Pág. P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones: 3( ) ( 3)( + 3) + ( ) ( ) +( )(3 ) 3( +5) 4 ( 3) (3 )(3 + ) (4 3 + 35) 3 3 3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: (y + )(y ) + ( + y) (y + 3) 3( + y) ( y) +(3 + y)y (y + + )( y) ( + y)( y) 3 Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica: 3( + 5) ( + ) + 5 4 (8 )( + ) (3 +) + 0 5 ( 4)( +4) ( + 3)( 3) 6
4 Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones: (7 5 + 3) : ( + ) ( 3 7 + 5 3) : ( ) ( 3 5 + +4):( +) Pág. 5 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes: (3 5 3 + 4 ) : ( 3 +) ( 4 5 3 + 3 ) : ( +) (4 5 + 3 3 ) :( +)
Pág. 3 6 Divide y comprueba que: ( 3 5 +3 +):( 5 +) Dividendo = divisor Ò cociente + resto 7 Epresa las siguientes divisiones de la forma D = d c + r. (6 3 + 5 9) :(3 ) ( 4 4 + 9) : ( +3) (4 4 + 3 +9 + 5) : ( 3 + 5)
Pág. 4 Factor común e identidades notables 8 Epresa como cuadrado de un binomio. 6 + 8 36 + 5y + 60y 9 4 + y + 6 y d)y 4 y + 9 Epresa como producto de dos binomios. 49 6 9 4 y 8 4 64 d)5 3 e) 00 f) 5 0 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo. 4 + 3 +8 = ( +6 +9) = ( + 3) 0 3 60 + 45 7 3 3y 3 3 + 6 y + 3y d)4 4 8 y
Regla de Ruffini. Aplicaciones Pág. 5 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: (5 3 3 + ) : ( ) ( 4 5 3 +7 +3):( +) ( 3 + 4) :( 3) d)( 4 3 3 + 5) : ( +) Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(3), P(5) y P(7) en los siguientes casos: P() = 3 5 + 7 +3 P() = 4 3 +7
Pág. 6 3 Averigua cuáles de los números,,,, 3, 3 son raíces de los polinomios siguientes: P() = 3 5 +6 Q() = 3 3 + 3 Recuerda que a es raíz de P() si P( = 0. 4 Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por 3 o +. P () = 3 3 + 3 P () = 3 + 4 30 P 3 () = 4 7 3 + 5 3
Pág. 7 5 El polinomio 4 3 3 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos. 6 Prueba si el polinomio 4 + 3 6 + 6 es divisible por a para algún valor entero de a. 7 Si P() = 3 3 8 + 45, halla los valores P(8,75), P(0,5) y P(7) con ayuda de la calculadora. Describe el proceso como en el ejemplo: 8.75m 3*Ñ-=*Ñ-8=*Ñ+45={ «} P(8,75) = 703,88...
Factorización de polinomios Pág. 8 8 Factoriza los siguientes polinomios: + 4 5 + 8 +5 7 80 d)3 +9 0 9 Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio: 9 5 3 5 4 +7 +5 d) + 7 7 0 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: 3 3 4 3 4 + 36 45 5 4 d) 4 + + 3 e) 6 6 f)6 4 9 Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes: ( 5)( 6 + 9) ( 7)( 3 + 40)
Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios: 3 + 3 3 5 + 3 9 +5 7 d) 4 3 +36 Pág. 9 3 Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: 3 3 3 7 9 + 60 3 6 d)4 4 + 4 3 3 4
Pág. 0 Fracciones algebraicas 4 Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: 4 y + y 3 3 + y y d) y y y 5 Descompón en factores y simplifica. 9 + ( +3) 4 + 5 0 d) + y 5 + y + y e) f) y 3y + 6 y
6 Reduce a común denominador y opera. + + 4 3 d) + + Pág. 7 Efectúa. + 3 3 d) 3 3 + + 3 +3 8 Opera. + 3 : + d) : 3 3 + + + 3
9 Opera y simplifica si es posible. : ( ( ) : +) + Pág. 30 Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica. 3 4 5 + 6 3 + 3 3 + d) 4 3 9 +6 8 + 7 P IENSA Y RESUELVE 3 Sustituye, en cada caso, los puntos suspensivos por la epresión adecuada para que las fracciones sean equivalentes: = = + + = d) = 3 9 + + 4 +4
3 Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de los polinomios siguientes: ; ; 3; 9; 6 +9 + ; 3 + 6; + d); + ; 4 Pág. 3 33 Resuelto en el libro de teto. 34 Opera y simplifica. 3 : + + ( ) 3) ( 3 ( ) + : ( ) d) : [( ) ( )] ( )
35 Efectúa. + + 5 + + 4 3 + 6 + + + + 4 Pág. 4
36 Opera y simplifica. ( ) +3 : 3 ( ) + 3 4 ( ) Pág. 5 37 Efectúa. + + 3 + + +3 3 + 3 + + 9 3 + 3 38 Resuelto en el libro de teto.
