INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS PROF. ÁLVARO ELIZONDO MONTOYA Diciembre; lvro.elizondo@sekcostric.com lgebro.elizondo@gmil.com

Cpítulo INTEGRALES IMPROPIAS.. Integrles impropis por pso l ite Iniciemos este tem discutiendo el siguiente problem: Si se tiene un stélite que tiene un ms de un toneld o kg sobre l supercie terrestre, ¾cuánto trbjo se requiere pr colocr el stélite en un órbit km ó m de distnci de l supercie terreste? Solución: De l teorí de trcción grvitcionl desrrolld por Newton, sbemos que l fuerz con l que un cuerpo es trído hci l Tierr (su peso) es inversmente proporcionl l cudrdo de l distnci del objeto l centro del plnet, sí l fuerz F (d) ejercid por l grvedd terrestre es: F (d) = k d Ddo que el stélite pes kg, y el rdio medio de l Tierr es de 637 m, se tiene entonces que: F (d) = k d m g = k d kg 9, 78 m k = s (637 m) k = 3, 9696668898 7kg m3 s

CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS De l físic elementl sbemos que un cmbio en el trbjo equivle l producto de l fuerz requerid y el incremento en l distnci, que en términos mtemáticos se epres como: W = (fuerz) (incremento en l distnci) = F d Así, pr este cso se tendrí que: W = F (d) d = 3, 9696668898 7 d d luego pr propulsr el stélite desde d = 637 m hst d = 737 m, el trbjo totl relizdo corresponde : W = 737 m 637 m 3, 9696668898 7 kg m 3 s d = 3, 9696668898 7 kg m3 s 737 m d 637 m = 5385536, 8 J 63838 J = 845378673, 8 J 8453, 8MJ dd Este problem result interesnte, más no tnto como el siguiente: ¾`Cuánto trbjo es necesrio pr colocr un sond con ls misms crcterístics del stélite del problem nterior un distnci innit de l Tierr? Solución: Antes de responder, vldrí preguntrse si se requerirá un cntidd innit de energí pr que un sond lnzd desde l Tierr recorr un distnci innit, si como estblecimos nteriormente, el trbjo es igul l producto de l fuerz plicd por el incremento en l distnci. Eperimentlmente sbemos que no puede ser innit l cntidd de energí requerid pues desde los ños 7 se hn estdo envindo sonds l espcio

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 3 eterior y ésts recorren distncis cd vez myores... Rzonndo en form similr l solución del problem nterior, bstrí resolver l siguiente integrl, en l que se h sustituido el vlor de 737 m por, vemos: W = 637 m = M = M 3, 9696668898 7 kg m 3 s 637 m d dd 3, 9696668898 7 kg m 3 s d 3, 9696668898 7 kg m 3 s d 3, 9696668898 7 kg m 3 s = M M = 63838 J 638, 38 MJ M 637 m dd 63838 J Esto es pens uns 7,37 veces lo que nos h ddo l respuest del ejercicio nterior. Un integrl en l que l menos uno de los ites de integrción es innito y su resultdo es un cntidd nit, tl como l que hemos clculdo, recibe el nombre de integrl impropi de primer especie convergente. Hst hor, ls integrles denids que se hn estudido por medio del teorem fundmentl del cálculo, son del tipo: f(), donde:. El intervlo, b es nito.. L función f es cotd en, b. 3. L función f es continu en, b. Llmmos integrles impropis quells que no cumplen estos requerimientos, ests tienen lgun(s) de ls siguientes dos condiciones:. Uno o mbos ites de integrción es innito, este tipo de integrles se les llm de primer especie.

