BLOQUE II Geometría. Razones trigonométricas 4. Resolución de triángulos 5. Geometría analítica 6. Lugares geométricos y cónicas 7. Los números complejos
Razones trigonométricas. Razones trigonométricas o circulares Piensa y calcula En una circunferencia de radio R = m, calcula mentalmente y de forma eacta la longitud de: a) la circunferencia. b) la semicircunferencia. c) un cuarto de circunferencia. d) tres cuartos de circunferencia. a) L π Circunferencia = π m b) L Semicircunferencia = π m c) L Cuarto de circunferencia = π/ m d) L Tres cuartos de circunferencia = m Aplica la teoría. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente los que están en grados a radianes y viceversa: a) 45, 0, 70 b) π/6 rad, π/ rad, π/4 rad, π rad a) b) 70º 0º 45º π/4 rad π/ rad π rad π/6 rad 45º = π/4 rad 0º = π/ rad 70º = π/ rad π/6 rad = 0º π/ rad = 90º π/4 rad = 5º π rad = 80º. Pasa los ángulos que están en grados a radianes y viceversa: a) 54 b) 7 c),5 rad d),47 rad a) 0,945 rad b),7874 rad c) 7º 7 d) 4º 4. Reduce a un ángulo menor de 60 los siguientes ángulos y escríbelos en forma general: a) 765 b) 45 c) 540 a) 45º + k, k b) 85º + k, k c) 80 + 60 k, k 4. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redondea el resultado a cuatro decimales: a) sen 47 5' 44" b) cos 7 5' 5" c) tg 5 5' " d) sen 8 44' " a) 0,784 b) 0,880 c) 0,468 d) 0,9940 5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos sabiendo que: a) sen = 0,764 b) cos = 0,4 c) tg =,5 d) sen = 0,8888 a) = 49º 45 5 b) = 8º 54 4 c) = 68º 55 d) = 6º 4 4 SOLUCIONARIO
6. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo del triángulo rectángulo siguiente: 6 m 0 m 8 m 7. Un árbol y su sombra forman un ángulo recto. La sombra mide 7,8 m y el ángulo con el que se ve la parte superior del árbol desde el etremo de la sombra mide 47 0'. Calcula la altura del árbol. sen = /5 cosec = 5/ cos = 4/5 sec = 5/4 tg = /4 cotg = 4/ h 47º 0' h tg 47º 0 = 7,8 7,8 m h = 7,8 tg 47º 0 = 8,5 m. Relaciones entre razones. Razones de 0, 45 y 60 Piensa y calcula En el triángulo rectángulo e isósceles del dibujo, calcula mentalmente: a) el ángulo b) tg a) = 45º b) tg = Aplica la teoría 8. La pirámide de Kefrén, de Egipto, proyecta una sombra de 4,7 m y el ángulo que forma el suelo con la recta que une el etremo de la sombra con la parte más alta de la pirámide es de 45. Halla mentalmente la altura de dicha pirámide. 9. Si sen = 0,456, calcula mentalmente cos (90 ) 0,456 0. Si cos 50 = 0,648, calcula mentalmente sen 40 0,648 Altura = 4,7 m. Sabiendo que cos = /, haz el dibujo del ángulo y calcula mentalmente el valor de = 0º TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 5
. Sabiendo que sen = /, calcula cos y tg Se aplica la fórmula fundamental: sen + cos = 4 5 + cos = cos = 9 5 5 tg = sen :cos = : tg = 5. Sabiendo que cos = /5, calcula sen y tg Se aplica la fórmula fundamental: sen + cos = 4 sen + ( ) = sen = 5 5 4 4 tg = sen :cos = : tg = 5 5 4. Sabiendo que tg = /, calcula sen y cos tg + = sec 5 5 + = sec sec = cos = 4 5 tg = sen cos 5 5 sen = cos tg = = 5 5 5 sen = 5 5. Demuestra que tg 45 = 45º 6. Demuestra que sen 60 = cos 0 = = sen 60 = cos 0 + ( ) = Despejando se obtiene que: = sen 60 = cos 0 = 7. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo que forma el suelo con la recta que une el etremo de la sombra con la parte más alta del faro es de 0. Halla la altura del faro. h tg 0 = h/50 h = 50 tg 0 = 50 = 8,87 m 0º 0º 50 m 0 tg 45º = = 45º 6 SOLUCIONARIO
