Físca I. Curso 2010/11 Departamento de Físca Aplcada. ETSII de Béjar. Unversdad de Salamanca Profs. Alejandro Medna Domínguez y Jesús Ovejero Sánchez Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía Índce 1. Introduccón 3 2. Concepto de trabajo 3 2.1. Sstemas undmensonales.............................. 3 2.2. Expresón general de trabajo............................. 5 3. Potenca 7 4. Energía cnétca. Teorema trabajo-energía 8 5. Fuerzas conservatvas y energía potencal 9 6. Análss de curvas de energía potencal 11 7. Conservacón de la energía 15 7.1. Sstemas conservatvos................................ 15 7.2. Sstemas no conservatvos.............................. 17 7.3. Prncpo de conservacón de la energía....................... 17 8. Problemas 19 Índce alfabétco 25
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 2
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 3 1. Introduccón En prncpo, s se conocera la fuerza que actúa sobre una partícula como funcón del tempo, f = f(t), sería fácl obtener la ecuacón de su trayectora, r = r(t), que es uno de los problemas fundamentales que se plantea la Mecánca Clásca: f(t) = m a(t) a(t) = f(t) m v(t) = a(t) dt = r(t) = v(t) dt Pero generalmente las fuerzas que actúan sobre las partículas se conocen en Físca en funcón de su poscón y el método anteror no es aplcable. Por lo tanto, se ntroducen nuevos conceptos (trabajo y energía) con los que conocendo sólo algunas propedades de la fuerza se pueden resolver muchos problemas. 2. Concepto de trabajo 2.1. Sstemas undmensonales Consderemos una fuerza, f, constante o varable, que actúa sobre una partícula para provocar sobre ella un desplazamento undmensonal. Se defne el trabajo nfntesmal que realza la fuerza sobre la partícula para provocar un desplazamento, dx, como, dw = f x dx, donde f x es la componente de la fuerza en la dreccón del desplazamento. Para un desplazamento fnto, entre dos puntos x 1 y x 2, se defne el trabajo como: W = x2 x 1 f x dx Es decr, que en problemas undmensonales, el trabajo realzado por una fuerza no es más que el área encerrada bajo la curva, f x = f x (x). Como por defncón el trabajo es una fuerza por un desplazamento, sus dmensones son: [W ] = ML 2 T 2 y sus undades en el sstema nternaconal son N.m, que se denomna joule o julo y se representa como J. En el sstema cegesmal, la undad del trabajo es el ergo (erg) que se defne como 1 erg= 1 dna 1 cm. Factor de conversón: 1 J= 10 7 erg.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 4 f x fuerza constante f x fuerza varable x 1 x 2 x x 1 x 2 x Convene resaltar que el concepto de trabajo en Físca no se corresponde exactamente con la nocón que tenemos en la vda cotdana. Por ejemplo, empujar una pared, aunque, por supuesto, no consgamos derrbarla, supone un trabajo en la vda ordnara, pero en Físca, como no hay desplazamento, el trabajo realzado es nulo. Igual sucede cuando un levantador de pesas no consgue elevarlas o cuando sujetamos un objeto en el are sn desplazarlo. 2.1 Ejemplo Un bloque apoyado sobre una mesa sn rozamento está sujeto a un muelle horzontal que ejerce una fuerza f = k x, donde k = 400 N/m. El bloque se comprme hasta la poscón x = 5 cm. Calcula el trabajo que realza para llevar el bloque hasta la poscón x f = 0. k m x x f Resolveremos el problema de dos maneras, analítcamente y geómetrcamente a partr de la representacón de la funcón fuerza.