Estructuras Discretas Conjuntos Conjuntos & Funciones Claudio Lobos clobos@inf.utfsm.cl niversidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Definición: conjunto n conjunto es una colección desordenada de objetos Definición: elemento Los objetos de un conjunto se llaman elementos o miembros del conjunto. Se dice que un conjunto contiene a sus elementos a : a es elemento del conjunto a : a no es elemento del conjunto (equivalente a (a )) Especificación de Conjuntos Especificación de Conjuntos 1 Enumerando todos los elementos del conjunto (solo si es posible) Ej: Vocales = {a,e,i,o,u} 2 Enumerando los elemento del conjunto de forma parcial Se enumeran algunos elementos y se usa... para representar el resto cuando el patrón general es obvio. : enteros positivos menores que 100 = {1,2,3,...,99} números naturales: N = {0,1,2,...} números enteros: Z = {..., 1,0,1,...} enteros positivos: Z + = {1,2,3,...} 3 sando notación de construcción de conjuntos Caracterizar los elementos del conjunto usando predicados. : enteros positivos menores que 100 = {x x Z + x < 100} números racionales: Q = { p q p,q Z,q 0} números reales: R = {x x es un número real} 4 sando diagramas de Venn En estos diagramas, el conjunto universal contiene a todos los objetos bajo consideración, se representa usando un rectángulo Dentro del rectángulo, se usan círculos u otras figuras geométricas para representar conjuntos, y las relaciones entre estos a e i u o b c
lgunas Definiciones Subconjuntos Definición: igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos elementos Ejemplo: los conjuntos {1,2,3}, {3,1,2} y {3,3,1,2,1,2} son iguales, no importa el orden o la cantidad de veces que aparece un elemento Definición: subconjunto El conjunto es subconjunto de si, y solo si, todo elemento de es también un elemento de (se escribe como ) Teorema 1 si, y solo si, x (x x ) Definición: conjunto vacío (o nulo) El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos. También se escribe como {} Ojo: cuidado con confundir y { }. El primer conjunto no tiene elementos, el segundo conjunto tiene un elemento el conjunto vacío Teorema 2: todo conj. no vacío tiene al menos dos subconjuntos Para cualquier conjunto S, i) S, y ii) S S Demostración Teorema 2: (propuesto) deben demostrar que: 1 x (x x S) 2 x (x S x S) Volver a conj. de partes Subconjuntos Cardinalidad de Conjuntos Escribimos para indicar que es un subconjunto propio de, o sea, x (x x ) na forma de demostrar que dos conjuntos son iguales es mostrar que cada conjunto es subconjunto del otro. Si y son conjuntos, y quieren demostrar que =, deben x 1 demostrar que, y 2 demostrar que 3... o sea, demostrar que x (x x ) Los conjuntos pueden tener otros conjuntos como elementos. Ejemplo: {,{a},{b},{a,b}} {x x es un subconjunto del conjunto {a,b}} Definición: tamaño Sea S un conjunto. Si S tiene exactamente n elementos distintos, donde n es un entero no negativo, decimos que S es un conjunto finito y que n es el cardinal de S. El cardinal de S se escribe como S. : {x x Z + impares x < 10} = 5, = 0 Definición: conjunto infinito n conjunto se dice que es infinito si no es finito
Predicados sobre Conjuntos Operaciones sobre Conjuntos hora podemos escribir expresiones de la forma x S,P(x), para indicar que S es el dominio de S...... y de forma similar, x S,P(x) Ej: x Z,(x 2 = 1). Es fácil ver que esta expresión es V, tomando x = ±1 Sean y conjuntos. Las siguientes operaciones permiten crear nuevos conjuntos: nión: es el conjunto que contiene aquellos elementos que están bien en o bien en, o en ambos. Más formalmente: = {x x x } Intersección: es el conjunto que contiene solo aquellos elementos que están tanto en como en. Más formalmente: = {x x x } Operaciones sobre Conjuntos Operaciones sobre Conjuntos Sean y conjuntos. Las siguientes operaciones permiten crear nuevos conjuntos: Diferencia: es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en y que no están en. Más formalmente: = \ = {x x x } Complemento: es el complemento de con respecto a, o sea, =. Mas formalmente: = = {x x } Sean y conjuntos. Las siguientes operaciones permiten crear nuevos conjuntos: Diferencia simétrica: = ( ) ( ) = ( ) ( ) Es fácil ver que =