. Generalización de las razones trigonométricas Piensa y calcula Completa la siguiente tabla escribiendo el signo de las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes: er o er 4 o + y + er + y + o + er 4 o + Aplica la teoría 8. Un ángulo está en el er cuadrante y se sabe que sen = /. Dibuja el ángulo y calcula mentalmente el ángulo, el cos y la tg. Un ángulo está en el º cuadrante,y sen =4/5.Haz el dibujo del ángulo, halla el cos y la tg / 0º / 0º = 0 cos 0 = cos 0 = tg 0 = tg 0 = 80 º cos = /5 tg = 4/ 9. Sustituye los puntos suspensivos por o : a) sen b) sec. Un ángulo está en el 4º cuadrante, y tg = /. Haz el dibujo del ángulo, halla el sen y el cos a) sen b) sec 0. Haz el dibujo y calcula mentalmente el seno, el coseno y la tangente de 5 60 º / sen = cos = 5 º 45 º sen 5 = sen 45 = cos 5 = cos 45 = tg 5 = tg 45 =. Calcula las siguientes razones trigonométricas redondeando el resultado a cuatro cifras decimales: a) sen 55 ' 44" b) cos 6 5' 5" c) tg 55 4' " d) sen 44 ' 5" a) 0,847 b) 0,9585 c),94 d) 0,66 TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 7
4. Calcula el ángulo en grados, minutos y segundos en los siguientes casos: a) sen = 0,5555 y está en el er cuadrante. b) cos = 0,4 y está en el º cuadrante. c) tg =,7 y está en el er cuadrante. d) sen = 0,65 y está en el 4º cuadrante. a) = º 44 4 b) = 4º 50 5 c) = 9º 4 d) = 9º 7 0 4. Razones de operaciones con ángulos Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) sen 60 + sen 0 b) sen (60 + 0 ) c) cos 45 d) cos ( 45 ) + a) + = b) sen 90 = c) = d) cos 90 = 0 Aplica la teoría 5. Calcula sen 75 8. Si cos = 0,6, calcula tg / sen 75º = sen (45º + 0º) = ( +) = sen 45º cos 0º + cos 45º sen 0º = 4 6. Calcula tg 5 tg 45 tg 0 tg 5º = tg (45º 0º) = = + tg 45 tg 0 7. Si sen = 0,, calcula cos cos = cos sen En primer lugar hay que calcular cos cos = 0,959 cos = 0,959 0, = 0,899 cos tg = +cos 0,6 tg = + 0,6 tg = ±0,5 9. Calcula cos 75 cos 5 + β β cos cos β = sen sen cos 75 cos 5 = sen 45 sen 0 = = = 8 SOLUCIONARIO
0. Si sen = /, calcula sen ( + 0 ) sen ( + 0º) = sen cos 0º + cos sen 0º En primer lugar hay que calcular cos cos =. Una escalera de bomberos está apoyada sobre la fachada de una casa; la escalera mide 5 m de longitud y el ángulo que forma la escalera con el suelo es de 75. Calcula la altura a la que llegará la escalera en la casa. + sen ( + 0 ) = + = 6. Si tg = /, calcula tg (60 ) tg 60 tg tg(60 ) = = + tg 60 tg / 4 = = + / sen 75º = h/5 h = 5 sen 75º = 4,49 m 5. Ecuaciones e identidades trigonométricas Piensa y calcula Observando el dibujo y sabiendo que cos =, cos β =, calcula mentalmente cuánto miden los ángulos y β = β = 0º β / / Aplica la teoría. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) sen = 0 b) cos = a) 80º 0º = k, k = 80º + k, k 4. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) sen = b) cos = a) 5º 45º = 45º + k, k = 5º + k, k b) 80º = 80º + k, k b) 40º 0º = 0º + k, k = 40º + k, k TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9
5. Resuelve la siguiente ecuación: sen = sen sen sen = 0 ò sen (sen ) = 0 sen = 0, sen = Si sen = 0 80º 0º 7. Resuelve la siguiente ecuación: + sec = tg + sec = tg Se aplica que: tg + = sec + tg + = tg tg = tg = ± Si tg = = k, k, = 80º + k, k Si sen = 5º 45º 90º = 45º + k, k = 5º + k, k Si tg = = 90º + k, k 5º 6. Resuelve la siguiente ecuación: cos sen = cos sen = ( sen ) sen = sen sen = sen + sen = 0 sen = /, sen = Si sen = / 50º / 0º = 0º + k, k = 50º + k, k Si sen = / = 5º + k, k 4 = 5º + k, k 8. Resuelve la siguiente ecuación: cosec = cotg cosec = cotg cos = sen sen cos = cos = ± Si cos = 5º 70º = 70º + k, k 5º = 45 + 60 k, k = 5º + k, k 45º 0 SOLUCIONARIO