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 5 ) Analítcamente. W = xf x f(x) dx = ) Geométrcamente 1. xf x ] xf ( kx) dx = k x2 = k ( ) x 2 2 x 2 f x 2 = 0,5 J f a x x f x b W = 1 2 b a = 1 2 (x f x )f(x ) = 0,5 J 2.2. Expresón general de trabajo Consderemos ahora una partícula con vector de poscón r desplazándose en el espaco bajo la accón de una fuerza, f, varable. Se defne el trabajo realzado por la fuerza como: En componentes, W = W = f.d r. (f x dx + f y dy + f z dz). La ntegral se evalúa sobre la curva que conforma la trayectora de la partícula y se denomna por esa razón ntegral de línea. En general, cuando evaluamos el trabajo que realza una fuerza para trasladar la partícula desde hasta f, no es lo msmo hacerlo por la trayectora c 1 que por la c 2. En cada caso la ntegral se realzará de forma dferente y los resultados serán dstntos. 1 Nótese que el trabajo, en general, puede tener un valor postvo o negatvo. Con el método geométrco sólo se puede obtener el valor del trabajo en módulo, puesto que un área es, por defncón, un número postvo.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 6 c 1 c 2 f 2.2 Ejemplo Calcúlese el trabajo realzado por la fuerza f = xy (N) para desplazar una partícula desde : (0, 3) hasta f : (3, 0) a lo largo de las trayectoras: 1) Recta que une y f. 2) Arco de la crcunferenca centrada en el orgen de coordenadas que pasa por esos puntos. y c 2 c 1 f x 1) Ecuacón de la recta: y = 3 x. W f = f.d r = xy dx = 3 2) Ecuacón de la crcunferenca: x 2 + y 2 = 9. W f = 0 xy dx = x(3 x) dx = 3 2 x2 x3 3 x(9 x 2 ) 1/2 dx. = 4,5 J. Hacendo el cambo de varables: u 9 x 2 resulta 2xdx = du. W f = 1 u 1/2 du = 1 2 2 2 3 u3/2 = 1 ] 3 3 (9 x2 ) 3/2 = 1 3 93/2 J = 9 J Como vemos, el trabajo realzado en las dos trayectoras, aunque concdan los puntos ncal y fnal son dferentes. 0
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 7 En un desplazamento nfntesmal, la expresón general del trabajo vene dada por: δw = f. dr. La notacón, δ, para el trabajo elemental se utlza en algunos lbros para representar que depende de la trayectora recorrda. Se dce que la dferencal es nexacta. Cuando varas fuerzas, {f } ( = 1, 2... n) actúan sobre una partícula, el trabajo neto es la suma de cada uno de los trabajos: dw = n dw = =1 n f.d r. =1 3. Potenca Desde un punto de vsta práctco, es a menudo más nteresante saber no sólo el trabajo realzado por una fuerza sobre un objeto, sno la rapdez con que se realza. Esto es especalmente mportante en Ingenería, donde es relevante tanto el trabajo que realza, por ejemplo, un motor como el tempo que tarda en ejecutarlo. Se defne la potenca meda al realzar un trabajo W como: P m = W t, donde t es el tempo que se emplea en su realzacón. Las dmensones de la potenca son: [P m ] = [W ] t Undades habtuales de la potenca: S.I. wato (W)=J/s = ML2 T 2 T = ML 2 T 3. Caballo de vapor (CV) 1 CV=735,50 736 W. Se defne como la potenca necesara para elevar una masa de 75 kg 1 metro de altura en 1 s. No debe confundrse con el horsepower (HP ó hp), undad de potenca de orgen anglosajón equvalente a 745,70 746 W. A partr del wato se defne una undad de trabajo muy utlzada, el kw.h: 1 kw.h = 1000 J/s 3600 s = 3,6 10 6 J.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 8 Se defne la potenca nstantánea realzada por una fuerza como: W P = lím t 0 t = dw dt, es decr, es el trabajo nfntesmal realzado por la fuerza por undad de tempo. De otro modo: dw = f.d r = f. v dt P = dw dt = f. v. 3.1 Ejemplo Un elevador tene una masa de 1000 kg y lleva una carga de 800 kg. Una fuerza de rozamento constante de 4000 N se opone a su movmento. Cuál debe ser la potenca mínma del motor para subr la carga con una velocdad constante de 3 m/s? Fuerzas sobre el ascensor: T f r (m a + m c )g = 0 T = f r + (m a + m c ) g = 2,16 10 4 N P = f. v = T. v = T v = (f r + mg)v = 64,9 kw 4. Energía cnétca. Teorema