TRABAJO PRÁCTICO: PARÁBOLA Arco Gateway El Arco Gateway en enero de 2008 Edificio Estilo Expresionismo estructural Coste 13 millones de dólares (en 1963) Localización Monumento a la Expansión Nacional de Jefferson San Luis, Misuri, Estados Unidos Uso(s) Monumento conmemorativo, turismo Coordenadas 40 42 46.8 N 74 0 48.6 OCoordenadas: 40 42 46.8 N 74 0 48.6 O (mapa) Construcción Inicio 12 de febrero de 1963 Construcción 1963-1965 Término 25 de mayo de 1965 Dimensiones Otras dimensiones 192 metros de ancho Altura máxima 192 metros Arquitecto(s) Eero Saarinen, Saarinen and Associates Ingeniero estructural Hannskarl Bandel 1
Partiendo de la base de suponer que el arco es parabólico, y sabiendo que los ejes cartesianos se graduaron en escala 1unidad/1m se pide determinar: 1- Determinar la ecuación de la parábola ( graficada (azul) en un sistema de coordenadas cartesianas. 2- Dar la ecuación de su recta directriz y las coordenadas del foco. 3- Determinar la ecuación de la recta que es eje de simetría de la parábola. 4- Determinar la longitud del segmento TU que representa una parte de la estructura soporte que se utilizara en la construcción del arco. 5- Determinar analíticamente la altura (respecto del nivel de piso representado por el eje de abscisas) a la que se encuentra el foco de la parábola (azul). 6- Definir la ecuación analítica de la parábola coloreada de rojo en la fotografía sabiendo que su vértice se encuentra a 6m de aquel que corresponde a la parábola exterior coloreada de azul. Ambas poseen el mismo foco y comparten el eje de simetría. Por otra parte, sabemos que a nivel 0,00 la distancia entre los puntos de intersección de las parábolas con el eje de abscisas (Ej: ZF 1 es de 29,19m) Ver detalles del gráfico. 7- Determinar la superficie limitada por las dos parábolas y el eje de abscisas. 8- Comparar las distancias del vértice al foco en cada parábola y enunciar una conclusión referida a las ramas de la parábola en general(referida al sentido y apertura de las ramas). 9- Las secciones cónicas son curvas planas o superficies planas? Justificar. 2
Detalles del gráfico 3
DESARROLLO Y RESPUESTAS PARABOLA 1- La ecuación de la parábola graficada (azul) en un sistema de coordenadas cartesianas Por ser a eje vertical la ecuación que corresponde es: (x-h) 2 = 4p(y-k) (x-56) 2 = 4p(y-192) busco un punto perteneciente a la parábola tal como el Z Z(40; 180º) en cartesianas sería Z( -40;0) luego: (-40-56) 2 = 4p(0-192) despejo p p=-12 por lo tanto la ecuación resulta: (x-56) 2 = 4(-12)(y-192) 2-La ecuación de su recta directriz y las coordenadas del foco La ecuación de la recta directriz será: y= 204 Las coordenadas del foco: (56;180) 3-La ecuación de la recta que es eje de simetría parábola de la La ecuación de la recta será: x= 56 4- Determinar la longitud del segmento TU que representa una parte de la estructura soporte que se utilizara en la construcción del arco. Conocemos las coordenadas polares de U (180.88; 56,13º) X U = 180.88.COS 56,13º=100.8063 Y U = 180.88.SEN 56,13º=150.185 Y T = 180.88.SEN 56,13º=150.185 ya que están a la misma altura respecto del nivel de piso. Sabemos que los puntos T y U equidistan del eje de simetría, luego: 4
100.8063m-56m x2= 89,6126m 5- Determinar analíticamente la altura (respecto del nivel de piso representado por el eje de abscisas) a la que se encuentra el foco de la parábola (azul). El parámetro p tiene un valor de -12, por lo que las coordenadas del foco de la parábola serán: (56; 192-12) es decir: Foco (56; 180) lo que implica que el foco se encuentra a 180m de altura respecto del nivel (0;0) representado por el eje de abscisas. 6- Determinar la ecuación analítica de la parábola coloreada de rojo en la fotografía sabiendo que su vértice se encuentra a 6m de aquel que corresponde a la parábola exterior coloreada de azul. Ambas poseen el mismo foco y comparten el eje de simetría. Por otra parte, sabemos que a nivel 0,00 la distancia entre los puntos de intersección de las parábolas con el eje de abscisas (Ej: ZF 1 es de 29,19m) Ver detalles del gráfico. El análisis comienza encontrando la ecuación de la parábola desde el punto de vista geométrico: (x-56) 2 = 4p(y-186) busco un punto perteneciente a la parábola, distinto del vértice. Elijo el punto F 1 (- 10,81; 0) y reemplazo en l ecuación de la parábola: (-10.81-56) 2 = 4p(0-186) despejo p p= (- 66.81) 2 /4(-186)= - 6 Construyo la ecuación: (x-56) 2 = 4(- 6)(y-186) Resuelvo el cuadrado del binomio y obtengo la forma analítica: X 2 2X(56)+56 2 = - 24y + 4.464 agrupo y resuelvo: X 2 2X (56)+3.136-4.464=-24y (X 2 2X (56)- 1.328)/(- 24)= y DONDE a = (1/4p)=1/(4 x(-6))=- 0,4 X 2 / (- 24) 2X (56)/(-24)- 1.328)/(- 24)= y X 2 / (- 24) 2X (56)/(-24)- 1.328)/(- 24)= y 5
- 0,04X 2 + 4.6666X + 55.3333 = y Forma analítica de la ecuación de la parábola 7-Determinar la superficie limitada por las dos parábolas y el eje de abscisas. Segmento de parábola mayor= 192mx192mx(2/3)=24.576m 2 Segm. de parábola menor= (192m 2x29.19m)x (192m- 6m)x(2/3)= 16.568,88 m 2 Diferencia= 24.576m 2-16.568,88 m 2 = 8.007,12 m 2 8- Compare las distancias del vértice al foco en cada parábola y enuncie una conclusión referida a las ramas de la parábola en general. Al disminuir la distancia ente el vértice y el foco las ramas se aproximan al eje de simetría de la parábola. 9- Las secciones cónicas son curvas planas o superficies planas? Justifique. Son curvas ya que se originan de la intersección entre un plano y una superficie en el espacio. 6