Si cos = 5º = 5º + k, k 4 = 5º + k, k 5º 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas: a) sen + sen y = b) sen + cos y = 5/4 sen sen y = 0 sen cos y = /4 a) Sumando ambas ecuaciones, se obtiene: sen = Si sen = / 50º = 0º + k, k / 0º = 50º + k, k / 9. Comprueba la siguiente identidad: tg sen = tg sen Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros. En el er miembro: tg sen = sen sen = cos sen sen cos sen ( cos ) sen 4 = = = cos cos cos En el miembro: tg sen = sen sen = sen 4 cos cos La representación gráfica es: 6 y 5 4 6 6 5 4 4 5 Restando de la a ecuación la ª, se obtiene: sen y = Si sen y = / y = 0º + k, k 50º / 0º y = 50º + k, k b) Sumando las dos ecuaciones, se obtiene: sen = sen = sen = = ± 90º Si sen = = 90 + 60 k, k / 4 5 6 Si sen = = 70 + 60 k, k 70º 40. Comprueba la siguiente identidad: sec + cosec = sec cosec Haciendo operaciones en el er miembro se obtiene el miembro: sec + cosec = + = sen + cos = cos sen sen cos = = = cosec sec sen cos sen cos La representación gráfica es: y 6 5 Restando las dos ecuaciones, se obtiene: cos y = / cos y = /4 cos y = /4 = ± / Si cos y = / y = 60 + 60 k, k y = 00 + 60 k, k 00º / 4 6 5 4 4 5 6 4 5 6 Si cos y = / y = 0 + 60 k, k y 4 = 40 + 60 k, k / 40º 0º TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios y problemas. Razones trigonométricas o circulares 4. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de grados a radianes: 0, 90, 80 sen = 4/5 cosec = 5/4 cos = /5 sec = 5/ tg = 4/ cotg = /4 80º 90º 0º 0º = π/6 rad 90º = π/ rad 80º = π rad 48. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redondea el resultado a cuatro decimales: a) sen 55 ' " b) cos 87 5' " c) tg 45 5' 5" d) sen 8 ' 0" 4. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de radianes a grados: π/ rad, π/ rad, π/ rad π/ rad π/ rad π/ rad π/ rad = π/ rad = 0º π/ rad = 70º 44. Pasa de grados a radianes los siguientes ángulos: a) 47 b) 9 a) 0,80 rad b) 5,5676 rad 45. Pasa de radianes a grados los siguientes ángulos: a) 0,85 rad b), rad a) 48º 4 5 b) 70º 8 6 a) 0,847 b) 0,0509 c),0090 d) 0, 49. Calcula los ángulos en grados, minutos y segundos sabiendo que: a) sen = 0,4444 b) cos = 0,670 c) tg = 0,5 d) sen = 0,9876 a) = 6º 6 b) = 47º 54 5 c) = 6º 54 d) = 80º 58 4. Relaciones entre razones. Razones de 0, 45 y 60 50. Un sabio llamado Thales de Mileto se acerca a la esfinge de Egipto con un bastón de m de altura, se sienta en una piedra y pone el bastón vertical al suelo.espera hasta que la sombra es igual de larga que el bastón. En ese momento mide la longitud de la sombra de la esfinge y obtiene 57 m. Calcula mentalmente cuánto mide de alto dicha esfinge. 46. Reduce a un ángulo menor de 60 los siguientes ángulos y escríbelos en forma general: a) 900 b) 5 647 c) 755 a) 80º + k, k b) 87º + k, k c) 45 + 60 k, k 47. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo del triángulo rectángulo siguiente: Altura = 57 m 5. Sabiendo que cos = 0,7777, calcula mentalmente sen (90 ) 0,7777 5. Sabiendo que sen 50 = 0,7660,calcula mentalmente cos 40 0,7660 57 m m m SOLUCIONARIO
5. Sabiendo que sen = /, haz el dibujo del ángulo y calcula mentalmente el valor de 0º. Generalización de las razones trigonométricas 58. Un ángulo está en el segundo cuadrante y es tal que cos = /. Dibuja el ángulo y calcula mentalmente el ángulo, el sen y la tg = 0º 54. Sabiendo que sen = 4/5, calcula cos y tg 0º = 0 sen 0 = sen 60 = tg 0 = tg 60 = Se aplica la fórmula fundamental: sen + cos = 6 + cos = cos = 5 5 tg = sen :cos = 4 : tg = 4 5 5 59. Sustituye los puntos suspensivos por el signo correspondiente: a) cos b) cosec 55. Sabiendo que cos = /5, calcula sen y tg a) cos b) cosec Se aplica la fórmula fundamental: sen + cos = 4 sen + = sen = 5 5 tg = sen :cos = : tg = 5 5 60. Haz el dibujo y calcula mentalmente seno, coseno y tangente de 0 sen 0 = sen 0 = 56. Sabiendo que tg = 5/, calcula sen y cos 0º 0º cos 0 = cos 0 = cos = /, sen = 5/ tg 0 = tg 0 = 57. Demuestra que: a) tg 60 = cotg 0 = b) tg 0 = cotg 60 = 6. Un ángulo está en el º cuadrante y es tal que tg =. Haz el dibujo del ángulo ; halla