trabajo-energía Todo cuerpo en movmento tene la capacdad de realzar un trabajo a partr de una dsmnucón de su velocdad. Como ejemplos se pueden consderar un martllo golpeando un clavo, una bala mpactando contra una pared de acero o una pedra golpeando a otra pedra. Estos hechos sugeren estudar con más detalle la relacón exstente entre el estado de movmento de una partícula y su posble capacdad para realzar trabajo. Como la fuerza que la partícula ejerce sobre el exteror es la msma que se ejerce sobre ella (prncpo de accón y reaccón): dw = f.d r = m a.d r = m a. vdt = m v.d v Por otra parte, se puede expresar: d(v 2 ) = d( v. v) = 2 v.d v Susttuyendo en la prmera ecuacón: dw = f.d r = 1 2 m d(v2 ) W = f.d r = 1 2 m d(v 2 ) = 1 2 mv2 f 1 2 mv2
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 9 ( ) 1 W = 2 mv2 E c Este resultado se denomna teorema trabajo-energía. La magntud E c = (1/2) mv 2 se llama energía cnétca de la partícula y el teorema afrma que el trabajo que realza la partícula es gual a la varacón de su energía cnétca. Pero tambén se puede nterpretar en sentdo opuesto. Para cambar la energía cnétca de la partícula hay que realzar un trabajo sobre ella que es gual a su varacón. La energía cnétca es una magntud escalar, que sólo depende de la masa y la velocdad de la partícula y que tene las msmas dmensones que el trabajo ([E c ] = ML 2 T 2 ). No puede ser nunca negatva. 5. Fuerzas conservatvas y energía potencal Se dce que una fuerza es conservatva s el trabajo que realza para trasladar una partícula desde un punto cualquera hasta otro cualquera f es ndependente de la trayectora que recorre la partícula. y f y x x O de modo equvalente, una fuerza es conservatva s el trabajo que realza sobre una partícula cuando esta descrbe una trayectora cerrada es cero. Matemátcamente: f.d r = 0. Basándonos en esta defncón, s una fuerza es conservatva sempre se puede defnr una funcón, U, de manera que el trabajo realzado por la fuerza sea, W f = U U f. Esto es una expresón matemátca de que el trabajo sólo depende de las característcas de los estados ncal y fnal de la partícula. U = U f U = W f = f.d r.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 10 En un desplazamento nfntesmal: du = f.d r. Esta funcón, U, con dmensones de trabajo o energía se denomna energía potencal asocada a f. 5.1 Ejemplo Energía potencal del campo gravtatoro terrestre (en las proxmdades de la superfce de la Terra). S elegmos P = mg j, donde U 0 = U(y = 0). du = f.d r = P.d r. du = mgdy U = U 0 + mgy, Este es un ejemplo partcular de una fuerza constante que es conservatva. Veremos a contnuacón que cualquer fuerza constante (en módulo, dreccón y sentdo) es conservatva. Sea f una fuerza vectoralmente constante que desplaza una partícula desde r hasta r f. Veremos que el trabajo que realza para desplazarla sólo depende de los puntos ncal y fnal. W f = f.d r = f x dx + f y dy + f z dz = f. r f f. r. Luego el trabajo es ndependente de la trayectora, y entonces la fuerza es conservatva. Para encontrar la energía potencal asocada a esta fuerza hay que obtener la funcón que verfca, W f = U U f. En este caso es evdente que U = f. r. Pero no sólo las fuerzas constantes son conservatvas. Una fuerza dependente de la dstanca, como es por ejemplo la que ejerce un muelle sobre una certa masa es otro ejemplo de fuerza conservatva. 5.2 Ejemplo Supongamos un muelle horzontal undo a una masa m. La fuerza que ejerce el muelle es proporconal a su elongacón y se puede poner como: f = kx. Calculemos el trabajo que hace el muelle para desplazar la masa entre dos puntos arbtraros. W f = f.d r = xf x kx dx = k 2 (x2 f x 2 ).
