TEMA : DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS.. La relación de divisibilidad Ejemplos de multiplos y divisores: Determina si las siguientes parejas de números son múltiplos o divisores: a) 5 y 25 Lo primero será hacer la división del mayor entre el menor: 25 5 es decir, 25 5 25 0 25 Como la división es exacta, podemos decir que: 25 es un múltiplo de 5 5 es un divisor de 25 b) 3 y 34 Lo primero será hacer la división del mayor entre el menor: 34 3 es decir,34 3 44 2 2 44 Como la división no es exacta, podemos decir que: 34 no es un múltiplo de 3 3 no es un divisor de 34 Ejemplos de una propiedad de los múltiplos de un número: a) 4 8 32 4 7 2 Atención: 8 9 2 32 6 2 Entonces es cierto que: 7 2 9 2 7 9 2 6 2 Es decir, que la suma de dos números múltiplos de 2 me da un número que es múltiplo de 2. b) 4 5 29 4 7 2 Atención: 5 3 5 29 29 pues es un número primo Es decir, la suma de dos números que no son múltiplos de uno común me da un resultado cualquiera. Ejemplo de los divisores de un número: Calcula todos los divisores de los siguientes números: a) 28 28 sacamos que y 28 son divisores de 28 0 28 28 2 0 4 sacamos que 4 y 2 son divisores de 28
28 4 sacamos que 4 y 7 son divisores de 28 0 7 Conclusión: Los divisores de 28 son,2,4,7,4,28 b) 36 36 sacamos que y 36 son divisores de 36 0 36 36 2 0 8 36 3 0 2 36 4 0 9 sacamos que 8 y 2 son divisores de 36 sacamos que 2 y 3 son divisores de 36 sacamos que 4 y 9 son divisores de 36 36 6 sacamos que 6 es divisor de 36 0 6 Conclusión: Los divisores de 36 son,2,3,4,6,9,2,8,36 Tareas 20-09-2: todos los ejercicios página 9. Ejemplo de los criterios de divisibilidad Aplica los criterios de divisibilidad para determinar si los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5, 9 y 0. a) 20 es múltiplo de 2 pues termina en 0 es múltiplo de 3 pues la suma de sus cifras es 2 0 3 que es múltiplo de 3 es múltiplo de 5 pues termina en 0 no es múltiplo de 9 pues la suma de sus cifras es 2 0 3 que no es múltiplo de 9 es múltiplo de 0 pues termina en 0 b) 35 no es múltiplo de 2 pues no termina en cifra par. es múltiplo de 3 pues la suma de sus cifras es 3 5 9 que es múltiplo de 3 es múltiplo de 5 pues termina en 5 es múltiplo de 9 pues la suma de sus cifras es 3 5 9 que es múltiplo de 9 no es múltiplo de 0 pues no termina 0.2 Números primos y números compuestos Ejemplos de números primos y números compuestos. Determina si los siguients números son primos o compuestos: a) 24 Es un número compuesto pues 24 2 62. Es decir, no sólo se puede poner como 24 24 b) 37 Es un número primo pues sólo se puede expresar como 37 37 c) 785 Es un número compuesto pues 785 5 57. Es decir, no sólo se puede poner como 24 24 Tareas 2-09-2: Todos los ejercicios de la página 2. 2
Se entregarán en una hoja aparte con nombre y apellidos. Ejemplo de descomposición de un número en factores primos: Descompón en factores primos los números siguientes: a) 638 2 89 3 27 638 2 3 2 7 3 9 7 Tareas 2-09-2: todos los ejercicios de la página 22. Se entregarán en una hoja aparte con nombre y apellidos. Ejemplo de múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos. Calcula, sin hacer operaciones, tres múltiplos y tres divisores de 36 2 2 3 2 a) Los múltiplos serán: 2 3 2 2 3 2 6 36 5 2 2 3 2 5 36 2 3 5 2 2 