IV. Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de Probabilidad 1
Variable Aleatoria Continua Definición Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o infinito) de números reales. Por ejemplo, una v.a. continua puede ser el tiempo de retraso con el que un alumno o un profesor llega al aula de clases ó también el peso o la estatura de los estudiantes de la FE.
La función de densidad de una variable aleatoria continua La función f() es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida sobre el conjunto de los números reales, sí: 1.- f() 0 R.- f ( ) d = 1 3.- P ( a X b) = P( a < X b) = P( a X < b) ( ) ( ) = P a < X < b = fx d b a 3
La función de densidad de una variable aleatoria continua Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como lo ilustra la figura 4.1 La gráfica de f(), se conoce a veces como curva de densidad. d Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como lo ilustra la figura. La gráfica de f(), se conoce a veces como curva de densidad. 4
La función de densidad de una variable aleatoria continua Propiedades Para una v.a. X, f X () satisface las siguientes propiedades: 1. f () 0,. f ( ) d = 1 X P 1 X = f X d 3. ( ) ( ) 1 Note además que P(X = c) = 0, para cualquier número real c. 5
La función de densidad de una variable aleatoria continua Ejemplo Un profesor de la UNAM nunca termina su clase antes del término de la hora, mas nunca se pasa de minutos de ésta. Sea X : el tiempo que transcurre entre el término de la hora y el término efectivo de la clase. Suponga que la fdp de X viene dada por: f X ( ) k 0 = 0 dom... 6
La función de densidad de una variable aleatoria continua 1. Encuentre el valor de k.. Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de un minuto después del término de la hora? 3. Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 segundos después del término de la hora? 4. Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 segundos después del término de la hora? 7
La función de densidad de una variable aleatoria continua a 0 ) X ( ) = + + 0 f d 0d k d 0d k = 3 = 3 0 8 k 3 Como 8 3 f X ( ) d = 1 k = 1 k = 3 8 ( ) = 3 3 d 1 1 1 1 b ) P X 1 = = = 0,15 0 8 8 0 8 8
La función de densidad de una variable aleatoria continua ( ) 1,5 ) 1 1,5 = 3 1 d 8 1 8 cp X = ( ) 19 = 3 3 0,969 64 1,5 3 3 = 1 1,5 8 0 8 d ) P X 1,5 = d d 3 1 3 7 37 = 8 64 64 = 1 1 = 0, 5781 0 1 9
Función de Distribución Acumulada La distribución acumulada F() de una variable aleatoria continua X, con una función de densidad f() es: para F() () = P(X ) = f ( s ) ds De la definición de función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua se deducen las propiedades p siguientes: 1.- F( ) = 0.- F( ) = 1 3.- P( 1 X ) = F( ) F( 1 ) df ( ) 4.- = f ( ) d 10
Función de Distribución Acumulada 11
Función de Distribución Acumulada Se ilustra el cálculo de probabilidades entre a y b como una diferencia entre las probabilidades acumuladas en la fda ( áreas ). Cálculo de P a X b acumuladas. ( ) a partir de las probabilidades 1
Esperanza Matemática Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(). Se llama esperanza matemática o valor esperado, valor medio o media de X al número real. E ( X ) = μ = f ( ) d Significado de la esperanza Como valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización. 13
Esperanza Matemática Ejemplo: La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) vendida a una empresa en particular proveedora de materiales para la construcción, en una semana dada, es una v.a. X continua con fdp: f X ( ) ( ) 3 1 0 1 = 0 0 de otra manera Cuántas toneladas esperarías que se vendan durante esa semana? 14
Esperanza Matemática Solución: Por definición tenemos: 1 3 = = = = 8 0 E X f d 1 d 0,375 ( ) ( ) 3 ( ) X Lo cual significa que esperaríamos que se vendieran 0,375 [Ton] ó 375 [kg] de grava a la empresa proveedora de materiales para la construcción. 15
Esperanza Matemática 16
Varianza Definición Medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada elemento de la población. Sea X una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f() y media μ. La varianza de X es calculada por medio de: σ [ ] ( X μ) = ( μ) f ( ) d = f ( ) d μ = E 17
Desviación estándar 18
IV.1. La distribución Uniforme 19
IV.1. La distribución Uniforme b f ( ) d = 1 a μ = b + E [ ] = Var() () = ( b a) 1 a 0
IV.1. La distribución Uniforme Densidad de una v.a. Uniforme 1
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial 0 λe λ d b λ lim e b λ 0 d 3