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 11 Luego el trabajo efectuado en una trayectora arbtrara no depende de las peculardades de la trayectora, sno smplemente de las poscones ncal y fnal de la partícula. En conclusón, la fuerza es conservatva. W f = U U = U 0 + k 2 x2. Esta es la energía potencal asocada al muelle. U 0 es un valor de referenca que suele tomarse gual a cero. De este modo, la energía potencal del muelle en su poscón de equlbro (x = 0) es nula. 6. Análss de curvas de energía potencal Supongamos por sencllez un sstema undmensonal con una únca coordenada x. S sobre el sstema actúa una fuerza conservatva, f, se verfca: du = f.d r = f x dx. Por lo tanto, la fuerza es la dervada de U respecto a x: f x = du dx. Dedcaremos esta seccón a estudar cómo el análss de la funcón energía potencal de un sstema permte conocer su comportamento dnámco. Es decr, consderando como dato conocdo de un certo problema la funcón energía potencal, nos preguntaremos cómo es la dnámca del sstema. Este tpo de planteamento en Físca es muy habtual, pues en muchas ocasones es la energía potencal de un sstema la magntud más drectamente calculable. Como ejemplo de análss de curvas de energía potencal, estudaremos el comportamento dnámco de una masa conectada a un muelle horzontal, a través de su energía potencal, que como vmos anterormente vale: U = 1 2 kx2. Esta funcón se representa en la fgura adjunta. U' < 0 U U' > 0 f x f x x U'= 0, f = 0 x
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 12 Su dervada en cada punto, es decr, la pendente de la recta tangente, representa la fuerza (con sgno opuesto) que actúa sobre la masa. Para x < 0, la pendente es negatva, luego la fuerza es postva. Además la pendente, es mayor (en módulo) cuanto más alejados estamos del orgen. Luego la fuerza aumenta con la dstanca a x = 0. En ese punto, U = 0 y la partícula no expermenta fuerza n aceleracón (lo cual no quere decr que en ese punto esté en reposo). Para x > 0 U > 0, con lo cual la fuerza es negatva. S está stuada la partícula ncalmente en x = 0, y se la somete a una pequeña perturbacón tratando de alejarla de ese punto, el muelle reaccona con una fuerza que se opone a esa perturbacón y trata de retornar la partícula a x = 0. Se dce que este punto es de equlbro estable. Matemátcamente se caracterza porque es un mínmo de la funcón U = U(x): U = 0 y U > 0. Consderemos ahora otro tpo de funcón U = U(x), con un máxmo local, tal y como muestra la fgura. U U'= 0, f = 0 x U' > 0 U' < 0 f x f x x Ahora s la partícula está ncalmente en el máxmo de la funcón (x = 0 en este caso sencllo) y se ve sometda a una pequeña perturbacón, la fuerza que expermenta es tal que tende a alejarla defntvamente de ese punto. Se dce que la poscón del máxmo de U, es un punto de equlbro nestable. Puede haber tambén curvas de energía potencal con puntos de equlbro ndferente o neutro que son aquellos puntos de equlbro, en que una pequeña perturbacón hace que la partícula pase a otro punto de equlbro adyacente. Geométrcamente estas regones son mesetas en U(x).