3 2 30 36 b) Los divisores serán: 2 3 6 2 3 2 8 2 3 3 24 no es divisor de 36, pues tengo un "2" de más. 2 0 Tareas 24-09-2: todos los ejercicios de la página 23. Se entregarán en una hoja aparte con nombre y apellidos..3 Mínimo común múltiplo de dos o más números. Ejemplo: a) min.c.m. 8,2 Vamos a descomponer en factores primos 8 y 2: 2 2 6 2 2 2 2 3 8 2 4 2 2 2 8 2 3 Por lo tanto, tomando los factores primos comunes (2) y no comunes (3) con el mayor exponente nos queda que: min.c.m. 8,2 2 3 3 24 Vamos a hacer todo este proceso de otra forma que es la siguiente: múltiplos de 2 2,24,36,48,60,72,84,96,08... múltiplos de 8 8,6,24,32,40,48,56,64,72,80... 3
Claramente, el min.c.m. 8,2 24 pues aparece en las dos filas siendo el menor. Tareas 24-09-2: todos los ejercicios de la página 24. Se entregarán en una hoja aparte con nombre y apellidos..4 Máximo común divisor de dos o más números Ejemplo Calcula el max. c.d. 36,60 Vamos a descomponer en factores primos 36 y 60: 36 2 8 2 9 3 36 2 2 3 2 60 2 30 2 5 3 5 5 60 2 2 3 5 Entonces, tomando los factores comunes elevados al menor exponente resulta que: max. c.d. 36,60 2 2 3 2 Tareas 27-09-2: todos los ejercicios de la página 25 Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos..5 Operaciones con números enteros Ejemplo Realiza las siguientes operaciones con números enteros: a) 2 7 29 b) 2 7 29 c) 2 7 5 d) 2 7 5 e) 23 29 6 f) 23 29 52 g) 23 29 6 h) 23 29 52 i) 2 9 5 4 9 5 2 4 4 6 2 j) 5 6 7 8 3 4 5 6 4 7 8 3 25 28 3 k) 9 5 5 8 2 5 8 9 5 2 3 47 34 l) 2 9 5 4 2 9 5 4 9 4 2 5 3 7 4 m) 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 3 7 8 4 24 29 5 n) 9 5 5 8 2 9 5 5 8 2 5 8 9 5 2 34 26 8 Tareas 27-09-2: todos los ejercicios de la página 27 o) 5 6 30 p) 5 6 30 q) 5 6 30 4
r) 5 6 30 s) 42 7 6 t) 42 7 6 u) 42 7 6 v) 42 7 6 w) 3 5 9 7 8 2 4 x) 3 5 9 7 9 3 3 45 7 4 32 28 32 28 4 y) 2 7 3 5 8 6 25 5 4 5 8 6 5 8 4 5 6 5 8 29. 6 5 2 6 6 2 0 2 0 3 Tareas 28-09-2: todos los ejercicios de la página 29 Ejemplo:. Convierte en potencias las siguientes expresiones: a) 2 2 2 2 3 b) 5 5 5 5 5 5 5 6 2 Convierte en producto de factores las siguientes potencias: a) 7 4 7 7 7 7 b) 9 5 9 9 9 9 9 3 Calculas las siguientes potencias a) 2 3 2 2 2 8 b) 5 6 5 5 5 5 5 5 5625 c) 7 4 7 7 7 7 240 d) 9 5 9 9 9 9 9 59049 Tareas 0-0-2: todos los ejercicios de la página 30. Ejemplo Aplica las propiedades de las potencias a las siguientes expresiones: a) 2 3 5 3 2 5 3 0 3 b) 2 4 7 3 4 7 4 3 4 c) 2 3 5 2 5 3 5 d) 6 4 3 4 6 3 4 2 4 e) 4 5 4 7 4 5 7 4 2 f) 2 3 2 5 2 7 2 9 2 3 5 7 9 2 24 g) 4 5 4 7 4 5 7 4 2 h) 2 9 2 4 2 9 4 2 5 i) 2 3 2 5 2 4 2 3 5 4 2 4 j) 2 3 2 2 3 2 2 6 k) 5 4 3 2 5 4 3 2 5 24 Tareas 0-0-2: todos los ejercicios de la página 32. Ejemplo Calcula las siguientes raíces cuadradas: a) 2 8 8 9 pues 9 2 8 9 pues 9 2 8 b) 44 2 pues 2 2 44 2 pues 2 2 44 5