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial Sea: Entonces: lim b e λ t = dt d dt e λ = λe λ λ = λe λ d λ ( λ) d = lim e ( λ ) b b 0 b 0 d Realizando el cambio de variable Sustituyendo: t lim b b 0 e t dt = lim b ( t e ) λ = e ( λ ) b = lim e b 0 b 0 1 = lim b e λ b 0 4
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial Evaluando la integral: 1 1 1 = lim lim = 0 lim b λ b b λ ( 0) 0 e b e e [ ( )] lim 1 = lim ( 1 ) = 1 1 = 0 lim = = b 1 b b Lo cual queda demostrado. 5
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial Función de distribución: Demostración: F( ) = 0 λe λ t dt La integral se resuelve por cambio de variable: Sea: w = e λt dw t = λe λ d dw = λe λt dt 6
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial Entonces: t F = ( ) λe λ dt 0 λt ( λ) dt = e ( )dt λt F( ) = e λ 0 0 Realizando el cambio de variable: F F λt ( ) e ( ) = λ dt 0 w ( ) e dw = = 0 e w 0 7
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial F( ) F ( ) F( ) F( ) F ( ) = e = e = = = 1 w 0 λt 0 [ ( )] λ λ 0 e e [ ] λ 0 e e e λ 8
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial La media y la varianza de la distribución eponencial son: 1 E() ( ) = λ 1 Var ( ) = λ Respectivamente. 9
IV.. Distribución de Probabilidad Eponencial Propiedad de la pérdida de memoria de la distribución eponencial. 1. La distribución eponencial carece de memoria, es decir: t P (X > + > ) = P(X > t) X. La distribución eponencial es la generalización al caso continuo de la distribución Geométrica. 3. La distribución eponencial aparece, en ocasiones, caracterizada utilizando como parámetro la media, 1 E( ) = μ = λ 4. La distribución eponencial se caracteriza por tener una razón de fallo constante; la probabilidad de fallar en cualquier intervalo no depende de la vida anterior. Es, por lo tanto, adecuada para describir la aparición ió de fallos al azar. La razón de fallo fll viene dada dd por: h(t) = λ. 30
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal El 1 de noviembre de 1733, Abraham DeMoivre desarrolló la ecuación matemática de la curva normal. De igual manera proporcionó una base sobre la cual se fundamenta una gran parte de la teoría de la estadística inductiva. A la distribución normal se le llama también Distribución Gaussiana en honor a Karl Friedrich Gauss. 31
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal Definición Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ, siendo μ un número real cualquiera y σ > 0, siendo su función de densidad de probabilidad de la forma siguiente: Con: f < < < μ < σ > 0 ( ) = ( μμ ) 1 σ e πσ 3
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal Para ser una función de densidad de probabilidad debe de satisfacer las siguientes condiciones. 1. Que f() 0para toda que pertenece a los números reales. Que por ser una función eponencial lo cumple.. f ( ) d = 1 33
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal Propiedades. 1. Es unimodal.. La moda, mediana y moda poseen el mismo valor. 3. El dominio de f() son todos los números reales y su imagen está contenida en los reales positivos. 4. Es simétrica respecto de la recta μ. Esto se debe a que: f(μ + ) = f(μ ) 5. Tiene una asíntota horizontal en y = 0 En efecto y = 0 es una asíntota horizontal, ya que: 34 ( ) 0 lim f =
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal 6. Alcanza un máimo absoluto en el punto: μ, 1 π σ Demostración Sea: f ( ) 1 = e πσ ( ) 1 μ σ 35
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal Derivando con respecto a μ. f f Igualando a cero: ( ) ( ) = = ( μ ) ( μ) ( ) 1 σ e 1 πσ ( μ ) 1 σ ( μ) σ e πσ σ ( μ ) ( μ ) 1 σ e = πσ σ 0 De donde resulta: μ = 0 = μ 36
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal IV 3 Distribución de Probabilidad Normal IV.3. Distribución de Probabilidad Normal IV.3. Distribución de Probabilidad Normal Obteniendo la segunda derivada: ( ) ( ) ( ) + = 1 σ σ μ σ μ f f f ( ) ( ) ( ) ( ) + = 1 4 σ σ μ σ σ σ f f f ( ) ( ) ( ) = 1 4 σ σ μ σ σ f f ( ) ( ) ( ) = 1 1 μ σ σ f f ( ) ( ) σ σ f f 37
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal De donde resulta: Entonces: Y como: Por lo tanto: 1 σ ( ) = f f f(μ) < 0 = μ ( μ) = 1 πσ Lo que prueba que el máimo se encuentra en: 38 1 μ, μσ
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal 7. Es creciente en el intervalo (, μ) y decreciente en (μ, ): Si < μ, es f () > 0, entonces la función es creciente Si > μ, es f () < 0, entonces la función es decreciente 39
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal 8. Posee dos puntos de infleión en: = μ σ = μ + σ Considerando la segunda derivada, la obtenida en el punto seis, e igualando a cero: 1 ( ) ( μ) f 1 = 0 σ σ Despejando: ( μ) = 1 σ De donde resulta: ( μ) = σ Por lo tanto: μ = σ y μ = σ = σ + μ y = μ σ 40