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 13 U equlbro nestable equlbro neutro equlbro estable 6.1 Ejemplo La energía potencal de un par de átomos (denomnado potencal de Lennard-Jones) de un gas tene la forma: [ (σ 12 ( σ ) ] 6 U(x) = 4ε, x) x donde ε y σ son constantes que dependen de las peculardades de los átomos. a) Obténganse los estados de equlbro. b) Dbújese la curva de energía potencal. a) du dx = 0 12σ12 x 13 + 6σ 6 x 7 = 0 2σ 6 x 13 = x 7 = x e = 2 1/6 σ. Sólo hay un punto de equlbro y es fácl demostrar que es estable. Basta comprobar que U (x e ) > 0. Ceros de la funcón: [ ] σ 12 U(x e ) = 4ε 2 2 σ 12 σ 6 2 σ 6 [ 1 = 4ε 4 1 ] = ε. 2 ( σ ) 12 ( σ ) 6 U(x) = 0 = x = σ. x x x
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 14 150 U (x) 100 50-50 -100 x=2 1/6 1/6 x e=2 σ U(x )= - ε e 4 5 6 7 x 8 En el caso de sstemas trdmensonales se puede hacer un planteamento semejante, pero ntroducendo un operador habtual en análss dferencal en varas varables, que es el concepto de gradente 2. 6.2 Ejemplo du = f.d r f = U. Calcúlese la fuerza asocada a la energía potencal dada por la funcón: U(x, y, z) = k x 2 yz, donde k es una constante. f = U f x = U x = 2kxyz f y = U y = kx2 z f z = U z = kx2 y = f = k(2xyz + x 2 z j + x 2 y k). 2 Dada una funcón escalar, f = f(x, y, z), se defne su gradente en coordenadas cartesanas, como el vector dado por: f = f x + f y j + f z k.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 15 7. Conservacón de la energía 7.1. Sstemas conservatvos Supongamos una fuerza conservatva actuando sobre una partícula. Según el teorema trabajoenergía, se verfca: W = f.d r = E c. Además, por ser la fuerza conservatva, exste una funcón energía potencal que satsface: W = U. Igualando ambas ecuacones: W = E c = U (E c + U) = 0 E c + U E = cte. La suma de las energías cnétca y potencal de la partícula recbe el nombre de energía mecánca. Y la ecuacón que acabamos de demostrar sgnfca que s sobre una partícula sólo actúan fuerzas conservatvas, la energía mecánca total, E = E c + U, permanece constante. De aquí el nombre de fuerza conservatva. U E E c -x r U x r x Es nteresante dar una nterpretacón geométrca a este prncpo. Supongamos que una fuerza conservatva con energía potencal, U, actúa sobre la partícula. Como la energía mecánca es constante, se puede representar medante una línea horzontal de un gráfco que representa las energías del sstema frente a su poscón. En cualquer punto, U vene dada por la curva, U = U(x), y la dferenca con E será la energía cnétca de la partícula. Así por ejemplo en un estado de equlbro, como el de la fgura, la energía potencal es cero, y por tanto, E = E c. En
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 16 ese punto la velocdad de la partícula es máxma. Aquí se comprueba cómo en un estado de equlbro la partícula no tene porqué estar en reposo. Su aceleracón es nula (no hay fuerzas), pero su velocdad no tene porqué serlo. En los puntos de corte de E con U, E c = 0. Se denomnan puntos de retorno y en ellos camba el módulo de la velocdad de la partícula y la energía potencal es máxma. Conocendo la energía mecánca y potencal de una partícula, calcular su velocdad en cualquer poscón es sencllo a partr de esta expresón: 7.1 Ejemplo [ ] 1/2 1 2 2 mv2 + U(x) = E