c) 3 27 3 pues 27 d) 3 25 5 pues 5 3 25 3 pues 3 4 8 e) 4 8 3 pues 3 4 8 5 pues 5 4 625 f) 4 625 5 pues 5 4 625 g) 5 243 3 pues 3 5 243 h) 5 325 5 pues 5 5 325 Podemos concluir que cuando el índice es par tenemos dos soluciones para la raiz, mientras que si es impar sólo tenemos una solución. i) 44 no tiene solución pues todo número elevado al cuadrado siempre es positivo o cero. j) 3 27 3 pues 3 3 27 k) 5 243 3 pues 3 5 243 Ahora concluimos que no hay raíces cuadradas de números negativos, mientras que si hay raíces de índice impar de números negativos. Tareas 03-0-2: todos los ejercicios de la página 33. Ejercicios finales del tema. Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números: 43 2 24 364 80 3 52 3 a) 52 y 3 b) 80 y 2 c) 43 y 3 d) 24 y 3 Hemos hecho divisiones para ver cuáles eran exactas y cuáles no. Tareas 03-0-2: 2 3 Calcula. a) los cinco primeros múltiplos de 0. 0 0 0 2 20 0 3 30 0 4 40 0 5 50 Tareas 03-0-2: todos los ejercicios que faltan del 3. 4 Calcula: a) todos los divisores de 8:, 2, 3, 6, 9 y 8. Tareas 03-0-2: todos los ejercicios que faltan del 4. 5 Copia estos números y selecciona: 66 7 90 03 05 56 220 35 42 708 a) los múltiplos de 2: 66, 90, 56, 220, 708 Tareas 03-0-2: todos los ejercicios que faltan del 5. Tareas 04-0-2: 6, 7, 8 6
9 Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores: 42 6 7 3 2 7 Tareas 04-0-2: todos los ejercicios que faltan del 9. 0 Descompón en factores primos: h) 200 2 00 2 50 2 25 5 5 5 200 2 3 5 2 Tareas 04-0-2: todos los ejercicios que faltan del 0,, 2 3 Calcula mentalmente f) min.c.m. 2,8 36 Tareas 04-0-2: todos los ejercicios que faltan del 3 4 Calcula f) min.c.m. 8,2,8 2 3 3 2 72 8 2 2 2 8 2 4 2 8 2 3 6 2 2 2 2 3 9 3 8 2 3 2 2 2 Factores comunes y no comunes con el mayor exponente: Tareas 04-0-2: todos los ejercicios que faltan del 4 5 Escribe: a) todos los divisores de 8:, 2, 3, 6, 9, 8 b) todos los divisores de 24:, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 24 c) los divisores comunes de 8 y 24:, 2, 3, 6 d) el máximo común divisor de 8 y 24: 6 6 Calcula mentalmente: e) max. c.d. 6,24 8 Tareas 04-0-2: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Calcula f) max. c.d. 45,60,05 3 5 5 Vamos a descomponer en factores primos: 60 2 45 5 05 3 30 2 9 3 35 7 5 5 5 5 45 3 2 5 60 2 2 3 5 05 3 5 7 Factores primos comunes con el menor exponente Tareas 05-0-2: todos los ejercicios que faltan del 7, 8 9 Marta ha comprado varios balones por 69 euros. El precio de un balón era un número 7
exacto de euros, sin decimales. Cuántos balones ha comprado y cuánto costaba cada balón? Buscamos todos los divisores de 69:, 3, 23, 69 Tenemos dos soluciones: tres balones a 23 euros cada balón. 23 balones a 3 euros cada balón. Tareas 05-0-2: 20, 29 30 Calcula d) 7 5 8 0 9 6 8 0 7 5 6 9 29 37 8 Tareas 05-0-2: todos los ejercicios que faltan del 30 3 Quita paréntesis y calcula: d) 8 3 5 6 2 8 3 5 6 2 5 8 3 6 2 5 9 4 Tareas 05-0-2: todos los ejercicios que faltan del 3 32 Calcula d) 6 3 5 4 7 5 6 3 5 4 7 5 3 5 4 7 6 5 9 2 2 dbis) 6 3 5 4 7 5 6 8 5 2 4 2 4 2 Tareas 05-0-2: todos los ejercicios que faltan del 32 33 Opera: e) 9 5 7 6 3 9 2 7 9 2 7 2 8 3 Tareas 05-0-2: todos los ejercicios que faltan del 33 34 Quita paréntesis y calcula: e) 3 8 5 7 3 4 5 5 7 0 7 2 8 3 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 34 35 Opera aplicando la regla de los signos: i) 9 5 45 45 j) 2 4 8 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 35 36 Obtén el valor de x en cada caso: e) x 6 42 x 7 Otra forma de hacerlo es: x 42 6 7 f) 28 x 7 x 4 Otra forma de hacerlo sería: x 28 7 4 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 36 37 Calcula: g) 2 7 8 4 3 2 6 h) 6 0 5 6 60 30 2 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 37 38 Calcula f) 5 6 2 3 7 2 30 2 2 2 30 2 2 2 42 42 0 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 38 39 Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica. f) 4 3 8 3 9 5 4 5 3 6 20 8 2 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 39 40 Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis 8