IV.3. Distribución de Probabilidad Normal 9. Los parámetros μ y σ son la media y la varianza respectivamente. 41
IV31 IV.3.1. Distribución Normal Tipificada Teorema. Si X tiene una distribución normal con la media y la desviación estándar, entonces: X μ Z = σ Donde: X es la variable de interés. μ: es la media. σ: es la desviación estándar Z: es el número de desviaciones i estándar ád de X respecto a la media de esta distribución. La distribución normal estándar tiene media cero y varianza 1, y se denota como N(0,1). 4
IV31 IV.3.1. Distribución Normal Tipificada Propiedades. 1. Su dominio son todos los números reales y su imagen son los números reales positivos.. Es simétrica respecto al eje de ordenadas. 3. Tiene una asíntota horizontal en y = 0. 1 4. Alcanza un máimo absoluto en el punto (0, ). π 5. Es creciente en el intervalo (, 0) y decreciente en el intervalo (0, ). 6. Posee dos puntos de infleión en = 1 1 y = 1, respectivamente. 43
IV31 IV.3.1. Distribución Normal Tipificada Áreas de la normal: 1. Aproimadamente el 68% de todos los valores se encuentran dentro de una desviación estándar.. Aproimadamente el 95.5% de todos los valores se encuentran dentro de dos desviaciones estándar. 3. Aproimadamente el 99.7% de todos los valores se encuentran dentro de tres desviaciones estándar. 44
IV31 IV.3.1. Distribución Normal Tipificada 45 Probabilidades bilid d asociadas con una distribución ib ió normal
Ejemplos de distribución normal Ejemplo 1 El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno traseras de otro vehículo al desacelerar, es crítico para ayudar a evitar una colisión. Suponga que esta variable se puede modelar como una distribución normal con media de 1,5 segundos y desviación estándar de 0,46 segundos. Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre 1 y 1,75 segundos? 46
Ejemplos de distribución normal Solución: 47
Ejemplos de distribución normal A continuación se muestra el cálculo de esta probabilidad en forma gráfica, mostrando la equivalencia en el área entre la distribución normal y la estándar 48
Ejemplos de distribución normal Ejemplo En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye normalmente con media 30 y varianza. Determinar: a) Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31 periódicos b) Determinar el máimo número de periódicos que se venden en el 90% de las ocasiones 49
Ejemplos de distribución normal 50
Ejemplos de distribución normal Ejemplo 3. Los pesos de 000 soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: a) Más de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg. c) Menos de 70 kg. d) Más de 75 kg 51
Ejemplos de distribución normal 5
Ejemplos de distribución normal Ejercicio En un estudio estadístico sobre la altura de los españoles y de los ingleses. Se han obtenido los siguientes datos: Nacionalidad Españoles Ingleses Media 170. 175.4 Desviación típica 6.4 5.9 a) Quién es más alto en su país, un español que mide 177 cm o un inglés que mide 181 cm? b) Cuál es la probabilidad de que un español mida más de 180 cm? c) Cuál es la probabilidad de que un ingles mida entre 160 y 170 cm? d) Cuál es la probabilidad de que un español sea más alto que un inglés? 53
Ejemplos de distribución normal 54
Apéndice Distribución de Probabilidad Normal f ( ) d = 1 Demostración Sea: f ( ) Como: = I ( μ ) 1 σ e πσ ( ) ( μ ) 1 σ = f d = e d πσ Estableciendo la siguiente igualdad: t μ = σ 55
Apéndice Derivando: Entonces: Por lo que: dt 1 e π 1 = d σ ( ) 1 μ 1 σ 1 e π d σ t dt Considerando I : I t s 1 1 = e dt e ds π π 56
Apéndice Por lo que ahora tenemos una integral doble de la siguiente forma: ( s + t ) 1 = I π e dsdt De donde resulta: ( s + t ) 1 I = e dsdt ππ 57
Apéndice Realizando un cambio a coordenadas polares. Sea: s = r cos α Y t = r sen α Por lo que el área ds y dt se transforma en rdrd α, y los nuevos intervalos son: - <s < y - <t < 0 < r < y 0 < α < π 58
Apéndice Entonces π ( r sen α + r cos α ) 1 I e = rdrdα π 0 0 π r ( sen α + cos α ) 1 I = e rdrdα π I I = = 1 π 1 π 0 0 π 0 0 e r π e r 0 0 ( 1) rdrd α rdrdα 59
Apéndice Resolviendo: Por cambio de variable Sea: La integral resultante es: r e 0 rdr r w = dw = r dw = rdr I r ( ) e ( 1)rdr = 0 60
Apéndice Por lo que: w ( ) e dw = lim 0 b 0 w dw r lim lim w b e 0 = e b e 0 Sustituyendo: b o lim e lim e b b = lim b 1 lim1 b b e = [ 0 1] = 1 61
Apéndice Entonces: π π 1 d α = α = π 0 = π 0 0 Por lo tanto: I 1 = π π [ ] = 1 Lo cual queda demostrado. I = 1 6