Clase- Logaritmos: Sabemos que si b n = a significa a = b. b..... b ("n" veces b). Otra forma de relacionar estas tres cantidades es empleando el concepto de logaritmo; definiéndose: log n b a ; con a, b IR + ; b ; n IR n b a Es decir: el logaritmo de una cantidad "a" en una base "b" es el exponente "n" al cual hay que elevar la base "b" para obtener la cantidad "a". Ejemplos: (a) log 9 = (b) log 6 6 = (c) log 6 = (d) log 8 = (e) log (f) log 8 Así como un logaritmo se fundamenta en una potencia, en forma recíproca a una potencia se le puede dar forma logarítmica: Ejemplos: (a) 7 = 9 (b) (c) 6 (d) 8 7 Ejercicios: ) Calcular el valor de los siguientes logaritmos: (a) log 6 = (b) log 7 (c) log 6 (d) log 0, 0, (e) log (f) log 6 ) Reducir: a). log 6 -. log = (b) log 6 6 -. log 6 +log 8= ()
Nota: Al tener una igualdad de potencias de igual base, en consecuencia los exponentes también serán iguales ; es decir: Si p q a a p q Propiedad que permite resolver ecuaciones exponenciales donde se puedan igualar las bases. Ejemplos: (a) x = (b) x- = (c) 8 x- = 7 -x ) Calcular x como valor del logaritmo en: (a) log 8 6 = x (b) log 9 7 = x (b) log x (d) log 8 x ) Calcular x como base del logaritmo en: (a) log x 6 = (b) log x 8 = - (b) logx 9 (d) logx 8 ()
) Calcular x como la cantidad a la que se le extrae logaritmo en: (a) log x = (b) log x = - (b) log8 x (d) log8 x Propiedades de los logaritmos: ) La base de un logaritmo es siempre un valor positivo. ) El cero y los números negativos no tienen logaritmo, ya que al ser la base positiva, toda potencia de esta también lo será. ) El logaritmo de la base es igual a la unidad; es decir: ) El logaritmo de la unidad en toda base es siempre igual a cero; es decir: ) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores; es decir: 6) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia entre los logaritmos de cada uno de sus términos; es decir: 7) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de tal potencia; es decir: 8) El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido por el índice de la raíz; es decir: ()
Ejercicios: ) Aplique las propiedades de los logaritmos en calcular: (a) log (7. 8) = 6 (b) log 6 (c) log 6 = (d) log 6 6 ) Desarrollar aplicando las propiedades de los logaritmos: u v (a) log e = x w (b) log e = y (a b) (c) log e a b (d) log (ab) e c d ()
Recíprocamente, se reducen expresiones con logaritmos, al aplicar las propiedades en sentido contrario; donde si: (a) logb p log b q log b (p q) p (b) log b p logb q logb q (c) n n logb p logb p (d) log b p n logb p n log n b p Ejercicios: Al reducir: (a) log e a log e b log e c (b) log e a log e b log e c (c ) logea- logeb- logec log e a- log e b- log e c = = (d) Ejercicios Complementarios: ) log 6 6 + log log 6 =? A) B) C) D) 6 E) 8 ) Si log x = ; luego x =? A) B) C) D) 6 E) Otro valor. ) El valor de log 0, 8 =? A) 7/ B) /7 C) -7 D) /7 E) 7/ ) Si log 8 x = A) B) 9 C) 7 D) 8 E) ()
a b ) Al desarrollar loge 7c A) 6loge a + loge b - loge c 6 log a+ log b B) e e log e c equivale a: C) loge + logea + logeb loge7 - logec log + log a+ log b D) e e e loge7 + logec E) Ninguna de las anteriores. 6) Al reducir: loge a + loge b - loge c =? A) loge (a + b - c ) B) loge (a b - c ) a+ b C) loge c a b D) loge c A) 6 a b loge c Ejercicios Propuestos: ) Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: a) x x b) x6 x c) 7 7x : 78x d) x x8 8 e) 7 8 x f) x ( 8) x : ) Calcular el valor de los logarítmos: a) log 6 = b) log = c) log 6 = d) e) log log 0, 6 = f) log 0, 0, = ) Aplique la definición de logaritmo para calcular el valor de x en: a) log 6 = x b) log x 6 = c) log / x =- d) log 0, x e) log x 0, =- f) log 8 x =-/ ) Desarrollar aplicando propiedades de los logaritmos: b c a) log p = a a b) log p b = (6)
) Reducir aplicando propiedades de los logaritmos: a) log p a - log p b log p c = b) (log p a + log p b log p c log p d) = 6) log 0, + log 0, - log 0, =? A)-6 B)- C) 0 D) E) 6 8) La expresión log 8 - log 6 =? A) log 6 8 B) log 6 6 C) log D) - E) ( ) 0) Al reducir A) log a e b c loge d logea+/ loge b =? logec- loged B) loge a + loge b - loge c + loge d C) loge a + loge b - loge c loge d a b d D) loge c E) Ninguna de las anteriores. 7) Si f(x)= log x; luego f(6) - f(8) =? A) log B) log 8 C) log D) log E) Otro valor. 9) log 6 + log 8 - log =? A) + log B) log 6 C) log 6 D) log 60 E) Otro valor. ) Al reducir: loge (a + b) loge a loge b =? A) 0 log a+ log b B) e e logea- logeb a b C) loge ab a b D) loge a b a E) loge (a + b) loge b ) Si log r = a y log s = b ; luego el valor de log ( r s)? A) a b B) a b C) a b D) ab E) Otra expresión. (7) ) Se tiene que log b a = log a b si () a = b () b a = a b A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () y () D) Cada una por sí sola, () o () E) Se requiere información adicional
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase- ) a) 9 b) c) d) 7 e) f) 9 g) h) i) x j) a k) f 7 l) p ) a) 7 b) c) d) 0 e) f) 6a g) 0x h) 6a b-ab ) a) a b) a c) 6a b d) a b e) a b f) a b 7 c ) a) b) 8 c) 6x d) 8 e) 0 f) ) a) b) c) d) e) a a f) 6a b ab 6) a) 9 b) 8 6 c) d) 7) a) 6 b) 6 c) 7 0 d) 8 6 8) a) b) 7 c) d) 7a 9b e) xy 8z f) a b cd 9) a) b) 9 c) ab d) x y e) 7 f) 8 0) a) b) c) d) 8 8 e) 6 a 9 f) 6 a ) a) b) a c) ab d) e) 6 f) y z x ) a) 6 B) 7 c) 8a d) x 7 e) 60 f) 7 ) a) b) c) d) e) f) ) E ) C 6) B 7) A (8)