Gustavo Montero. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales University of Las Palmas de Gran Canaria

Métodos Numéricos Gustavo Montero Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales University of Las Palmas de Gran Canaria Curso 2005-2006

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Generalidades 1 Introducción 2 3 4 5

Generalidades Introducción Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación

Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series 1 Introducción 2 3 4 5

Límites y Continuidad Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Límite en x = x 0 lim f (x) = l x x 0 ε > 0, δ > 0, tal que x x 0 < δ f (x) l < ε Continuidad en un punto Existe el valor de la función en el punto Existe el ĺımite de la función en el punto Ambos valores coinciden

Teoremas importantes Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Teorema de Bolzano Supongamos que f C [a, b] y L es cualquier número entre f (a) y f (b). Entonces existe un número c (a, b) tal que f (c) = L. Teorema de Weierstrass Supongamos que f C [a, b]. Entonces existen una cota inferior M 1, una cota superior M 2 y dos números x 1, x 2 [a, b] tales que M 1 = f (x 1 ) f (x) f (x 2 ) = M 2 para cada x [a, b]

Funciones derivables Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Teorema de Rolle Supongamos que f C [a, b] y que f (x) existe para todo x (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un número c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema de Lagrange Supongamos que f C [a, b] y que f (x) existe para todo x (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un número c (a, b) tal que f f (b) f (a) (c) =. b a

Integrales Introducción Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Primer teorema fundamental o Regla de Barrow Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a, b] (es decir, F (x) = f (x)), entonces Z b f (x)dx = F (b) F (a) a Segundo teorema fundamental Si f es continua en [a, b] y x (a, b), entonces Z d x f (t)dt = f (x) dx a Teorema del valor medio para integrales Supongamos que f C [a, b]. Entonces existe un número c en (a, b) tal que Z 1 b f (x)dx = f (c) b a a

Series Introducción Límites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Definición, convergencia y suma Dada una sucesión {a n} n=1, denotaremos por X n=1 a n la serie de término general a n. La suma parcial n-ésima de la serie se define como S n = k=1 converge si la sucesión {S n} n=1 converge a un ĺımite S llamado suma de la serie, es decir, nx nx lim Sn = lim a k = S n n k=1 Teorema de Taylor a k y se dice que la serie Supongamos que f C n+1 [a, b] y sea x 0 [a, b]. Entonces, para cada x (a, b), existe un número c = c(x) que está entre x 0 y x, y verifica f (x) = nx k=0 " # f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (c) k! (n + 1)! (x x 0) n+1

Forma desarrollada 1 Introducción 2 3 4 5

Forma desarrollada Introducción Forma desarrollada Ejemplo en base 10 1758 = (1 10 3 ) + (7 10 2 ) + (5 10 1 ) + (8 10 0 ) Ejemplo en base 2 1758 = (1 2 10 ) + (1 2 9 ) + (0 2 8 ) + (1 2 7 ) + (1 2 6 ) + (0 2 5 ) + (1 2 4 ) + (1 2 3 ) + (1 2 2 ) + (1 2 1 ) + (0 2 0 ) 1758 = 11011011110 dos

Números del ordenador Forma desarrollada Mantisa y exponente x ±q 2 n q: MANTISA (expresión binaria finita que verifica la desigualdad 1/2 q < 1) n: EXPONENTE (entero) Números en coma flotante Ordenadores con 32 cifras binarias: desde 2.938736E 39 hasta 1.701412E + 38 Ordenadores con 48 cifras binarias: desde 2.9387358771E 39 hasta 1.7014118346E + 38 Ordenadores con 64 cifras binarias: desde 5.562684646268003E 309 hasta 8, 988465674311580E + 307

Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad 1 Introducción 2 3 4 5

Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad Error de redondeo El que se produce debido a que la representación de los números reales en un ordenador está limitada por el número de cifras de la mantisa, de manera que algunos números no coinciden exactamente con su representación en el ordenador. Error de truncamiento Se produce cuando una expresión matemática complicada se reemplaza por una fórmula más simple. Este error se conoce como de truncamiento o de consistencia. f (h) = p(h) + E(h) Una función E(h) se dice que es de orden t(h) cuando h 0 si E(h) C t(h) y se representa (Landau) por E(h) = O(t(h)). Un esquema se dice que es consistente si lim E(h) = 0, es decir lim f (h) = lim p(h) h 0 h 0 h 0 Estabilidad Un esquema se dice que es estable si un pequeño error en las condiciones iniciales produce errores pequeños en el resultado final.

Conclusiones 1 Introducción 2 3 4 5

Conclusiones Introducción Conclusiones Búsqueda de la solución del problema planteado: utilización de esquemas consistentes controlando el error Obtención de la solución del problema: Procedimiento de cálculo estable Teorema: Todo esquema consistente y estable es también convergente