sen y cos 0º 0º tg 60 = sen 60 : cos 60 = : = tg 0 = sen 0 : cos 0 = : = TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios y problemas tg + = sec 4 + = sec sec = 5 cos = 5 5 tg = sen :cos sen = tg cos 5 sen = 5 ( ) = 5 5 6. Un ángulo está en el er cuadrante, y cos = /5. Haz el dibujo del ángulo ; halla sen y tg sen + cos = sen + 9 = sen = 4 5 5 tg = sen :cos = 4 : ( ) = 4 5 = 4 5 5 5 tg = 4 4. Razones de operaciones con ángulos 65. Calcula cos 75 cos 75º = cos (45º + 0º) = = cos 45º cos 0º sen 45º sen 0º = ( = = ) 4 66. Calcula sen 5 sen 5º = sen (45º 0º) = = sen 45º cos 0º cos 45º sen 0º = ( ) = = 4 67. Sabiendo que cos = 0,6, calcula sen sen = sen cos En primer lugar hay que calcular sen : sen = 0,8 sen = 0,8 0,6 = 0,96 6. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redondea el resultado a cuatro cifras decimales: a) sen 56 ' 5" b) cos 0' 0" c) tg 57 ' 0" d) cos 5 6' 7" a) 0,979 b) 0,9769 c) 0,400 d) 0,85 64. Calcula el ángulo en grados,minutos y segundos en los siguientes casos: a) sen = 0,00 y está en el er cuadrante. b) tg =,45 y está en el º cuadrante. c) cos = 0,6 y está en el er cuadrante. d) sen = 0,85 y está en el 4º cuadrante. a) = º 9 4 b) = 07º 9 6 c) = º 7 48 d) = 0º 8 7 68. Sabiendo que cos = 0,4, calcula tg / cos tg = +cos 0,4 tg = + 0,4 tg = ±0,6547 69. Calcula cos 5 + cos 75 + β β cos 5 + cos 75 = cos cos = = cos 45 cos ( 60 ) = = 70. Sabiendo que cos = 0,6, calcula sen (60 ) sen ( ) = sen cos cos sen En primer lugar hay que calcular sen : sen = 0,8 sen ( ) = 0,6 0,8 = 0,96 4 SOLUCIONARIO
7. Sabiendo que tg = 5/4, calcula tg ( 45 ) 74. Resuelve la siguiente ecuación: cos = sec tg tg 45 5/4 tg ( 45 ) = = = + tg tg 45 + 5/4 9 5. Ecuaciones e identidades trigonométricas 7. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) sen = b) cos = 0 a) cos = sec cos = /cos cos = cos = / cos = ± Si cos = 5º 45º = 45º + k, k = 5º + k, k 70º = 70º + k, k Si cos = b) 5º 5º = 5º + k, k 4 = 5º + k, k 70º 90º = 90º + k, k = 70º + k, k 75. Resuelve la siguiente ecuación: sen + cos = 7. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) sen = b) cos = a) sen + cos = Se aplica que: sen = cos ( cos ) + cos = cos + cos = cos cos = 0 ± + 8 ± cos = = = 4 4 / Si cos = 88 0º / / 0º = 0º + k, k = 0º + k, k = k, k b) 0º 0º = 0º + k, k = 0º + k, k Si cos = = 0º + k, k = 40º + k, k 40º 0º TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 5
Ejercicios y problemas 76. Resuelve la siguiente ecuación: cos = sen cos = sen cos = sen cos sen cos cos = 0 cos = 0 cos ( sen ) = 0 sen = sen = / Si cos = 0 70º 90º = 90º + k, k = 70º + k, k Si sen = / 78. Comprueba la siguiente identidad: cos + sec = sec ( + cos ) Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros. En el er miembro: cos + sec = cos + = cos + cos cos En el miembro: sec ( + cos ) = + cos cos La representación gráfica es: y 6 5 4 4 5 6 6 5 4 4 5 / 50º 0º / 6 79. Comprueba la siguiente identidad: tg sen = sen tg = 0º + k, k, 4 = 50º + k, k 77. Resuelve la siguiente ecuación: tg + = sec tg + = sec Se aplica la fórmula: tg + = sec tg + = (tg + ) tg + = tg + tg = tg = ± Si tg = = 45º + k, k 5º 45º = 5º + k, k Haciendo operaciones en el er miembro se obtiene el º miembro. tg sen sen = sen = cos sen sen cos sen ( cos ) = = = cos cos = sen sen = sen tg cos La representación gráfica es: y 6 5 4 6 5 4 4 5 6 4 5 6 Si tg = = 5º + k, k 4 = 5º + k, k 5º 5º 80. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas: a) sen + cos y = / sen cos y = b) sen + cos y = sen + cos y = / 6 SOLUCIONARIO