Conjuntos Disjuntos Conjunto de Partes También conocido como Conjunto Potencia Definición: conjuntos disjuntos Se dice que dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, o sea, = Cardinalidad de la unión de dos conjuntos: Queremos saber cuánto es asta con calcular +? No! si, esta fórmula cuenta dos veces los elementos comunes de y Fórmula correcta: = + En muchos problemas, debemos probar todas las combinaciones posibles de elementos de un conjunto para ver si satisfacen una propiedad determinada Para considerar todas estas combinaciones de elementos del conjunto S, construimos un nuevo conjunto, cuyos elementos son todos los posibles subconjuntos de S Este se conoce como el conjunto de partes de S Definición: conjunto de partes Dado un conjunto S, el conjunto de partes de S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. El conjunto de partes se denota por P(S) o 2 S. Conjunto de Partes Orden de Elementos Cuál es el conjunto de partes de S = {a,b,c}? P(S) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} Notese que el conjunto vacío y el propio conjunto son elementos del conjunto de partes ver Teorema 2 P( ) =? { } P({ }) =? {,{ }} Si un conjunto tiene n elementos, entonces su conjunto de partes tiene 2 n elementos El orden de los elementos de una colección puede ser importante Los conjuntos son colecciones desordenadas, o sea, no importa el orden de los elementos Necesitamos definir una nueva estructura para trabajar con orden Definición: n-tupla ordenada na n-tupla ordenada (a 1,a 2,...,a n ) es la colección ordenada en la que a 1 es el primer elemento, a 2 el segundo,... y a n el n-esimo elemento Dos n-tuplas son iguales sii cada par de sus elementos es igual. Es decir, (a 1,a 2,...,a n ) = (b 1,b 2,...,b n ) si, y solo si, a i = b i para i = 1,2,...,n Las 2-tuplas se llaman pares ordenados
Producto Cartesiano Producto Cartesiano Generalizado Definición: producto cartesiano Sean y conjuntos. El producto cartesiano de y, denotado, es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a y b En otras palabras, = {(a,b) a b } : si = {1,2} y = {a,b,c} = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} = 2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} En general,, a no ser que = = (en cuyo caso = ), o = También se puede definir el producto cartesiano de más de dos conjuntos: Definición: producto cartesiano generalizado El producto cartesiano de los conjuntos 1, 2,..., n, denotado por 1 2 n, es el conjunto de n-tuplas (a 1,a 2,...,a n ) donde a i i, para i = 1,2,...,n Es decir, 1 2 n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i i, para i = 1,2,...,n} : si = {1,2}, = {a,b,c}, y C = {, } C = {(1,a, ),(1,b, ),(1,c, ),(2,a, ),(2,b, ),(2,c, ), (1,a, ),(1,b, ),(1,c, ),(2,a, ),(2,b, ),(2,c, )} Identidades de Conjuntos Leyes de identidad = = Leyes de dominación = = Leyes idempotentes = = Ley de doble complementación = Leyes conmutativas = = Leyes asociativas ( C) = ( ) C ( C) = ( ) C Leyes distributivas ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Leyes de Morgan = = Leyes de absorción ( ) = ( ) = Leyes de complemento = = Demostrar que P Q = P Q: Demo.: na forma de demostrar igualdad entre y es demostrando que x (x x ), donde = P Q y = P Q 1 Demostrar que x (x x ) (demo. directa) Sea x. Supongamos que x P Q, veamos si podemos demostrar que x P Q Por la def. de complemento, tenemos que x (P Q), lo que es equivalente a (x (P Q)) Por la def. de intersección, tenemos que (x P x Q) es V plicando de Morgan, sabemos que (x P) (x Q) es V Por def. de negación, obtenemos que (x P x Q) es V Por def. de complemento, vemos que (x P) (x Q) es V Por la def. de unión, se sigue que x (P Q) x es cualquiera, podemos generalizar: x (x x ) es V En consecuencia, P Q P Q 2 Demostrar que x (x x ) (propuesto)