4 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS. f tiene un número nito de discontinuiddes innits en el intervlo, b, este tipo de integrles se les llm de segund especie. Integrles que tengn simultánemente ls condiciones de ls de primer y segund especie, se les llm: integrles impropis de tercer especie. Definición: Integrles impropis de primer especie: Si l integrl propi función I como sigue: f() eiste pr cd b, se define un nuev I(b) = f() pr cd b L integrl sí definid recibe el nombre de integrl infinit o impropi de primer especie y se indic por medio del símbolo que es convergente si el ite: I(b) = b b f(). L integrl se dice f() eiste y es finito. En cso contrrio se dice que l integrl f() es divergente. Si el ite nterior eiste y es igul A, entonces se dice que A es el vlor de l integrl y se escribe: f() = A Ls integrles infinits de l form f() se definen de mner nálog. Además si c f() y c f() son mbs convergentes pr un c, se dice que l integrl f() es convergente y su vlor se define como: f() = c f() c f() Est últim integrl se dice divergente si por lo menos un de ls inetgrles del segundo miembro diverge.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 5 Ejemplo : Anlice el comportmiento de l integrl impropi I = p Solución: I = b p = p b p b = b p = p = b b p p p b p = b p Anlicemos los siguientes csos:. Si p =, l integrl inicil serí: I = = Ln b = b Ln b =, luego si p = l integrl impropi es divergente. b b p. Si p >, entonces I = b p =, y l integrl serí convergente este p vlor. =, y l integrl serí di- b p 3. Si p <, entonces I = b p vergente En resumen: Un integrl del tipo: p converge si p > y diverge si p. Esto eplic por qué l integrl: W = 637 m k ddd converge. Vemos: W = 637 m k d dd = k d dd 637 m k d dd Así W equivle l sum de un integrl impropi de primer especie convergente (p = > ) y un integrl de un función Riemnn-integrble; por esto el vlor de W es nito.

6 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS Ejemplo : Relice un comprción de ls áres cotds por ls grács de ls funciones g() = y l función f() = ; l rect = y el eje de ls bsciss. Solución: = b = b b = = = b b b = ln b b = ln b = b De donde se deduce que el áre limitd por l grác de g es cotd y tiene un vlor de ; sin embrgo, el áre limitd por l grác de f que pens precier ser un poco más grnde, en relidd es innit. Ejemplo 3: Anlice el comportmiento de l integrl impropi I = Solución: I = e p = e p = M M Anlicemos los siguientes csos:. Si p =, entonces I = integrl diverge. e p = e p p M = p M epm = y por tnto l. Si p <, entonces I = p M epm =, luego l integrl converge este p vlor. 3. Si p >, l integrl es divergente pues I = p M epm = En resumen: Un integrl del tipo: si p. e p converge si p < y diverge e p

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 7 Ejemplo 4: Estudie l nturlez de ls siguientes integrles impropis de primer especie y determine el vlor de ls misms cundo sen convergentes... 3. e ( ) 4. 5. 6. 4 3 8 4 4 7. 8. 9. cos() 3 Solución:. e = M e Relizndo l sustitución: u = du = = u = ; = M u = M Así l integrl se plnte como: M = M e u du = M e M = M e u du = M e u M M Respuest: L integrl es convergente l vlor

8 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS. ( ) = M ( ) Relicemos l sustitución: u = udu = = u = ; = M u = M Luego: M M M rctn M udu u(u ) = du M ( ) M rctn () = u = M π π 4 = π rctn(u) M = Respuest: L integrl es convergente l vlor π 3. ) Método : = M M = M rctn()m M = M rctn(m) rctn( M) = π π = π b) Método : Ddo que l función integrndo es pr pues f( ) = f(), entonces es válido considerr que sí: = M rctn()m π = π M M M = M f() = = = rctn(m) rctn() = M Respuest: L integrl es convergente l vlor π f(),

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 9 4. = M Relicemos l sustitución: u = udu = = u = 3; = M u = M Luego, bstrí resolver: M u du M 3 u = M = M M M 3 = Respuest: L integrl es divergente. 3 du = M M u 3 Not: Un condición necesri pero no suciente pr l convergenci de l integrl impropi del tipo: f(), es que el ite cundo del integrndo se ; obsérvese que en este cso:, luego se puede rmr que l integrl es divergente. 5. 4 3 = M ( ) ( 3) Relicemos l sustitución: u = du = = u = ; = M u = M Luego: M du u ( 3) = M du u ( 3) = 3 rctn( u M ) = M 3

CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS ( ) M 3 rctn rctn() = π M 3 3 = π 4 3 = π 3 Respuest: L integrl es convergente l vlor π 3 6. I = 8 4 4 = M 8 4 4 Resolvmos l integrl plicndo el método de frcciones prciles, pr esto primero debemos fctorizr el denomindor: 4 4 = 4 4 4 4 = ( ) 4 = ( )( ) Consideremos l descomposición: 8 4 4 = A B C D De donde: 8 = (AC) 3 ( AB C D) (A B C D) B D y entonces: A C = () A B C D = () A B C D = (3) B D = 8 (4) De l ecución () se obtiene que (A C) = A C = ; usndo esto en l ecución (3), se obtiene que: B D = (5) Sumndo miembro miembro ls ecuciones (4) y (5) se obtiene que: 4D = 8 D =, de esto se desprende que B =. Sumndo miembro miembro () y (3) se obtiene: B 4C 3D = C = y usndo () nlmente se hll que: A =.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE Así: I = M M M = 4 4 M M M M M M Ln( ) rctn( ) ( ) M M Ln Ln ( M M M M ( ) = = M Ln( ) rctn( ) rctn( ) rctn( ) = ) rctn(m ) rctn(m ) = π π = π Respuest: L integrl es convergente l vlor π. M ( ) M = 7. = M = M ( )( ) Considerndo nuevmente el método de ls frcciones prciles, se tiene: ( )( ) = A B = (A B) ( A B) ( )( ) De donde se deduce que: A B = y A B = ; sumndo mbs ecuciones miembro miembro se obtiene: 3B = B = 3 y por tnto A = 3. Luego bst clculr:

CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS 3 3 M ( ) ln M M = 3 M = ln( ) ln( ) = M M ln Respuest: L integrl es convergente l vlor ln 3. ( ) M ln4 = ln4 M 3 = ln 3 8. cos() = cos() = M M sen() M M = M sen(m) Respuest: Como este ite no eiste, entonces l integrl es divergente por denición. cos() 9. 3 = M 3 Pr simplicr el procedimiento, clculemos l integrl indenid pr ello, relicemos l sustitución: u = 3 u du 3 Luego, l integrl se trnsfom en: = ; = u 3 3, u du 3 u u = 3 du u Relicemos hor l sustitución trigonométric:

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 3 u = sec(θ) du = sec(θ) tn(θ) dθ ( ) u = sec(θ) = sec (θ) = (sec (θ) ) = tn (θ) Se tiene entonces que: du u = sec(θ) tn(θ) dθ = sec(θ) tn (θ) tn(θ) dθ = csc(θ)dθ = ln csc(θ) cot(θ) C cos(θ) = u ln u u C = u ln u C = u ln C = u ln C = u u u = ln u u C = ln 3 C 3 dθ = sen(θ) cos(θ) Luego: M 3 = 3 M M 3 = ln M 3 3M ( ) = ln ln M 3M = ln = 3 Respuest: L integrl es convergente l vlor ln(3) ln(3) Not: En este ejercicio hubiese sido más sencillo plicr el método de ls frcciones prciles y no el de l sustitución trigonométric, pero se h hecho de est form pr ejemplicr el método, bstb considerr que: u = u u

4 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS Abordremos hor el estudio de ls integrles impropis de segund especie, ests se reeren ls integrles de funciones reles f denids en un intervlo cotdo I, donde lgun de ls siguientes situciones:. f no es cotd sobre I =, b. f es cotd sobre I =, b ó I =, b, ó I =, b 3. f no es cotd sobre I =, b ó I =, b, ó I =, b Definición: Integrles impropis de segund especie: Supongmos que f está definid en el intervlo, b, y que l integrl f(t) dt eiste pr cd que stisfsce < b. Se define entonces un nuev función I como sigue: I(b) = f(t) dt si < b L función I sí definid recibe el nombre de integrl impropi de segund especie y se indic por medio del símbolo f(t) dt. L integrl se dice que es convergente si el ite: I() = f(t) dt eiste y es finito. Si esto no ocurre, se dice que l integrl f(t) dt diverge. Si el ite nterior eiste y es igul A, entonces se dice que A es el vlor de l integrl y se escribe: Not: Cundo se escribe f(t) dt = A. f() en vez de f(), es responsbilidd del lector drse cuent que se trt de un integrl impropi, en lugr de l integrl de Riemnn ordinri. El uso de l notción f() es pr enftizr el hecho de que se trt de un integrl impropi de segund especie.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 5 Definición ltern: Integrles impropis de segund especie: Si f no es cotd solmente en el etremo = del intervlo, b, se define entonces: f() = f() ɛ ɛ Si el ite del segundo miembro eiste se dice que l integrl del primer miembro es convergente, en cso contrrio se dice que es divergente. Análogmente, si f() no es cotd solo en el etremo = b del intervlo, b, se define ɛ f() = f() ɛ Y en este cso l integrl del primer miembro se dice convergente o divergente según eist o no el ite del segudo miembro. Si f() no es cotd solmente en un punto interior = del intervlo,b, se define: f() = ɛ ɛ f() f() ɛ ɛ L integrl del primer miembro converge o diverge según eistn o no los ites del segundo miembro. Se pueden generlizr ests definiciones l cso en que f() no se cotd en dos o más puntos del intervlo, b. Not: Puede suceder que los ites del segundo miembro de est últim epresión no eistn cundo ɛ y ɛ tiendn cero independientemente. En tl cso es posible que el ite eist si se elige ɛ = ɛ = ɛ, o se escribiendo:

6 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS ɛ f() = f() f() ɛ ɛ Si un vez clculdo esto, eiste este último ite, se dice que este vlor ite es el vlor principl de Cuchy de l integrl del primer miembro. Ejemplo 5: Anlice el comportmiento de l integrl I = Solución: ( ) p Primero, debe observrse que el integrndo no es cotdo en =, pues =, si p >. ( ) p I = ( ) p = ɛ ɛ ( ) p Relizndo l sustitución: u = du = = ɛ u = ɛ; = b u = b L integrl tom l form: I = ɛ ɛ du u p = ɛ ɛ u u p p b du = = ɛ p ɛ ɛ De este último ite y de l integrl originl se obtiene que: (b ) p ɛ p p. Si p = = ɛ ɛ = ɛ ln(b ) ln(ɛ) = y l integrl diverge. (b ) p ɛ p (b ) p. Si p < I = = y l integrl ɛ p p converge este vlor. (b ) p ɛ p 3. Si p > I = = y l integrl diverge. ɛ p

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 7 En resumen: L integrl I = sii p < ; y diverge si p. (b ) p ( ) p converge l vlor p Ejemplo 6: Considere l integrl impropi. Determine l especie de l integrl impropi. ( ), pr ell:. Clcule l integrl, indique si es convergente o divergente. 3. Trnsfórmel en un integrl impropi de primer especie.(esto siempre es posible.) 4. Trnsfórmel en un integrl propi. (En este cso se puede hcer, pero no siempre es posible.) Solución:. El integrndo no es cotdo en = pues =, ( ) y como ninguno de los ites de integrción es innito, l integrl es impropi de segund especie.. ɛ ɛ = ( ) ɛ ɛ = ( ) ɛ = ( ) ɛ ɛ ɛ rc sen( ) = = ɛ rc sen( ɛ) rc sen() = π = π ite es nito, l integrl es convergente. Ddo que el vlor del 3. Consideremos l siguiente sustitución: = = du u u = ɛ u = ; = u = ɛ

8 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS Así, l integrl se plnte como: du ɛ u ( = ɛ u) u du u ( u) u = últim integrl es un integrl de primer especie. 4. Consideremos l siguiente sustitución, plicd l integrl ɛ = u = u du = ɛ u = ɛ; = u = Se obtiene, entonces l siguiente iguldd: ɛ ɛ = ( ) ɛ du u u du ( u )u = ɛ du u u ; y est ɛ ɛ ( ) : du = u y est últim integrl corresponde un integrl propi. 5 Ejemplo 7: Considere l integrl ( ) 3. Determine si l integrl converge en el sentido corriente.. Determine si l integrl converge en el sentido del vlor principl de Cuchy. Solución: Es necesrio tener clro que el integrndo no está cotdo en =.. Por denición: 5 ( ) = ɛ 5 3 ɛ ( ) 3 ɛ ɛ ( ) = 3 ɛ 5 = ɛ ( ) ɛ ( ) ɛ ɛ 8 ɛ ɛ ɛ y como los ites no eisten, l integrl no converge 3 (diverge) en el sentido usul.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 9. Tomndo ɛ = ɛ = ɛ, se tiene: 5 ɛ ( ) = 5 3 ɛ ( ) 3 ɛ 8 ɛ ɛ = 3 3 3 ɛ = ( ) 3 Así l integrl eiste en el sentido del vlor principl de Cuchy. Ejemplo 8: Estudie l nturlez de ls siguientes integrles impropis de segund especie y determine el vlor de ls misms cundo sen convergentes... 3. 3 4 3 ( 3) 4. 5. 6. 7 π ( ) 3 ( ) ln sec () 7. 8. 9. 4 5 4 e Solución:. En l integrl:. 3 3, se observ que el integrndo posee un discontinuidd innt en = 3, luego: 3 3 = ɛ 3 ɛ 3 Consideremos l siguiente sustitución: u = 3 = u du = u = 3; = 3 ɛ u = ɛ Se obtiene l siguiente epresión:

CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS ɛ u du ɛ 3 u ɛ = u = ɛ 3 = 3 ɛ 3 ɛ Respuest: L integrl es convergente l vlor 3. Es notorio que el integrndo no está denido en =, clculemos el vlor plicndo l denición: = ɛ ɛ = ln() ɛ ɛ = ln(ɛ) = ɛ Respuest: L integrl es divergente pues el ite no eiste. 3. El único vlor en el que el integrndo no se hy cotdo es = 3, pues =, plicndo l denición se tiene: ( 3) 3 4 ( 3) = ɛ = ɛ 3 ɛ = ɛ ɛ 3 = ( ) ( ) 4 ( 3) ɛ 3 ɛ 3 ɛ 3 ɛ ɛ ( 3) 3ɛ 4 3ɛ = ; (por lo tnto l integrl diverge.) Not: Obsérvese que si por hí lgún incuto plic el Teorem Fundmentl del Cálculo sin perctrse que el integrndo es discontinuo en = 3, clculrí de est form: 4 4 ( 3) = = 3 3 = 4 3 Es clro que este resultdo es incorrecto y que el integrndo nunc es negtivo.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 7 4. L integrl impropi, posee un integrndo que no se hy ( ) 3 denido en =, que es un número del intervlo, 7, entonces, de cuerdo con l denición pr integrles impropis de segund especie, obtenemos: 7 ( ) 3 ɛ = ɛ ( ) 3 = 3( ) 3 ɛ = ɛ = 3 6 = 9 ɛ 7 ɛ ɛ ( ) 3 3( ) 3 ɛ 7 ɛ 3(ɛ ) 3 3 3(8) 3 3(ɛ ) 3 ɛ Respuest: L integrl es convergente l vlor 9. 5. El integrndo no es cotdo en = pues Así ( ) ln = ɛ = ɛ = ɛ = 3 4 ɛ ( ) ln ( ) ln() =. ( ) ( 4) ln 4 ( 3 ɛ ) 4 ɛ ln ɛ ɛ ɛ(ɛ 4) 4 = 3 4 Not: En este ejercicio es necesrio hcer uso del método de integrción por prtes y de l plicción de l regl de L'Hôpitl-Bernoulli. Respuest: L integrl es convergente l vlor 3 4.

CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS 6. El integrndo no es cotdo en = π, luego: π π sec ɛ π () = sec () ɛ ɛ π = tn() ɛ = ɛ = π ɛ ɛ π tn() ( π ) tn ɛ tn() ɛ sec () π ɛ ɛ tn(π) tn ( π ɛ ) Respuest: L integrl es divergente pues el ite no eiste. 7. El integrndo no es cotdo en = ni en = 4, de 5 4 estos vlores solo nos es interes = 4 pues =, 4, luego bst clculr: 4 5 4 = 4 ɛ ɛ = 3 ɛ 4 ɛ 5 4 4 = 3 ln ln 4 ɛ = 3 = ɛ 4 ɛ (ln 3 ɛ ln ɛ ) (ln ln ) Respuest: L integrl es divergente pues el ite no eiste. 8. El integrndo no es cotdo en = ; luego bst clculr e e = ɛ ɛ Consideremos l siguiente sustitución:

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 3 L integrl se trnsform como: u = du = = ɛ u = ɛ; = u = e u du = e u ɛ ɛ ɛ = e eɛ = e ɛ ɛ Respuest: L integrl es convergente l vlor e. 9. El integrndo no es cotdo en = ni en =, de estos vlores solo nos es interes = pues =,, luego bst clculr: = ɛ = ɛ ɛ ɛ = ɛ ln ln ɛ = (ln 3 ln ) (ln ɛ ln ɛ ) ɛ = Respuest: L integrl es divergente pues el ite no eiste. Not:En este ejercicio se h hecho uso del método de ls frcciones prciles pr estblecer l iguldd: = =

4 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS Not: Ls integrles de 3 er especie son quells que presentn ls condiciones de ls integrles de er especie y d especie, es decir demás de tener l menos uno de sus ites de integrción infinitos, poseen demás l menos un discontinuidd en el integrndo. Ests integrles se pueden estudir epresándols como sums de integrles impropis, cd un de ls cules tiene un de ls forms definids nteriormente. Por ejemplo, el integrndo de l integrl no es cotdo en =, eligiendo un número myor que cero, por ejemplo, puede escribirse: } {{} int. impropi de 3 er especie = } {{} int. impropi de er especie } {{} int. impropi de er especie Es fácil verificr que l primer integrl del miembro derecho es convergente, mientrs que l segund es divergente, luego l integrl dd es diverge. Ejercicios misceláneos: Instrucciones: Resuelv los siguientes ejercicios reltivos ls integrles impropis. A. Indique l especie de ls integrles (si es que ests son impropis.). sen( ) 4. sen(). 4 3 5. 5 4 3. e 6. 3 (3 )