a) Se multiplica la ª ecuación por y se suman. Se obtiene: 5 sen = 5 sen = = 90º + k, k Se multiplica la ª ecuación por y se le resta la ª. Se obtiene: 5 cos y = 5/ cos y = / y = + k, k y = 00º + k, k b) Haciendo: sen = u, cos y = v, se tiene: u + v = u + v = / Resolviendo el sistema, se obtiene: u = /, v = / Luego: sen = / 00º 90º / 50º 0º 8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas y da las soluciones en [0, π/]: a) sen cos y = /4 sen y cos = /4 b) 4y sen cos = y cos = a) Sumando las dos ecuaciones, se tiene: sen( + y) = Restando las dos ecuaciones, se tiene: sen( y) = / De donde se tiene: + y = 90 y = 0 Resolviendo el sistema: = 60, y = 0 b) Como sen = sen cos, se tiene: y sen = y cos = Dividiendo la a ecuación entre la a ecuación: tg = (solo se toman las soluciones de [0, π/]) = 60 + 60 k, k = 0 + 80 k, k y = = 0º + k, k = 50º + k, k cos y = / 00º y = + k, k y = 00º + k, k / TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 7
Ejercicios y problemas Para ampliar 8. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de grados a radianes de modo eacto: 80, 40, 70 70º 40º 80º 80º = π rad 40º = 4π/ rad 70º = π/ rad a) b) 0º / / 0º = 0º + k, k = 0º + k, k 8. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de radianes a grados de modo eacto: 5º 5º = 5º + k, k = 5º + k, k 5π/ rad, 7π/4 rad, π/6 rad 5π/ rad = 00º 7π/4 rad = 5º π/6 rad = 0º 87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) tg = b) cotg = a) 84. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidos entre 0 y 60. Escríbelos en forma general: a) 0 b) 50 c) 600 d) 500 40º b) cotg = tg = = + k, k = 40º + k, k a) 0º + k, k b) 0º + k, k 5º 45º = 45º + k, k = 5º + k, k c) 0º + k, k d) 0º + k, k 85. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidos entre 0 rad y π rad. Escríbelos en forma general: a) π/ rad b) 8π/ rad a) π/ + kπ,k b) π/ + kπ,k 86. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) sen = / b) tg = 88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras hacer el dibujo correspondiente: a) cosec = b) sec = a) cosec = sen = / / 50º 0º / = 0º + k, k = 50º + k, k 8 SOLUCIONARIO
b) sec = cos = / 40º 0º = 0º + k, k = 40º + k, k 7 sen 45 = = 7 sen 45 = 7 7 7 49 Área = = =,5 m 4 7 m 45º 45º 89. Calcula en radianes el menor ángulo que forman las agujas de un reloj cuando marcan: a) las h en punto. b) las 5 h en punto. c) las 8 h en punto. d) las h en punto. 94. Deduce las fórmulas de las áreas de los siguientes poliedros regulares: a) Tetraedro. b) Octaedro. c) Icosaedro. Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero: a) π/ b) 5π/6 c) π/ d) π/6 h 0º a 90. La longitud de una circunferencia mide cm. Calcula en grados las amplitudes de los siguientes arcos: a) Arco de longitud 4 m b) Arco de longitud 8 m c) Arco de longitud 6 m d) Arco de longitud 4 m a) 45º b) 90º c) 80º d) 70º 9. Sin utilizar la calculadora, halla: a) sen 0 + cos 60 tg 45 b) tg 45 sen 60 + cos 0 a) + = 0 b) + = 9. Sin utilizar la calculadora, halla: a) sen π/ + cos π/6 tg π/4 b) cos π/ tg π/6 + sen π/6 sen = h/a h = a sen a h = Área de un triángulo equilátero: a A = 4 a) Tetraedro A Tetraedro = a b) Octaedro A Octaedro = a c) Icosaedro A Icosaedro = 5a 95. Completa la siguiente tabla escribiendo el signo: sen cos tg er º er 4º a) + = b) + = 9. Un triángulo rectángulo es isósceles, y la hipotenusa mide 7 m. Calcula cuánto miden los catetos y su área. er º er 4º sen + + cos + + tg + + TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9
