Mecánica de Materiales I

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Mecánica de Materiales I Tema 4 Estados de Esfuerzos Deformaciones

Índice de contenido Sección 1 - Estado general de esfuerzos Sección - Transformación de esfuerzos planos Sección 3 - Esfuerzos Principales Sección 4 - Estado plano de deformación Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Índice de contenido Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Sección 6 - Deformaciones principales Sección 7 - Relación entre esfuerzo deformación plana Sección 8 - Círculo de Mohr

Índice de contenido Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Índice de contenido Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación Sección 10 Rosetas de Deformación Sección 11 Resumen de Ecuaciones Sección 1 - Ejercicios

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos Estado general de esfuerzos En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal /o cortante en una sección transversal de un miembro cuando se somete a carga aial, fuerza cortante, momento flector /o momento torsor. Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, que en cada una de ellas puede eistir un esfuerzo normal dos esfuerzos cortantes. En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud sentido contrario para que el elemento esté equilibrado.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Transformación de esfuerzos planos Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal ( ) uno cortante ( ) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo indica la dirección normal al plano de corte.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen, sobre el elemento: P d d tan P d tan d

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Si proectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el valor del esfuerzo : F P cos P sin Luego, al desarrollar la epresión nos queda: d cos 0 cos sin sin cos cos Si utilizamos la identidades trigonométricas: 1 cos sin 1 cos ; ; sin cos sen

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Podemos plantear finalmente: cos sin Esta epresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación respecto a la dirección. queda: Si planteamos la misma epresión para un ángulo =+90º, nos ' cos( 180) sin( 180)

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Recordando que trigonométrica mente se cumple que: cos( ) cos( 180) sin( ) sin( 180) 0 0 cumple: Hallaremos que para las epresiones planteadas anteriormente se ' ctte Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Ahora buscaremos una epresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano. Si proectamos ahora las fuerzas P P sobre la dirección (perpendicular a ), tenemos: F ' P sin P cos Desarrollando la epresión nos queda: ' d cos ( ) cos sen sin cos ' 0 cos Recordando las identidades trigonométricas: 1 cos sin 1 cos ; ; sin cos sen

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Podemos plantear finalmente: ' sin cos Esta epresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación respecto a la dirección. queda: Si planteamos la misma epresión para un ángulo =+90º, nos ' sin( 180) cos( 180)

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección - Transformación de esfuerzos Recordando que trigonométrica mente se cumple que: cos( ) cos( 180) sin( ) sin( 180) 0 0 cumple: Si sumamos los esfuerzos cortantes para veremos que se ' ' 0 ; ' ' Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, en el otro plano ocurre al revés.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales En el diseño análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere determinar los esfuerzos máimos en un elemento para garantizar la seguridad del miembro cargado. La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable. Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos máimos: De lo que resulta: Esfuerzos Principales d d cos sin d d d d d d d sin cos d

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máimos minimos, queda: tan p Donde p es la orientación del plano principal. Recordando que la función tan se repite cada 180º, la función tan se repetiría cada 90º, por lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos visualizarla también de la forma: sin cos p p Donde el término - representaría el cateto opuesto de un triángulo rectángulo con ángulo interno p, el término - representaría el cateto adacente.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo hallar las epresiones para sin cos. De la figura puede definirse la hipotenusa de triángulo: H Finalmente, se puede plantear para p1 : Para p contrario. sin p1 H ; cos p1 H las epresiones serían las mismas, pero con signo

Al introducir estas epresiones en la ecuación de, obtenemos: Finalmente queda: Donde p1, son los esfuerzos de maor magnitud que pueden darse en el elemento diferencial se denominan esfuerzos principales. 1, H H 1, Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Si sustituimos sin( p1, ) cos( p1, ) en la epresión referente a, obtenemos: p H H 1 p Esto quiere decir que en los planos principales, sólo eisten esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo. 0

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales También podemos obtener epresiones para determinar los esfuerzos cortantes máimos en el elemento. Si derivamos la epresión del esfuerzo cortante que depende del ángulo : d d ' ( ) cos ( sen ) 0 Finalmente queda: tan p sin p cos De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales, eisten dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las epresiones para sin p para cos p. p

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Se cumple que: H Por lo tanto: cos H sin H Al sustituir esta epresión en la epresión de, nos queda: ma

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales Si sustituimos sin() cos() en la epresión referente a, obtenemos: ' Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es máimo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio ( prom ). prom

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 4 - Estado plano de deformaciones Estado plano de deformaciones Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias (). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular ) Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres deformaciones, como se muestra en la figura.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Transformación de deformaciones planas Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección, como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones e, despreciando los términos que resulten mu pequeños: d d tan d tan d

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas El alargamiento en la dirección viene dado por la proección de las deformaciones sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria normal, es la razón entre el alargamiento proectado la longitud del segmento en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: ' d' cos sin d cos Al desarrollar esta epresión, nos queda: cos sin cos sin sin cos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: cos 1 cos sin 1 cos ; ; sin cos sen Obtenemos finalmente: cos sin De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para esta epresión también se cumple que: '