Demostrar que P Q = P Q: Demo.: también se puede demostrar directamente, usando la notación constructiva de conjuntos: P Q = {x x (P Q)} def. complemento = {x (x (P Q))} negación = {x (x P x Q)} def. intersección = {x x P x Q} de Morgan = {x (x P) (x Q)} negación = {x x P x Q} def. complemento = {x x P} {x x Q} def. unión = P Q def. conjunto Muestre que ( ) C = C Demo.: también podemos usar las identidades de conjuntos para demostrar igualdad ( ) C = ( ) C de Morgan = (( ) C) doble complemento 2 = ( ) C asociación, conmutación = C absorción ( ) C = C P Q = P Q Generalización de y Muestre que ( C) = ( ) ( C) Demo.: ( C) = {(a,b) a b ( C)} definición = {(a,b) a (b b C)} definición = {(a,b) (a b ) (a b C)} ley distributiva = {(a,b) a b } {(a,b) a b C} definición = ( ) ( C) definición ( C) = ( ) ( C) Como tanto la unión como intersección de conjuntos son asociativos, podemos definir versiones generalizadas de estos operadores Definición: unión generalizada La unión de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros de al menos un conjunto de la colección. Notación: 1 2 n = n i i=1 Definición: intersección generalizada La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros de todos los conjuntos de la colección. Notación: 1 2 n = n i i=1
Funciones Terminología Definición: función Sean, conjuntos. na función f de en es una asignación de exactamente un elemento de a cada elemento de, denotado f : Escribimos f (a) = b si b es el elemento de asignado por la función f al elemento a. Cuál de estos diagramas representa una función? función relación Si f : y f (a) = b, entonces: es el dominio de f es el codominio de f b es la imagen de a y a es la preimagen de b rango (o imagen) de f : el conjunto de todas las imágenes de los elementos de, o sea, I = {b a,b,f (a) = b} Podemos definir funciones de dos o mas parámetros: En este caso, el dominio de la función es el producto cartesiano de dos o mas conjuntos Ej. f : C, donde a cada elemento (a,b) se le asigna un valor c C f : Z Z, donde f (x) = x 2. Es fácil ver que Z es el dominio y codominio de f, y el rango de f es {0,1,4,9,...} f : Z Z Z, donde f (x,y) = x + y Gráficos de Funciones Suma y Producto de Funciones Definición: gráfica de una función Sea f :. La gráfica de f es el conjunto de pares ordenados {(a,b) a,b,f (a) = b} Este conjunto de pares ordenados se pueden graficar para entender el comportamiento de la función Ejemplo: Sean f : Z Z y g(x) : R R, donde f (x) = g(x) = x 2. La gráfica de f es el conjunto de los pares (x,x 2 ), mientras que la gráfica de g es una linea continua: f (x) g(x) Dos funciones con valores reales con el mismo dominio se pueden sumar y multiplicar. Sean f 1, f 2 funciones de en R. Entonces, f 1 + f 2 y f 1 f 2 también son funciones de en R, definidas por: (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x) Ejemplo: si f 1, f 2 : R R, donde f 1 (x) = x 2 y f 2 (x) = x x 2, entonces (f 1 + f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) = x 2 + x x 2 = x (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x) = x 2 (x x 2 ) = x 3 x 4
Funciones sobre Conjuntos Funciones Inyectivas Definición: imagen de subconjunto del dominio Sea f : función, y S. La imagen de S es el subconjunto de formado por todas las imágenes de los elementos de S, se denota f (S) = {f (s) s S} Ejemplo: Si = {a,b,c,d,e} y = {1,2,3,4} donde f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 4, f (d) = 1, f (e) = 1 La imagen del subconjunto S = {b,c,d} es el conjunto f (S) = {1,4} lgunas funciones asignan imágenes distintas a elementos distintos del dominio. Estas funciones se conocen como inyectivas. Definición: función inyectiva na función f : es inyectiva sii x,y (f (x) = f (y) x = y) Esta expresión sera falsa si podemos encontrar dos elementos distintos que tengan la misma imagen De forma equivalente, una función es inyectiva si, y solo si, x,y (x y f (x) f (y)) Funciones Inyectivas Funciones Crecientes/Decrecientes Sean f,g : Z Z 1 Es f (x) = x 2 función inyectiva? Como f (1) = f ( 1) = 1 pero 1 1, hemos encontrado un contraejemplo a la definición de inyectividad, así que f (x) no es función inyectiva 2 Es g(x) = 2x + 3 función inyectiva? Demo.: (demo. directa de x,y (f (x) = f (y) x = y)) Sean x,y Z. sumir que g(x) = g(y), por lo que 2x + 3 = 2y + 3 (def. de función g) Restando 3 a ambos lados y después dividiendo por 2, obtenemos que x = y O sea, hemos demostrado que g(x) = g(y) x = y Como x, y son arbitrarios, podemos generalizar y concluir que x,y Z (g(x) = g(y) x = y), así que g(x) es función inyectiva Definición: función estrictamente creciente na función f :, donde, R, es estrictamente creciente si x,y (x < y f (x) < f (y)) Definición: función estrictamente decreciente na función f :, donde, R, es estrictamente decreciente si x,y (x < y f (x) > f (y)) na función estrictamente creciente o decreciente debe ser inyectiva x y f (x) est. creciente g(x) est. decreciente