Ejercicios y problemas 96. Calcula mentalmente el valor de los siguientes ángulos: a) sen = 0 b) sen = c) cos = 0 d) cos = a) = k, k = 80º + k, k b) = 90º + k, k c) = 90º + k, k = 70º + k, k d) = k, k 97. Sabiendo que sen 5 = 0,576,representa el ángulo de forma aproimada y calcula mentalmente: a) sen 45 b) sen 5 c) sen ( 5 ) 5º 5º 45º 5º a) 0,576 b) 0,576 c) 0,576 cos ( + ) = cos cos sen sen En primer lugar hay que calcular sen sen = 5 4 5 cos ( + ) = = 5 4 4 8 0. Sabiendo que tg = /4, calcula tg (0 ) tg 0 tg tg (0 ) = = + tg 0 tg / /4 5 = = 48 + / /4 9 0. Resuelve la siguiente ecuación: cos = sen cos = sen Se aplica que: cos = cos sen cos sen = sen sen sen = sen sen sen + = 0 ± 9 8 ± sen = = = 4 4 / Si sen = 88 98. Sin utilizar la calculadora, halla: a) sen 0 + cos 40 tg 50 b) tg 0 sen 40 + cos 5 90º = 90º + k, k a) + = b) + + = 99. Sin utilizar la calculadora, halla: a) sen π/ + cos 5π/6 tg 7π/4 b) cos 5π/4 tg 4π/ + sen 5π/4 a) + = b) = 00. Sabiendo que cos = /4, calcula cos ( + 60 ) Si sen = / / 50º 0º 0. Resuelve la siguiente ecuación: tg = sen tg = sen sen = sen cos sen = sen cos / = 0º + k, k = 50º + k, k 0 SOLUCIONARIO
sen cos sen = 0 sen ( cos ) = 0 sen = 0 cos = 0 cos = / Si sen = 0 80º 0º = k, k = 80º + k, k Si cos = / 00º = + k, k 4 = 00º + k, k 05. Sabiendo que sen = 0,75, halla el ángulo y calcula cos y tg. El ángulo está en el er cuadrante. = 48º 47 4 cos = 0,6588 tg =,49 06. Sabiendo que cos = 0,45, halla el ángulo y calcula sen y tg. El ángulo está en el er cuadrante. = 76º 6 6 sen = 0,97 tg = 4,455 07. Calcula los distintos ángulos menores de 60 en grados, minutos y segundos, sabiendo que: a) sen = 0,4 b) cos = 0,7654 c) tg =,45 d) cos = 0, Con calculadora 04. Completa la siguiente tabla: sen cos tg A la vista del resultado de la tabla anterior, completa las siguientes frases con las palabras «crece» o «decrece»: a) Cuando el ángulo crece de 0 a 90, el seno b) Cuando el ángulo crece de 0 a 90, el coseno c) Cuando el ángulo crece de 0 a 90, la tangente 0 0 sen 0,0000 cos,0000 tg 0 50 sen 0,7660 cos 0,648 tg,98 0 0 0 40 50 60 70 80 90 0 0,76 0,9848 0,76 60 0,8660 0,5000,7 0 0,40 0,997 0,640 70 0,997 0,40,7475 0 0,5000 0,8660 0,5774 80 0,9848 0,76 5,67 a) Crece. b) Decrece. c) Crece. 40 0,648 0,7660 0,89 90,0000 0,0000 ERROR a) = 05º 6, = 4º 57 b) = 40º 7, = 9º 56 c) = 06º 9, = 86º 9 d) = 09º 8 9, = 50º 5 08. Calcula las siguientes razones trigonométricas redondeando el resultado a cuatro decimales: a) sen, rad b) cos 0,5 rad c) tg 4,45 rad d) sen 5,7 rad Hay que poner la calculadora en modo Rad. a) 0,7457 b) 0,8776 c),598 d) 0,5507 09. Calcula los ángulos en radianes aproimando el resultado a cuatro decimales, sabiendo que: a) sen = 0,4444 en el er cuadrante b) cos = 0,80 en el º cuadrante c) tg = en el er cuadrante d) sen = 0,7055 en el 4º cuadrante Hay que poner la calculadora en modo Rad. a) 0,4605 b),4999 c) 4,487 d) 5,500 Hay que volver a poner la calculadora en modo Deg. TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios y problemas Problemas 0. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C tg 8 = 6,4 = 6,4 =,04 cm tg 8 a = 5,8 cm 4. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: A B = sen º = = 5,8 sen º = cm 5,8 B b = 4 m C A c = 9 m B. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C a = 5,59 cm tg = 4/9 = º 57 45 5. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C A cos 6º 6' = = 5,59 cos 6º 6' = 5 cm 5,59 B = 6 6' B b = 7 m A c = 0 m tg = 0/7 = 55º 9 B. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C 6. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C b =,5 cm A B = B b = m A a =,6 m B,5,5 sen = = = 4,7 cm sen sen = /,6 = º 44 56. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C b = 6,4 cm B = 8 A B 7. Halla el valor de en el siguiente triángulo rectángulo: C a = m b = 8,4 m A B SOLUCIONARIO