v = (E U(x)). m Un esquador ncalmente en reposo en lo alto de una psta (a una altura h respecto a la horzontal) se dspone a ncar un descenso. Calcúlese su velocdad en funcón de la altura. v(y) h y t=0 t S desprecamos el rozamento, la únca fuerza que actúa sobre él es la gravtatora, que es conservatva. Para calcular E podemos utlzar cualquer nstante, por ejemplo, el ncal. En este punto: 1 E = 2 mv2 + mgh = mgh En otro punto cualquera (cuando el esquador está a una altura y respecto a la horzontal): E = 1 2 mv2 + mgy = mgh v = [2g(h y)] 1/2.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 17 7.2. Sstemas no conservatvos Cuando sobre un sstema actúan fuerzas no conservatvas, su energía mecánca total no permanece constante. Supongamos una partícula sometda tanto a fuerzas conservatvas como no conservatvas: f = f c + f nc. Como el teorema trabajo-energía es váldo para cualquer tpo de fuerzas: W t = f c.d r + f nc.d r = E c = W c + W nc. Para la fuerza conservatva se puede defnr una energía potencal de forma que W c = U. Entonces: E c = U + W nc W nc = E c + U = E. Esta expresón se denomna teorema generalzado trabajo-energía y sgnfca que s sobre una partícula actúan fuerzas no conservatvas, la varacón de su energía mecánca total es precsamente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella. 7.2 Ejemplo Una nña de masa 17 kg comenza a deslzarse desde el reposo por un tobogán. La parte superor está a 2 m de altura sobre el suelo. S su velocdad fnal es de 4,2 m/s, cuál es el trabajo efectuado por las fuerzas de rozamento? Las fuerzas que actúan sobre la nña son: peso, rozamento con el are y el tobogán y fuerza normal. Las de rozamento no son conservatvas y la normal no ejerce trabajo, luego el únco trabajo no conservatvo es el asocado a las fuerzas de rozamento: W nc = E = E c + U E c = E cf E 0 c = E cf = 1 2 mv2 f U = 0 U f U = mgh = W nc = E cf U = 1 2 mv2 f mgh = 180 J. 7.3. Prncpo de conservacón de la energía Macroscópcamente las fuerzas no conservatvas sempre están presentes. Las más famlares son las de rozamento, pero exsten otras (como las magnétcas). Por ejemplo, al empujar una
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 18 caja sobre una superfce rugosa, podemos nterpretar que la varacón de energía mecánca de la caja es gual al trabajo que hacemos para vencer el rozamento. Pero la experenca dce que en el proceso, la superfce de contacto se calenta. Otra forma de nterpretar este hecho es dcendo que la energía mecánca que se perde se transforma en otro tpo de energía, la térmca. Este tpo de deas surgó en el s. XIX, con el desarrollo de la Termodnámca. Hoy en día se admte que la energía n se crea n se destruye, smplemente se transforma. En Mecánca, sólo se manejan habtualmente las energías cnétca, potencal y mecánca, pero s se ncluyen otras energías que provenen de otras ramas de la Físca, la energía total sempre es constante. Otros tpos de energía son la nterna (asocada a la estructura nterna de un cuerpo), la químca (que se pone en juego al producrse reaccones químcas), la eléctrca, la magnétca, etc. La ley de conservacón de la energía no tene demostracón matemátca, es un Prncpo y se admte como tal. Se justfca dcendo que no se ha observado nunca nnguna stuacón físca en que no se satsfaga.
