DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : n x n - Una sucesión asigna a cada número natural un número real determinado de manera única. - A cada elemento de la sucesión lo denotamos por x n x n y lo llamaremos término. - La sucesión se denota por x n ó simplemente x n - Al elemento x n se le llama término n-ésimo de la sucesión. Definición: Una sucesión en forma recursiva o inductiva vendrá dada cuando demos el valor de x 1 y una fórmula para obtener x n 1 a partir de x n.
OPERACIONES CON SUCESIONES. Definición: Si x n y y n son dos sucesiones de números reales, se define: Suma: x n y n x n y n Producto: x n y n x n y n Cociente: Si z n es una sucesión con z n 0 n, entonces x n z n x n z n SUCESIONES CONVERGENTES. Definición: Diremos que el número real l es el límite de la sucesión x n y escribimos como lim x n l si 0, n 0 tal que n n 0 x n l Definición: Se dice que la sucesión x n es convergente si existe l tal
que lim x n l. UNICIDAD DEL LIMITE. Teorema: Una sucesión x n si tiene límite, este es único, es decir, si lim x n a y lim x n b entonces a b. SUCESIONES ACOTADAS. Definición: Una sucesión x n es acotada si M tal que x n M, n. Por tanto una sucesión x n está acotada si y sólo si el conjunto x n : n de sus términos, está acotado en. Teorema: Toda sucesión de números
reales convergente, está acotada. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES. Teorema: Sean x n y y n dos sucesiones de números reales que convergen a x e y respectivamente y sea. Entonces : 1. lim x n y n lim x n lim y n x y 2. 3. 4. lim x n y n lim x n lim y n xy lim x n lim x n x lim x n y n lim x n lim y x n y si lim y n 0.
Nota: Igualmente para sucesiones convergentes se tiene: a) lim ln x n ln lim x n ln x b) lim a x n lim x n a a x con a 0 lim yn c) lim xn y n lim x n DESIGUALDADES ENTRE SUCESIONES. x y Teorema: Sea xn una sucesión convergente de números reales, con xn 0 n. Entonces: lim x n 0. Teorema: Sea xn y yn dos sucesiones convergentes con xn yn, n. Entonces :
lim x n lim y n. Teorema: Sean xn, yn y zn sucesiones de números reales tales que xn yn z n, n y que lim x n lim z n. Entonces : lim x n lim y n lim z n. Teorema: Sea x n una sucesión de números reales estrictamente positivos, tales que L lim x n 1 x n.sil 1, entonces x n converge y lim x n 0. SUCESIONES MONÓNONAS. Definición: Sea x n una sucesión de números reales. Diremos que x n es monótona creciente si : x 1 x 2 x 3...x n x n 1 Diremos que es monótona decreciente si:
x 1 x 2 x 3...x n x n 1. Teorema de la convergencia monótona: Una sucesión de números reales es convergente es acotada. Además: a) Si x n es creciente y acotada, entonces lim x n supx n. b) Si y n es decreciente y acotada, entonces lim y n inf y n. SUBSUCESIONES. Definición: Sea x n una sucesión y sea r 1 r 2... r n... una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesión x n x r1, x r2,...,x rn,... se le llama subsucesión de x n. Teorema: Si un sucesión x n converge a x, entonces cualquier subsucesión suya también converge a x. SUCESIONES DIVERGENTES.
Definición: Diremos que la sucesión x n tiene límite y escribimos como lim x n Si M, n 0 tal que n n 0 x n M. Diremos que la sucesión x n tiene límite - y escribimos como lim x n Si M, n 0 tal que n n 0 x n M. Definición: Las sucesiones que tienden a, se llaman divergentes. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES DIVERGENTES.
Teorema:Una sucesión de números reales es divergente es no acotada. a) Si x n es creciente y no acotada lim x n b) Si x n es decreciente y no acotada lim x n Teorema: Sean x n y y n dos sucesiones de números reales con x n y n n. a) Si lim x n lim y n b) Si lim y n lim x n
SUCESIONES EQUIVALENTES. Definición: Se dice que x n y y n son equivalentes si lim x n 1. Lo y n escribiremos como x n y n -Silim x n 0, alasucesión x n se le dice que es un infinitésimo. -Silim x n, alasucesión x n se le dice que es un infinito. Proposición: Sean x n, y n y z n sucesiones de números reales tales que x n y n, entonces: i Si lim x n z n existe lim y n z n y lim x n z n lim y n z n ii Si lim z n x n existe lim z n y n lim z n x n lim z n y n existe y
Criterio de Stolz: Sean x n y y n dos sucesiones. Si lim x n x n 1 y n y n 1 existe lim x n x n 1 y n y n 1 lim x n y n siempre que : i y n sea estrictamente creciente y ii lim y n.