cos = 8,4/ = 45º 4 8. Un tramo de una carretera recta mide 50 m y asciende m. Calcula el ángulo de elevación y la pendiente. 5 m 75 sen = = 4º 5 9 50 Pendiente = tg 4º 5 9 = 0,08 = 8% 9. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(, ). Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con la recta. Y sen 75º = h/5 h = 5 sen 75º = 4,5 m Nº de planta: 4,5/,5 = 9,6 Llega a la planta 0 porque pasa de la planta 9. Rocío está volando una cometa.sabiendo que el hilo que ha soltado mide 0 m y el ángulo que forma con la horizontal es de 74, calcula la altura a la que se encuentra. 0 m tg = = 6º 6 6 A(, ) O(0, 0) 0. Halla la altura de una torre eléctrica sabiendo que a una distancia de m de la base se ve la parte superior con un ángulo de 55 X sen 74º = h/0 h = 0 sen 74º = 9,6 m 9,6 m más la altura a la que tenga la mano Rocío.. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cateto y la altura. Calcula los demás lados y ángulos. A 74 m,54 m B C 55 m tg 55º = h/ h = tg 55º = 7,4 m. Una escalera de bomberos que mide 5 m está apoyada sobre la fachada de un hotel y forma con el suelo un ángulo de 75. Si cada planta del hotel mide,5 m de altura, a qué planta llegará como máimo? sen B =,54/ B = 57º 5 C = 90º 57º 5 = º 8 57 cos B = /Hipotenusa Hipotenusa = /cos 57º 5 Hipotenusa = 5,64 m sen B = (Cateto AC)/Hipotenusa Cateto AC = 5,64 sen 57º 5 = 4,78 m TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios y problemas 4. Una antena de televisión que mide 5 m proyecta una sombra de 7 m. Halla el ángulo que forma el suelo con la recta que une el etremo de la sombra con la punta más alta de la antena. tg = 7/5 = 49º 59 8. En un triángulo rectángulo se conoce el cateto, c =,5 cm, y el ángulo opuesto, C = 5. Calcula los demás lados y ángulos. B c =,5 cm a tg = 5/7 = 9º 7 A b 5 C 5. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo que forma el suelo con la recta que une el etremo de la sombra con la parte más alta del faro es de 0. Halla la altura del faro. B = 90º 5º = 55º sen 5º =,5/a a = 4,6 cm tg 5º =,5/b b =,57 cm 9. Calcula el área del siguiente triángulo. 50 m 0,5 cm h tg 0º = h/50 h = 50 tg 0º = 8,87 m 6. Calcula la apotema de un heágono regular cuyo lado mide 5 m 47 4,5 cm sen 47º = h/,5 h =,8 cm Área = 4,5,8 = 4, cm a 5 m 0. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cateto y la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.calcula los demás lados y ángulos. A a 5 m a = 5 7,5 = m 4,85 cm 7,5 m B 4, cm C 7. La pirámide de Keops de Egipto mide de alto 7 m, la base es cuadrada y tiene de arista 0 m. Halla el ángulo de inclinación de las caras laterales. a = 0 m h = 7 m cos C = 4,/4,85 C = º 7 B = 90º º 7 = 57º 4 8 sen 57º 4 8 = 4,85/Hipotenusa Hipotenusa = 5,74 cm tg 57º 4 8 = 4,85/(Cateto AB) Cateto AB =,06 cm 4 SOLUCIONARIO
. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa.calcula los lados y los ángulos de dicho triángulo. tg C =,84/,7 C = 58º 47 58 B = 90º 8º 47 58 = º sen B =,84/c c = 5,48 m sen C =,84/b b =, m sen B =,/a a = 6,4 m. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por el origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(,). Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con dicha recta. A b c h =,84 m C p =,7 m a A(, ) O(0, 0) tg = / = 5º 6 6. Calcula el ángulo de elevación de una escalera de una casa que en 4,5 m de horizontal sube,5 m Y X B 4(sen y + ) sen y = 4 sen y + 4 sen y + = 0 ( sen y + ) = 0 sen y + = 0 Si sen y = / y = 0º + k, k y = 0º + k, k Para sen y = / sen = sen y + = / Si sen = / = 0º + k, k = 50º + k, k 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas: sen cos y = / sen cos y = Se despeja sen en la ª ecuación y se sustituye en la ª: sen = / + cos y (/ + cos y) cos y = cos y + cos y = 0 ± cos y = + 8 = ± = / 4 4 Para cos y = / sen = 88 / 0º / / 0º 50º 0º /,5 m 4,5 m 90º 00º tg =,5/4,5 = 9º 7 = 90º + k, k y = + k, k,y = 00º + k, k Para cos y = sen = / 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas: sen sen y = 4 sen sen y = Se despeja sen en la ª ecuación y se sustituye en la ª: sen = sen y + 0º / / 0º 80º = 0º + k, k, = 0º + k, k y = 80º + k, k TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 5