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 19 8. Problemas 1. Un cajón de 48 kg es arrastrado 8 m por una rampa haca arrba medante una cuerda de tensón T = 540 N. S el ángulo que forma la rampa con la horzontal es de 30 o y el coefcente de frccón cnétco es µ c = 0,4, determna el trabajo realzado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cajón. (Respuestas: W T = 4,3 kj; W g = 1,9 kj; W N = 0; W r = 1,3 kj) 2. Un trneo comenza a deslzarse desde el reposo en la cma de una colna sguendo un camno cuberto de neve y con el perfl de la fgura. El tramo fq es crcular con rado R. Desprecando cualquer tpo de rozamento: a) Determna el módulo de la velocdad del trneo en f. b) Cuál es la fuerza normal ejercda por la superfce en ese punto? c) Cuánto valen el módulo de la velocdad y la fuerza normal en el punto q? (Respuestas: a) v f = (4gR) 1/2 ; b) N = 5mg; c) v q = (2gR) 1/2 m/s; N = 2mg) 2R R R q f 3. Consdérese un automóvl de masa m que se acelera haca arrba por una pendente que forma un ángulo θ con la horzontal. Supóngase que la magntud de la fuerza de rozamento que se opone a su movmento está dada por: f a = 218 + 0,7 v 2 (N) Calcúlese la potenca que debe sumnstrar el motor. En partcular, consdérese el caso, m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s 2 y θ = 10 o. (Respuestas: P = mav + mvg sen θ + 218 v + 0,7 v 3 = 52,0 + 89,0 + 7, 9 + 18,0 = 167,0 CV)
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 20 4. Un péndulo formado por una cuerda de longtud L y una partícula de masa m forma ncalmente un ángulo θ 0 con la vertcal. Determna la velocdad de la partícula y la tensón de la cuerda en el punto más bajo de la trayectora cuando se deja osclar lbremente desde el reposo. (Respuestas: v = [2gL(1 cos θ 0 )] 1/2 ; T = mg(3 2 cos θ 0 )) 5. Un muelle de constante k está colgado vertcalmente. Se ata a su extremo lbre una masa m y se deja el sstema lbre desde el reposo. Determna la máxma dstanca que cae el bloque. (Respuestas: y m = 2mg k ) 6. Determna para una máquna de Atwood de masas m 1 y m 2 la velocdad de los bloques cuando el más pesado descende una altura h. (Respuestas: v 2 = 2 m 2 m 1 m 1 + m 2 gh) 7. Una partícula está sometda a una fuerza f = 6xy + 3(x 2 y 2 ) j (N). Calcula el trabajo realzado por esta fuerza para desplazar la partícula del punto O = (0, 0) al A = (1, 1) (coordenadas en metros), a lo largo de cada uno de estos camnos: 1) De O a B = (1, 0) por una recta horzontal y de B a A por una recta vertcal. 2) De O a A a lo largo de la recta y = x. 3) De O a A a lo largo de la parábola y = x 2. (Respuestas: W = 2 J en los tres camnos.) 8. La fgura muestra un sstema bdmensonal formado por dos muelles de constantes k 1 y k 2. Determna las componentes de la fuerza total expermentada por el cuerpo conectado en el extremo de coordenadas (x, y). (Respuestas: f = [k 1 x + k 2 (x c)] y(k 1 + k 2 ) j)
k 1 k 2 Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 21 y (x,y) (0,0) (c,0) x 9. Una partícula está sometda a una fuerza f = xy (N). Calcula el trabajo realzado por esa fuerza para desplazar la partícula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a lo largo de los sguentes camnos: 1) A lo largo de la recta que une A y B. 2) A lo largo del arco de crcunferenca con centro en el orgen de coordenadas y extremos A y B. (Respuestas: a) W = 4,5 J; b) W = 9 J) 10. Un muelle de constante elástca k y masa desprecable está apoyado sobre una superfce horzontal y mantene su eje vertcal. Sobre su extremo lbre se apoya una masa m y se comprme el muelle una longtud d, en cuyo momento se suelta. Calcula: a) La altura máxma que alcanza la masa. b) A qué altura tendrá la masa su velocdad máxma? c) Qué valor tene la velocdad máxma? (Respuestas: a) y m = kd2 2mg ; y max = d 2 mg 2k ) 11. Sobre una partícula actúa una fuerza F = (2y 2, 3x 2, 0) N. Hállese el trabajo realzado por dcha fuerza para r de A a B. Prmero por el camno AB de la porcón de la parábola y = x2. Segundo, a lo largo de la trayectora AC-CB. Repítase el cálculo s la fuerza es: 3 F = (2x 2, 3y 2, 0) N. (Respuestas: 1) W = 51,3 J; 2) W = 54,0 J; 3) W = 45,0 J; 4) W = 45,0 J)