Funciones Sobreyectivas Funciones Sobreyectivas Para algunas funciones, la imagen y el codominio son iguales. En otras palabras, todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Estas funciones se conocen como sobreyectivas Definición: función sobreyectiva na función f : es sobreyectiva sii y, x (f (x) = y) Esta expresión es falsa si hay por lo menos un elemento de sin preimagen según la definición de f Sean f,g : Z Z 1 Es f (x) = x 2 función sobreyectiva? Como no existe entero x tal que x 2 = 1, podemos concluir que f (x) no es función sobreyectiva 2 Es g(x) = 2x + 3 función sobreyectiva? Demo.: (por construcción) Sea y Z. Sabemos que g(x) = y si, y solo si, 2x + 3 = y (por definición de la función) Despejando x, tenemos que x = y 3 2 O sea, para un y arbitrario, hemos demostrado que existe un x, cuyo valor es y 3 2, tal que g(x) = y, o sea, x Z (g(x) = y) Generalizando, hemos demostrado que y Z, x Z (g(x) = y), así que g(x) es función sobreyectiva Funciones iyectivas Funciones Identidad e Inversa Definición: función biyectiva na función f : es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva 4 casos posibles: Teorema 3 inyectiva sobreyectiva biyectiva! % %! %! %???? Sea f :. Si es finito, entonces f es inyectiva si, y solo si, es sobreyectiva Definición: función identidad Sea un conjunto. La función identidad sobre es la función 1 : tal que x (1 (x) = x) Esta función asigna a cada elemento el mismo. Es una función inyectiva y sobreyectiva, así que es una biyección Como una función biyectiva f : le asigna a cada elemento de un único elemento de, y cada elemento de esta relacionados con algún elemento de, podemos definir la función inversa: Definición: función inversa Sea f : una función biyectiva. La función inversa de f es la función que asigna a un elemento b de el único elemento a de tal que f (a) = b. La función inversa se denota f 1
Función Inversa Composición de Funciones Si una función no es biyectiva, no se puede definir su inversa: si f no es inyectiva, entonces existen a 1, a 2 y b tal que f (a 1 ) = f (a 2 ) = b... entonces f 1 (b) tiene dos posibles valores, y por lo tanto, no es función si f no es sobreyectiva, entonces existe un valor de que no tiene preimagen, o sea, para algún valor b, f 1 (b) no está definido sí que solo funciones biyectivas son invertibles Ejemplo: Cuá es la inversa de g : Z Z, donde g(x) = 2x + 3? Vimos que g(x) es inyectiva y sobreyectiva, así que es biyectiva y tiene inversa. Supongamos que y es la imagen de x, así que y = 2x + 3. Entonces, x = y 3 2, por lo que g 1 (y) = y 3 2 Definición: composición de funciones Sean g :, f : C. La composición de las funciones f y g, denotada por f g, se define por (f g)(x) = f (g(x)) Ojo: la composición f g no se puede definir si la imagen de g no es un subconjunto del dominio de f (f g)(x) = z x g(x) y f (y) z C Composición de Funciones Sean f,g : Z Z, donde f (x) = 2x + 3, g(x) = 3x + 2 1 (f g)(x) =? f (g(x)) = f (3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7 2 (g f )(x) =? g(f (x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11 En general, f g g f Caso especial: cuando una función se compone con su inversa, sin importar el orden, siempre se obtiene la función identidad Sea f : biyectiva, entonces existe f 1 : La función inversa invierte la correspondencia de la función original, de tal forma que f 1 (b) = a cuando f (a) = b, y f (a) = b cuando f 1 (b) = a Por lo tanto, (f 1 f )(a) = f 1 (f (a)) = f 1 (b) = a y (f f 1 )(b) = f (f 1 (b)) = f (a) = b sí que f 1 f = 1, mientras que f f 1 = 1