Ejercicios y problemas Para profundizar 6. Una cinta transportadora tiene una longitud de 0 m y queremos que eleve la carga,5 m. Qué ángulo de elevación hay que ponerle? sen =,5/0 = 0º 9 4 0 m,5 m tg A/ = /4 A/ = 6º 5 A = 7º 44 4 B = 80º 7º 44 = 06º 5 6 40. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo lado mide 7 m 7. Un rectángulo mide 5 m de largo y m de alto. Halla el ángulo que forma la diagonal con cada uno de los lados. 7 m a tg A = /5 A = 0º 57 50 B = 90º 0º 57 50 = 59º 0 8. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(4, ). Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con dicha recta. A 5 m B m Y 6º a,5 m tg 6º =,5/a a =,5/tg 6º = 4,8 m 4. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 4 m Área 4 m tg = /4 = 6º 5 A(4, ) X O(0, 0) h 4 m 9. Calcula los ángulos de un rombo en el que las diagonales miden 6 m y 8 m A B 6 m 8 m sen = h/4 h = 4 sen = 0,78 m A = 4 0,78 = 49,6 m A/ 4 m B/ m 4. Calcula el área de un tetraedro en el que la arista mide 6 m de longitud. 6 m 6 SOLUCIONARIO
cos 0º = a/4 a = 4 cos 0º a =, cm h 6 m A = 6 4, = 509,04 cm Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero: sen = h/6 h = 6 sen h = m Área de un triángulo equilátero: A = 6 = 9 m Tetraedro: A Tetraedro = 4 9 = 6 = 6,5 m 44. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por el origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A( 5, 5). Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con dicha recta. Y O(0, 0) X 4. Calcula el área de un heágono regular cuyo lado mide 4 cm = 45º A( 5, 5) Área 45. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por el origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(, ). Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con dicha recta. 4 cm Y 0º O(0, 0) X A(, ) a 4 cm 7 cm tg = /( ) = 5º 6 6 TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 7
Linu/Windows GeoGebra Paso a paso 46. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor del seno. 47. Estudia el signo de la razón trigonométrica seno según los cuadrantes. Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 48. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemáticas, curso y tema. 8 SOLUCIONARIO
Windows Cabri Practica 49. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor del coseno. Guárdalo como 49 5. Estudia el signo de la razón trigonométrica coseno según los cuadrantes. Guárdalo como 5 Geometría dinámica: interactividad Prueba la interactividad como con el seno. Resuelto en el libro del alumnado. Geometría dinámica: interactividad Prueba la interactividad como con el seno. Resuelto en el libro del alumnado. 50. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor de la tangente. Guárdalo como 50 5. Estudia el signo de la razón trigonométrica tangente según los cuadrantes. Guárdalo como 5 Geometría dinámica: interactividad Prueba la interactividad como con el seno. Resuelto en el libro del alumnado. Geometría dinámica: interactividad Prueba la interactividad como con el seno. Resuelto en el libro del alumnado. Nombre de las funciones trigonométricas sin cos tan csc sec cot Cuando el arco no es solo, hay que ponerlo entre paréntesis; por ejemplo, sen se escribe sin () Demuestra las siguientes identidades utilizando Wiris o Derive. Primero representa gráficamente el er miembro y luego el º; se debe obtener la misma gráfica. TEMA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9
Linu/Windows GeoGebra 5. (sen + cos ) = + sen En ambos miembros se obtiene: 55. tg sen = tg sen En ambos miembros se obtiene: 54. tg + cotg = sec cosec En ambos miembros se obtiene: 56. sec + cosec = sec cosec En ambos miembros se obtiene: 40 SOLUCIONARIO