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 22 12. La funcón energía potencal de una partícula de masa 4 kg en un campo de fuerzas vene descrta por: E p = 3x 2 x 3 para x 3 y E p = 0 para x 3 en donde E p se expresa en julos y x en metros. a) Para que valores de x la fuerza F x es cero? b)hágase un esquema de E p en funcón de x. c) Dscute la establdad del equlbro para los valores de x obtendos en a). d) S la energía total de la partícula es 12 J cuál es su velocdad en x = 2 m? (Respuestas: a) x = 0; x = 2 m; x 3 m; d) v = 2 m/s) 13. Consdérese el sstema de la fgura, en el que m = 4 kg y M = 16 kg. Por accón de la fuerza F, los bloques deslzan sn rozamento, encontrándose que el desplazamento del bloque mayor vene dado por x = 2t 3 (x en m, t en s). Calcúlese: a) La aceleracón del cuerpo pequeño a los 5 s. b) Las tensones de las cuerdas en el msmo nstante. c) El valor de F a los 2 s. d) El trabajo desarrollado por la fuerza F a los 2 s. e) El ncremento de energía cnétca de m a los 2 s y comprobar el teorema del trabajo y la energía. (Ayuda: Cuando m se desplaza una dstanca x 1, la masa M se desplaza el doble x 2 = 2x 1.) (Respuestas: a) a = 30 m/s 2 ; b) T 1 = 1920 N; T 2 = 960 N; c) F = 816 N; d) W = 4896 J; E c = 288 J)
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 23 14. Una partícula, partendo del reposo, se suelta en la parte superor de un clndro crcular de rado 3 m, como se muestra en la fgura. a) Calcula el punto P donde la partícula abandona el clndro. b) Calcula la dstanca desde el centro O del clndro hasta el punto en que la partícula toca el suelo. (Respuestas: a) φ = 41,8 o ; b) d = 3,39 m) 15. Una partícula de masa 0, 5 kg parte del reposo, y después de efectuar un rzo de rado 2 m como ndca la fgura, comprme un resorte de constante elástca 400 N/m. S la superfce BD presenta un rozamento de coefcente 0, 15, la velocdad en el nstante en que la partícula empeza a comprmr el resorte es la mtad que tene la partícula en el punto P y la reaccón del ral sobre la partícula en el punto P es nula. Calcula: a) La altura desde donde parte la partícula. b) La velocdad en el punto P. c) El espaco máxmo (en mm) que se comprme el resorte. d) El espaco horzontal recorrdo por la partícula hasta pararse. (Respuestas: a) h = 5 m; b) v P = 4,43 m/s; c) x = 76,45 mm; s = 31,74 m)
Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía 24 16. Un bloque de 10 kg está undo a un resorte A y se conecta a un resorte B medante una cuerda y una polea. El bloque se mantene en la poscón que ndca la fgura, con ambos resortes sn deformar, cuando se elmna el soporte C y se suelta el bloque sn nnguna velocdad ncal. S la constante de cada resorte es de 2 kn/m, determne la velocdad del bloque después de que se ha movdo haca abajo 50 mm. (Respuestas: v = 0,60 m/s)
Índce alfabétco Caballo de vapor undad de potenca, 7 Conservacón de la energía, 15 Conservatva fuerza, 9 Dferencal nexacta, 7 Energía cnétca, 8 mecánca, 15 potencal, 9 Equlbro estable, 12 ndferente, 12 nestable, 12 neutro, 12 Ergo undad de energía, 3 Fuerza conservatva, 9, 15 constante, 10 no conservatva, 17 Lennard-Jones potencal, 13 Muelle horzontal, 4 Potenca, 7 Potencal Lennard-Jones, 13 Prncpo de conservacón de la energía, 17 Punto de retorno, 16 Teorema generalzado trabajo-energía, 17 trabajo-energía, 8 Trabajo expresón general, 5 nfntesmal, 3 neto, 7 Wato undad de potenca, 7 Gradente, 14 Integral de línea, 5 Julo undad de energía, 3 25