Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión f ( ), determina: a) Los puntos de corte con el eje OX; y su signo. b) Sus máimos y mínimo. c) Sus puntos de infleión.. Dada la función 4. Comprueba que la función y es decreciente en todo su dominio.. Halla los máimos y mínimos de la función sin f ( ) en el intervalo [0, ]. cos 4. Halla los puntos de infleión de la gráfica de la función f ( ) ln( ). 5 4 5. Demuestra que la función f ( ) 6 5 0 nunca es decreciente. Es posible que, a pesar de lo anterior, tenga puntos de infleión? 6. Dada la función f ( ) ( ) e, halla: a) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos y mínimos. b) Sus puntos de infleión y sus intervalos de concavidad y conveidad. 7. Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) en su punto de infleión. Estudio de una función dependiente de uno o más parámetros 8. Halla el valor que debe tomar a para que la función relativo en =. a f ( ) tenga un mínimo 9. Estudia los máimos y mínimos relativos de la función f ( ) a 5 dependiendo de los valores de a. 0. Halla el valor de a para que f ( ) a tenga un punto de infleión en =. p. Comprueba que la función f ( ) e tiene un mínimo local en = 0 para cualquier valor de p. Tendrá algún punto de infleión?
. Halla el valor de p para que la función ( ) f e p a) Un mínimo. b) Un máimo. c) Un punto de infleión. tenga:. Sea la función f ( ) a 5 0, a 0. a a) Halla los valores de a para los cuales la función f () tiene un máimo en =. b) Calcula los etremos relativos de f () para a =. 4. (Propuesto en Selectividad, Castilla la Mancha) Calcular los valores de a y b para que la gráfica de la función punto (, ) y admita en ese punto una tangente horizontal. 4 f ( ) a b pase por el b 5. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) a tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4). b) Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (). Esboza su gráfica. 6. (Propuesto en Selectividad) De la función f: R R definida por f ( ) a b c d se sabe: tiene un máimo en = ; su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa = ; tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9. 7. Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y b c d corte al eje OY en el punto (0, ), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX. Representa gráficamente la función obtenida dando algunos de sus puntos. Representación gráfica de una función 5 8. Dada la función f ( ) 5 : a) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos relativos. b) Determina sus intervalos de concavidad y conveidad; y sus puntos de infleión. c) Traza su gráfica. 9. Dada la función f ( ), se pide: a) Su dominio, posibles simetrías y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sus máimos y mínimos. c) Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad. d) Su representación gráfica.
4 0. Dada la función f ( ), se pide: a) Su dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad. b) Haz su representación gráfica.. Esboza la gráfica de la función f ( ).. Representa gráficamente la función f ( ) e, calculando: asíntotas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos, mínimos y puntos de infleión. ( ). Dada la función f ( ), halla: e a) Dominio de definición y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Etremos locales y los puntos de infleión. d) Un esbozo gráfico. 4. (Propuesto en Selectividad) Dibuja la gráfica de la función f ( ), determinando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. 5. (Propuesto en Selectividad) Sea f la función dada por f ( ), R. a) Estudia la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determina los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esboza la gráfica de f. 6. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. Esboza su gráfica. f ( ) e, sus ln 7. Sea la función f ( ). Haz una representación gráfica aproimada determinando sus asíntotas y sus etremos relativos. 8. Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 8]. Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes. a) f ( ) sin b) g ( ) sin 4 9. Representa gráficamente la función f ( ) sin en el intervalo < <.
4 Problemas de optimización 0. La suma de dos números positivos es 6; encuentra aquellos cuya suma de cuadrados sea mínima.. (Propuesto en selectividad, Aragón 007) Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: ) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero. ) Se necesitan eactamente 664 metros de valla para vallar los tres campos. ) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible.. (Propuesto en Selectividad) Determina las medidas de los lados de un rectángulo de área, de modo que la suma de las longitudes de tres de sus lados sea mínima.. (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Las curvas y e y se cortan en los puntos P y Q. Encuentra el punto A que está situado sobre la curva y área máima., entre P y Q, y que determina con P y Q un triángulo PAQ de 4. (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Determina las dimensiones de los lados y el área del rectángulo de área máima que, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro, se puede inscribir en un semicírculo de m de radio. 5. (Propuesto en Selectividad, Aragón 0) Descomponer el número en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo. 6. Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 6 y cuya área sea máima. 7. (Propuesto en Selectividad, Madrid 99) Sea la parábola y 4 4 y el punto (p, q) sobre ella con 0 p. Se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q). Calcula (p, q) para que el área de este rectángulo sea máima. 8. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 54 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. 9. El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) 0,0 4 80. Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p( ) 00 (C() y p() en unidades monetarias, u.m.). Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad. Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios. A cuánto asciende ese beneficio?
