Es clao que el coseno de un ángulo agudo (digamos a) es igual al seno de su complemento W), de ahí la palaba coseno (seno del complemento). Nota: En adelante escibiemos indistintamente cos a o cos(m(a)), siendo m(a) la medida del ángulo a, a sea en gados o en adianes, cuando se tate de adianes omitiemos la palaba "adianes". Análogamente paa las estantes funciones tigonométicas. Ejemplo: De las figuas siguientes 1 se obtien~ que sen(45 ) = ~ =cos(45 ); sen(60 0 )= ~ =cos(30 o ); COS(60o)=~=sen(300) o equivalentemente, Obsevación: Consideemos un ángulo agudo a. Si lo ubicamos como se indica en la figua 31, a) siguiente a) b) FIGURA 31 en la cual la cicunfeencia que apaece es una cicunfeencia cualquiea de adio, entonces sen(a)=2:'. cos(a) = ~ 92
Usaemos 10 anteio paa etende las definiciones de sen(a) cos(a) a otos ángulos, como el de 0, como los obtusos, a los cuales no podemos aplica las definiciones antes dadas. Nótese que si tomamos = 1 ( ve la figua 31,b )), entonces la medida de a en adianes es t = longitud del aco AP, de manea que (escibiendo sen(t) cos(t) en luga de sen{a) cos(a)) se tiene: sen(t)= cos(t) = Tenemos así definido sen(t) cos(t) paa cualquie númeo eal t, 0 < t < ~. 2 popósito es etende estas definiciones a todo númeo eal t. Nuesto Ángulos en posición estánda A continuación descibiemos de manea infomal las caacteísticas de los llamados ángulos en posición estánda en un plano catesiano : Tienen su vétice en el oigen. Uno de los lados coincide con la pate positiva del ejc se llama lado inicial. El oto.lado se llama lado teminal. El ángulo se genea al ota el lado inicial, alededo del oigen 0, hasta el lado teminal, lo cual puede ocui en el mismo sentido o en el sentido opuesto al del movimiento de las agujas del eloj, pemitiéndose más de una vuelta (en cualquiea de los dos sentidos). Ahoa etendeemos la medida en adianes a dichos ángulos en posición estánda: Consideemos un ángulo a en posición estánda sean A P los puntos que se indican en las figuas siguientes a) b) FIGURA 32 En dichas figuas la cicunfeencia que apaece es una cicunfeencia cualquiea de adio cento en O. Si s es la longitud del aco AP, entonces la medida en adianes t de a está dada po 93
o po t =- S si la otación se efectúa en sentido "antihoaio" (ve figua 32, a)) t = -~ si la otación se efectúa en sentido "hoaio" (ve figua 32, b)) Es clao que si escogemos = I, entonces tendemos t = S en el caso antihoaio t = -s en el caso hoaio. Ejemplo: La medida en adianes de los ángulos en las figuas 33, a), b), c), d) siguientes, n n n 9n n 9n son 4' - 4' 4 + 2n =4-4- 2n = -4' espectivamente. a) e) A b) d) FIGURA 33 Seno coseno de ángulos en posición estánda Consideemos un ángulo a en posición estánda. Tacemos una cicunfeencia cualquiea de adio cento en 0, sea p(, ) el punto donde dicha cicunfeencia cota al lado teminal de a, como se muesta en las figuas siguientes: A FIGURA 34 94
Se define entonces: sen(a)= 1. cos(a)=~ Nótese que los valoes sen(a) cos(a) no dependen del adio de la cicunfeencia que escojamos, que si escogemos = I entonces sen(a) = cos(a)=. 1-1 -1 FIGURA 35 Se cumple la elación fundamental cualquiea sea el ángulo a (lo cual se infiee de la figua). Además se tiene que: o equivalentemente cos( t + k(2n)) = cos( t), sen(t + k(2n)) = sen(t) cualesquiea sean ter Y k E Z. Finalmente las otas funciones tigonométicas se definen como sigue: tan(a) = 1. = sen(a) cot(a)- ~ - cos(a) sec(a) - 1 csc(a) _ I ' - - ()' -- = )' =- - () cos ( a ) sen a cos(a sen a Seno coseno de númeos eales Si t es un númeo eal, po sen(t) entendeemos el seno del ángulo en posición estánda cua medida en adianes es t. De manea simila se entiende cos( t). 95
En la gáfica siguiente, se indican los valoes sen(t) cos(t) paa un t positivo. En dicha gáfica t es la longitud del aco AP, el ángulo que mide t adianes es el ángulo AOP, las coodenadas, del punto P son, espectivamente, cos(t) sen(t). v R (- 1,0) (O, - 1) FIGUR.i\ 36 O Ejemplo: De la figua 36, se obtienen los esultados que apaecen en la tabla siguiente: t O 11/ 2-11/ 2 ±11 3./ 2-311/ 2 ± 211 cos(t) ) O O -) O O 1 sen(t) O 1-1 O - ] 1 O De las definiciones dadas se obtienen, ente otas, las popiedades - ) S; sen t S; 1 Y -) _ cos t S; 1, paa todo ter. cos(t+ 2k.)= cost, sen(t+2k.)=sent,paatodo ter. (Vela figua 37 siguiente) FIGURA. 37 COS(t+11)=-cost, sen(t+11)=-sent, paa todo ter. (Ve la figua 38 siguiente) 96