. En cada caso justifique su respuesta a. 79 es la cuarta potencia de 9 b. Toda potencia de un número positivo es positiva c. Toda potencia de un número negativo es negativa n n n d. La potencia de la suma es la suma de las potencias, esto es (a + b) = a + b n m m n e. La operación de potenciación es conmutativa, esto es (a ) = (a ) En los ejercicios del al 9 elimine los eponentes negativos y simplifique - 4. (- ) ( 4 ) 7 4-5. (u v ) (4 u v ) - 4. ( y z ) (- z ) ( y ) 5. 5 y 4 - y 6. a - b - -4 - a c
7. y z - - - y z 9. 4a b a b 5a b 4 b 8. m - n - -7-4 -5 - m n Leer atentamente antes de proceder ) Calcular las siguientes potencias y raíces: a) 7.a.b.c 6 9 b) c) d) e) 5. 5 b (. b) 0 ( 5. a.) 9. 6 : 8.a 7 7 f) 4 8.b 6.c 8 ) Poner bajo un solo signo radical las siguientes epresiones: a) b) c) d). b a c e) f) g) h) i) j) a. a. 5. 5 c. y ( a+ b ).. a 5. b.y..a. y a. 5 a 6 5 c a+ b a.
.5.9 Ejercicios:. En cada una de las siguientes afirmaciones, responda si es verdadera o falsa, justifique su respuesta. a. 4 = b. b - 4ac c. a + b = a + b d. n n a = a eiste sólo si b 4ac. Racionalizar a. b. 8 - c. 0a b d. 5 4 y e. + f. - - g. y y + h. - h i. + - 5