e) 3 5 2 5 2 7 f) 3 5 2 3 5 2 3 3 9 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 40 4 Calcula paso a paso d) 9 5 8 7 4 6 45 56 24 25 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 4 42 Opera f) 6 7 5 5 8 2 4 9 4 6 4 5 5 6 4 5 24 5 30 20 24 5 0 24 50 74 Tareas 08-0-2: todos los ejercicios que faltan del 42 43 Calcula paso a paso: b) 6 3 5 8 4 2 6 3 6 2 4 2 2 3 2 2 3 0 3 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 43 44 Calcula i) 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 52 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 44 45 Calcula: f) 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0000000 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 45 46 Observa a) 3 4 3 3 3 3 8 b) 3 4 3 3 3 3 8 c) 3 4 3 3 3 3 8 d) 3 4 3 3 3 3 8 Hay un resultado distinto a todos los demás porque el signo "-" no está dentro del paréntesis, por lo que al calcular la potencia no se ve afectado por ella. 47 Expresa como potencia de un único número: a) 0 4 5 4 0 5 4 2 4 d) 2 6 2 6 2 2 6 4 6 Otra forma de hacerlo. 2 6 2 6 2 6 6 2 2 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 47 48 Reduce a una sola potencia f) x 6 x 4 x 7 x 6 4 7 x 3 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 48 49 Expresa comp una potencia única: f) 5 2 5 5 3 2 5 2 5 5 3 2 5 0 5 6 5 0 5 6 5 0 6 5 4 5 6 5 6 pues tenemos una potencia par. Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 49 50 Opera y calcula d) 6 2 2 4 4 2 3 4 6 2 2 4 4 2 3 4 6 4 4 4 2 2 6 4 4 2 2 24 4 2 2 2 3 3 4 2 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 3 4 2 0 3 4 3 4 3 3 3 3 8 24 2 3 3 Tareas 09-0-2: todos los ejercicios que faltan del 50 5 Calcula las raíces: 9
7 7 2 49 a) 49 7 7 2 49 7 7 2 49 7 7 2 49 b) 7 2 49 7 7 2 49 c) 49 no existe pues no hay ningún número que elevado al cuadrado de negativo. Tareas -0-2: todos los ejercicios que faltan del 5 52 Calcula las raíces siguientes: a) x 2 b) x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x 2 c) x 2 no existe pues no hay ningún número que elevado al cuadrado de negativo. Tareas -0-2: todos los ejercicios que faltan del 52 53 Calcula, si existen, estas raíces: a) 3 3 b) 3 3 Tareas -0-2: todos los ejercicios que faltan del 53 58 Un rollo de cable mide más de 50 m y menos de 200 m. Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 5 m y también en trozos de 8 m? El número será múltiplo de 8 y 5. Por lo tanto vamos a calcular min. c.m. 5,8. Descomponemos en factores primos: 5 3 5 8 2 3 2 Tomamos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. min. c.m. 5,8 2 3 2 5 90 Claramente se trata de 90 2 80 El cable mide 80 m. Tareas -0-2: 59 60 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. Cuánto medirá cada trozo? Tenemos que calcular el max. c.d. 20,30 Descomponemos en factores primos: 20 2 2 5 30 2 3 5 Se toman los factores primos comunes elevados al menor exponente. max. c.d. 20,30 2 5 0 Se hacen trozos de 0 m 0