39 Calcula m para que el polinomio sea divisible por +. P() = 3 m + 5 Pág. 6 40 El resto de la siguiente división es igual a 8: Cuánto vale k? ( 4 + k 3 7 +6):( ) 4 Halla el valor que debe tener m para que el polinomio sea divisible por +. m 3 3 + 5 +9m 4 Comprueba si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios: P() = 4 4 y Q() = P () = 0 + 5 y Q() = 5 P() = 3 + y Q() = 3
Pág. 7 43 Tenemos un polinomio P() = ( ) ( + 3). Busca un polinomio de segundo grado, Q(), que cumpla las dos condiciones siguientes: má.c.d. [P(), Q()] = mín.c.m. [P(), Q()] = ( ) ( 9) 44 Calcula el valor de k para que el polinomio P() = 3 + + k sea múltiplo de Q() = +. Traducción al lenguaje algebraico 45 Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita: El cociente entre dos números pares consecutivos. Un número menos su inverso. El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. d)la suma de los inversos de dos números consecutivos. 46 Epresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. + 4
47 Epresa, en función de, el área total de este tronco de pirámide. Pág. 8 + + 48 Un grifo tarda minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda 3 minutos menos en llenar el mismo depósito. Epresa en función de la parte del depósito que llenan abriendo los dos durante un minuto. 49 Se mezclan kg de pintura de 5 /kg con y kg de otra de 3 /kg. Cuál será el precio de kg de la mezcla? Eprésalo en función de e y. 50 En un rectángulo de lados e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo. y 5 Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando e y. y
5 Dos pueblos, A y B, distan 60 km. De A sale un coche hacia B con velocidad v. Al mismo tiempo sale otro de B en dirección a A con velocidad v + 3. Epresa en función de v el tiempo que tardan en encontrarse. Pág. 9 53 En el rectángulo ABCD de lados AB = 3 cm y BC = 5 cm, hemos inscrito el cuadrilátero A'B'C'D' haciendo AA' = BB' = CC' = DD' =. Escribe el área de A'B'C'D' en función de. B A' B' C C' A D' D
Pág. 0 54 En el triángulo de la figura conocemos BC = 0 cm, AH = 4 cm. Por un punto D de la altura, tal que AD =, se traza una paralela MN a BC. Desde M y N se trazan perpendiculares a BC. M A D N B P H Q C Epresa MN en función de. (Utiliza la semejanza de los triángulos AMN y ABC). Escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en. A M D N 4 cm B P H Q 0 cm C R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 55 Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces: 7 y 7 0 y 5 y 3 d)4 (doble) 56 Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada: De segundo grado sin raíces. Que tenga por raíces, 0 y 3. De tercer grado con una sola raíz.
57 Las raíces de P() son 0, y 3. Escribe tres divisores de P() de primer grado. Escribe un divisor de P() de segundo grado. Pág. 58 Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición indicada en cada caso: mín.c.m. [P(), Q()] = ( 3)( +) má.c.d. [P(), Q()] = + 59 Cuál es el mín.c.m. de los monomios A = b; B = a b ; C = 5a? Escribe otros tres monomios D, E, F tales que: mín.c.m. (A, B, C, D, E, F ) = 0a b 60 Si la división P() : ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor P()? Si 5 es una raíz del polinomio P(), qué puedes afirmar de la división P() : ( + 5)? En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anteriores? 6 Prueba que el polinomio +(a + + ab es divisible por + a y por + b para cualquier valor de a y b. Cuál será su descomposición factorial?
6 En una división conocemos el dividendo, D(), el cociente, C(), y el resto, R(). Calcula el divisor. D() = 3 3 +5 ; C() = 3; R() = 7 7 Pág. 63 Cuál es la fracción inversa de 3? Justifícalo. + P ROFUNDIZA 64 Saca factor común en las siguientes epresiones: 3( 3) ( + )( 3) ( + 5)( ) + ( 5)( ) (3 y)(a + (a (3 y) El factor común es un binomio. 65 Descompón en factores 3 a 3 y 3 + a 3. Prueba si son divisibles por a o por + a.
66 Factoriza las siguientes epresiones como en el ejemplo. a ay + b by = a( y) +b( y) = ( y)(a + a ay + b by y + y + + 3 y + y + 3y + y d)ab 3 ab + b Pág. 3 67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: y y 3a b 6ab 3 4a b a b 0 5y 3a 3 b 6a b ab +a b + 4b 68 Efectúa y simplifica. + y 3 ( ) y + y a ab : ab b ab + b a + ab + a + (a + + b ab b ab a
69 Opera y simplifica. a 3b a +3ab +8b a 3b a + 3b a 9b b b + 3b + 3b + b + b + + y y ( y y + y ) y d) y : y + y ( + y ) ( + y y ) Pág. 4