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Ahora, proectaremos las deformaciones sobre una dirección perpendicular a. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el alargamiento proectado la longitud del segmento en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: ' ' d' cos( 90) sin( 90) d cos Al desarrollar esta epresión, nos queda: ' cos sin sin sin cos cos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: cos 1 cos sin 1 cos ; ; sin cos sen Obtenemos finalmente: ' sin cos De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para esta epresión también se cumple que: ' ' Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Deformaciones Principales La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable. Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las deformaciones máimas: d d d d cos sin d d d d De lo que resulta: d sin cos d

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máimos minimos, queda: tan p Donde p es la orientación del plano principal. Observemos que la solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones: ; ; Entonces, podemos establecer la epresión para deformaciones principales: 1,

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones tangenciales máimas sería: ma De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los planos donde ocurre la deformación unitaria normal máima, la deformación unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformación unitaria tangencial es máima, la deformación unitaria normal es prom. prom

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo deformación plana Relación entre Esfuerzo Deformación plana Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la dirección en que se produce dicho esfuerzo, una contracción en la dirección perpendicular a la que ocurre el mismo. Si por el contrario, el esfuerzo normal es de compresión, el elemento se acortará en la dirección del mismo se estirará en la dirección perpendicular.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo deformación plana El alargamiento ó acortamiento que eperimenta un elemento diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el módulo de Poisson (). En caso de que el esfuerzo se produzca en la dirección, la deformación que sufriría el elemento en la dirección perpendicular ( / ) se puede determinar mediante la relación: E El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección : E

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo deformación plana Entonces, la deformación unitario normal resultante en una dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior. Podemos entonces plantear una epresión para la deformación resultante en la dirección, dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones e : Al desarrollar esto, nos queda: 1 E ( Análogamente, podemos establecer una epresión para : 1 E ( ) )

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo deformación plana Las epresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones e, conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. También podemos epresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección, tendríamos: E (1 ( ) ) Y para el esfuerzo normal en la dirección : E (1 ( ) ) Note que el esfuerzo normal también depende de las deformaciones que ocurren en su dirección paralela perpendicular.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los esfuerzos normales cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen: queda: Círculo de Mohr cos sin ' sin cos Si elevamos ambas epresiones al cuadrado las sumamos, '

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma: R De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma: prom R Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales cortantes que actúan sobre el mismo. '

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Método para graficar el círculo de Mohr A continuación describiremos un procedimiento para graficar el círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos. Su tomarán la siguiente convenciones: - Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa los esfuerzos cortantes en la ordenada. - Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa. - Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj. - Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las ordenadas.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Los pasos a seguir son: 1. Graficar los puntos (, )(, ), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos e respectivamente. Notequeeneste caso, hace girar al elemento en sentido antihorario lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convención establecida. También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales ( ) son de tracción.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr. Trazar una línea que una los puntos (, )(, ) definir la dirección, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de las abscisas en el valor prom. 3. Con centro en el punto ( prom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (, )(, ).

Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los parámetros,, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa: - El esfuerzo normal cortante para cualquier plano del elemento diferencial. - Los esfuerzos principales ( 1 ). - Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales ( p1 p ). - El esfuerzo cortante máimos ( ma ) Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr - Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante máimo.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Para determinar el esfuerzo normal cortante de cualquier plano con dirección, se traza un radio que corte el círculo esté inclinado un ángulo igual a respecto al eje. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos en el plano en cuestión. Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido antihorario. Note que para el caso mostrado, el esfuerzo es de tracción (+) el esfuerzo cortante trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje hasta el eje horizontal. Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo. Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 siempre es =180º, es decir, =90º.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr El esfuerzo cortante máimo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas. Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje. Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales los esfuerzos cortantes máimos eiste siempre un ángulo =90º, es decir, =45º.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen: cos sin ' sin cos Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales cortantes, si se hacen las sustituciones: ; ;

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera: Donde: prom R ' R Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable en vez de, el eje de las ordenadas se referirá a / en vez de, se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación Casos de estado plano de esfuerzo deformación Recipientes de pared delgada Designaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación: mismo. r t 10 Donde r es el radio interno del recipiente t el espesor de pared del Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los etremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial ( T ), el otro tiene dirección longitudinal ( L ). En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales ( T ).

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: P r L t r Donde P es la presión interna del recipiente. plantearse: L P r t Finalmente puede

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: P r L T t L Finalmente : T P r t

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse: P r T t r Entonces, puede plantearse: T P r t

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo deformación Barras sometidas a esfuerzos combinados

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 10 - Rosetas de deformación Rosetas de deformación En algunos casos, es mu difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan eperimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones: a cos a sin a sin cos a a b cos b sin b sin cos b b c cos c sin c sin cos c c

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Relación entre carga, fuerza cortante momento flector: Lim 0 V dv d q( ) Lim 0 M dm d V V: Fuerza Cortante en una sección transversal M: Momento Flector en una sección transversal : Distancia desde un etremo de la viga

Tema 4 - Estados de Esfuerzos Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal debido a momento flector: M I : Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal M: Momento flector sobre la sección transversal : Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal I: Momento de inercia de la sección transversal