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 5 7. 8. 9.... 3 π ( ) 3 tn() ( ) 4 cos() e 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3 π 5 π sen() ( 3 8) 3 sen() 3 (5 )( ) rc sen() ln(sen()) B. Clcule ls integrles impropis (o determine su divergenci).. 7.. 8. 3. 9. 4. 5. 3 p ( ).. 3 6. 9 ( ) 3. p

6 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.... 3. 4. 5. 6. π π π π 3 3 4 9 6 ( ) sen() ln() ln () ln() ln () cot() sen() ( sen ( > ) ( > ) ) sen() cos() 7. 8. 9. 3. 3. 3. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 4. 4. e k (k > ) rctn() ( ) 3 3 5 3 ( ) 4 4 e 4 e e cos() 3 ( )e e e e e

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 7 4. ( ) 56. e ln 3 () 43. 44. 4 ( ) 57. 58. e ln() 6 45. 46. 47. 48. e cos(π) ln() ln() ln() ln() 59. 6. 6. 6. e cos() 4 ( ) ( 5) 3 49. 5. 5. 5. 53. 54. 55. rctn() ( ) 3 ln() ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) 7 6 ( ) 3 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. e 4 3 3 e cos() 4 ( ) 4 5 ln 3 () 6 8 9

8 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS 7. 7. e 3 4 ln() 7. 73. π ( ) cos 3 ( ) C. Se dene l trnsformd de Lplce de un función F () como: Compruebe que: f(s) = L {F ()} =. L {} = ; s (s > ). L {e } = ; s (s > ) 3. L {e } = ; s (s > ) 4. L {sen()} = s ; (s > ) s 5. L {cos()} = s ; (s > ) 6. L {} = s; (s > ) 7. L { n } = n! sn; (s > ; n N) ( ) 8. L {Y ()} = sl {Y ()} Y () e st F () D. Ejercicios propuestos en eámenes de ños nteriores: Determine l especie de l integrl impropi, demás nlice su convergenci o divergenci.. e. cos() 3.

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 9 Respuests: A.. integrl impropi de primer especie. integrl impropi de segund especie 3. integrl impropi de tercer especie sen() 4. integrl propi pues = 5. integrl impropi de segund especie 6. integrl impropi de segund especie 7. integrl impropi de segund especie 8. integrl impropi de tercer especie 9. integrl propi, pues 3,. integrl impropi de primer especie cos( ). integrl propi pues. integrl impropi de primer especie = sen() 3. integrl impropi de er especie pues 4. integrl impropi de segund especie 5. integrl impropi de segund especie 6. integrl impropi de segund especie 7. integrl impropi de segund especie 8. integrl impropi de segund especie =

3 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS B.. converge,. diverge 3. diverge 4. converge si p < ; diverge si p 5. diverge 6. converge, 9 7. converge, π 8. converge, π 9. diverge. converge,. converge,. diverge sin importr el vlor de p 3. diverge 4. converge, π 5. converge, π 5 5 6. converge, rctn 7. converge, 4π 3 9 8. diverge ( ) 3 9. diverge. converge,. diverge. converge, 3. diverge 4. diverge 5. coverge, 6. converge, ln() ln() 7. converge si k >, diverge si k 8. converge, π 8 9. converge, 4 3 ln(3) 3. converge, π 3 9 3. diverge 3. diverge 33. converge, π 4 34. converge, π 4 35. diverge 36. converge,

.. INTEGRALES IMPROPIAS POR PASO AL LÍMITE 3 37. converge, 38. converge, 39. converge, e 4. converge, π 4 55. converge, 56. converge, 57. diverge 58. converge, π 4. converge, π 4. converge, π 43. converge, π 4 44. converge, π 45. diverge 46. converge, 47. converge, 4 48. converge, 49. converge, π 5. converge, 5. converge, ln ln 3 5. converge, ln 5 rctn ( 4 53. converge, 3 4 ln 54. converge, π 3 ) 59. converge, 5 6. diverge 6. converge, ln() 6. converge, 3 63. converge, 64. diverge 65. diverge 66. converge, 5 ( 3 3 ) 67. diverge 68. converge, π 69. converge, π 3 7. converge, 6 3 7. converge, 7. diverge 73. converge, π

3 CAPÍTULO. INTEGRALES IMPROPIAS D.. converge, (use integrción por prtes). diverge (ver resolución del ejercicio 8, págin en ) 3. converge, π (ver ejemplo 6, págin en 7)