5 Otros problemas 40. (Propuesto en Selectividad, Madrid) Sea f: R R una función derivable en todo R. Se sabe que f(0) = ; f( ) = 0 y f() = 0. Además, la gráfica de su derivada es: Dibuja la gráfica de f ( ). 4. Sea f una función de la que se sabe que la gráfica de su derivada f tiene la forma que aparece en la figura: Determina, en cada caso, si f ( ) tiene máimos, mínimos (relativos) o puntos de infleión en los puntos de abscisa = y =. 4. (Propuesto en Selectividad, País Vasco) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilos de un artículo viene dado por la función B ( ) 0,0,6 80 a) Determina los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo. b) Determina los kilos que hay que producir y vender como máimo para que la empresa no tenga pérdidas. 4. Demuestra que la función f ( ) e corta una sola vez al eje OX. 44. Demuestra que la ecuación 0 tiene una sola raíz real. m 45. Determina si la función f ( ) tiene máimos, mínimos y puntos de infleión. Depende del valor que tome m? 46. Dada la función f ( ) : a a) Hay algún valor de a para el que se pueda evitar la discontinuidad en = a? b) Hay algún valor de a para el que la función tenga un máimo? 47. Dada la función f ( ) e, se pide: a) Sus máimos y mínimos relativos, si los tiene. b) Demuestra que corta dos veces al eje OX en el intervalo [, ].
6 Soluciones:. a) = ; =. b) Ma. (, 56). Min. (, 0). c) =.. = /, máimo; = 5 /, mínimo. 4. =. 6. a) Decrece: < 0; crece, > 0. b) = ; <, cóncava ( ); >, convea ( ). 7. y. 8. a = 8. 9. En = 0 hay máimo si a < 0, y mínimo si a > 0. En a / hay mínimo si a < 0, y máimo si a > 0. 0. a = /8.. a) Si p > 0, en = ln p hay un mínimo. b) No hay máimo. c) No tiene PI.. a) a o a =. b) máimo, (, 5/); mínimo, (5, 5/). 4. a = 4, b = 5. 5. a) a = 4; b =. b) AV, = 0; AO, y 4 ; Má, ( /, 4); mín, /, 4). 6. b = 0; a = ; c = ; d = 7. b = 5; c = 8; d =. (4/,,5), má; (5/,,07), PI; (, ), mín. 8. Crece:,. Má, ; min, ; PI, = 0 y /. 9. R {, }; impar); =, =, y =. b) c) <, ( ); < < 0, ( ); 0 < <, ( ); >, ( ). 0. a) R {}. AV, = ; AO, y = 4 + ; /, má; /, mín. Crec. (, /) (/, ). Decrec: /,, / ; <, ( ); >, ( ).. AV, = 0; AO, y.decrece siempre.. AH, y = 0. Dec: (, ); cre: (, + ). =, mín; =, PI. <, ( ); >, ( ).. a) AH, y = 0. b) < o >, decrece; < <, crece. c) (, 0), mín; (, 0,57), PI; (,,47), máimo; (,,05), PI. 4. R {}. AV, = ; AH, y =, ( ); y =, (+ ). Si < 0, decrece; > 0 {}, crece. 5. No derivable en = 0. b) Minimos: = / y = /; ma, = 0. 6. Si < 0, crece; > 0, decrece ; Ma, = 0. PI: ;. AH, y = 0. 7. AV, = 0 + ; AH, y = 0. Má, ( e /, /e) 8. a) Má, ; mín, 6. b) Má, =, = 5; mín, =, = 7. 9. = /, máimo; = /, mínimo; = 0, PI. 0. 8 y 8.. 9 m, 60 m y 64 m.. e y.. A =,. 4. base = ; altura: y. S = 4 m. 4 5. = 4 e y = 8. 6. 6, y 6, z 6 6 6 7. p = /, q = 6/9. 8. r h 9. a) 4000 ; 4 u.m. b) = 96,08; 96 u.m. 40. Crece; (, 0) ( + ); decrece, (, ) (0, ). Min, y ; má, 0; PI, y. 4. a) =, PI; =, máimo. b) =, máimo; =, PI. 4. a) 80 kg. b) 00 kilos. 45. Si m > 0, un máimo. Si m < 0, un mínimo. Si m 0, PI en y. 46. a = /. b) No. 47. Máimo en = ln.