E OSCIADOR AMORTIGUADO a experiencia nos dice que cualquier oscilador real pierde paulainamene y sin cesar energía y al cabo de un inervalo de iempo más o menos largo la oscilación acaba, eso se debe a que deben exisir mecanismos, no conemplados en el esudio previo, que exraigan energía del sisema. E (Disipación) a conclusión es que las oscilaciones libres no se pueden describir mediane una variación sinusoidal. Para aproximarnos al problema vamos a inroducir los agenes disipadores de energía en cada uno de los modelos esudiados. A.- Sisema elecromagnéico básico: Circuio R C. A..- Esudio general Todo conducor presena una resisencia al paso de la corriene elécrica por lo que odo circuio debe poseer ciera resisencia pasando nuesro circuio C a ser un circuio R C. Sea pues un condensador de capacidad C y cargado con carga Q y que en el insane = cerramos el inerrupor S. En esas circunsancias empieza a circular una corriene de modo que en un insane genérico la corriene será i y la carga en el condensador será q. U as leyes de Kirchoff permien escribir di q di q ε = V + V = Ri+ + Ri+ = d C d C dq + R dq + q= dq + Rdq + q= d d C d d C R C dq Rdq q dq γ dq ω q / γ R y ω + + = + + = = = []. d d C d d C En la ecuación [] ω es la frecuencia angular de oscilación libre y γ es un parámero llamado coeficiene de aenuación que iene dimensiones de frecuencia; en deerminados exos se define el coeficiene de aenuación γ = R. El polinomio caracerísico de [] así como sus raíces son λ + γλ+ ω = λ = γ± γ ω,
a solución general de [] puede presenar, en ese caso, dos alernaivas λ λ.- Si λ λ q() = Ae + Be λ λ λ.- Si λ = λ = λ q() = Ae + Be = ( A+ B) e Dependiendo de los parámeros del sisema caben varias alernaivas S) ω > γ λ = γ ± j ω γ = γ ± jω / ω = ω γ, () = ( + ) jω jω ˆ q Ae Be e Si inerpreamos la solución física como la pare real de la expresión previa, operando sobre las funciones rigonoméricas llegamos a q() =R ˆ e q() = Ae cos( ω + [S.] q = A cos ω + δ / A = A e () () ( ) () dq γ i = = A e γ cos( ω + + ω sen ( ω + d Se dice que el sisema oscila con una frecuencia (seudo-frecuencia) ω de modo que la ampliud decrece con el iempo realizando, en consecuencia, un movimieno oscilaorio amoriguado. as consanes A y δ se deerminan, como odo problema de inegración, por medio de las condiciones iniciales. Como la energía de un oscilador dependía del cuadrado de la ampliud y esa va disminuyendo con el iempo deducimos que el oscilador pierde energía de manera coninua y ya no se puede hablar de energía oal pues la energía inicial no se conserva y en cada rasvase de energía magnéica a energía elécrica y viceversa se pierde algo en forma de calor (ambién radiación aunque no la conemplemos aquí). Podemos poner E () = A () = Ae = Ee / E = A, C C C siendo E es la energía del sisema en el insane inicial. S.) Si ω < γ λ = γ ± γ ω, enonces la solución se puede escribir, () ( γ+ γ ) ( ) ω γ ω q = Ae + Be [S.] as dos exponenciales de la ecuación anerior ienen exponene real y negaivo por lo que las funciones son decrecienes y el sisema no oscila. Se dice que el sisema
esá sobreamoriguado y en general a parir de una condición fuera del equilibrio vuelve a él sobrepasando dicho equilibrio a lo sumo una vez. S.3) Si ω = γ λ, = γ (Raíz doble), la solución se escribe como ( ) = [ + ] q e A B Se dice que el circuio presena un amoriguamieno críico y el circuio alcanza el equilibrio del modo más rápido posible. a condición para el amoriguamieno críico se expresa a parir de la igualdad R ω = γ = R = C C En la siguiene figura se muesran las gráficas correspondienes a diferenes grados de amoriguamieno.
A..- Facor de calidad del sisema a ecuación diferencial que gobierna el sisema es dq dq R + γ + ω q = / γ = y ω = ; esa ecuación se caraceriza por dos d d C parámeros que nos dan la información siguiene: ω nos indica el rimo de inercambio enre las energías elécrica y magnéica en el oscilador libre. γ pone de manifieso el rimo de decaimieno de la energía inicial del oscilador con amoriguamieno. A parir de esos parámeros se define uno nuevo llamado facor de calidad Q definido como el cociene enre ambas y que dependiendo de sus valores nos muesra si un sisema es un buen oscilador o un mal oscilador. Q = ω Si Q esamos ane un buen oscilador γ A.3.- Algunas relaciones de inerés.- Relación enre el facor de calidad y las frecuencias de oscilación ω ω = ω γ = ω = ω ω ω 4Q 4Q = 4Q.- Tiempo de relajación. Se define el iempo de relajación τ como el iempo necesario para que el valor máximo de la ampliud se reduzca en un facor e [] ; así τ A () = Ae A( τ) = Ae = Ae γτ = ; τ = γ 3.- Ciclos de vibración básica. Podemos hacernos, a coninuación, la preguna Cuános ciclos de la vibración amoriguada han de ranscurrir para que la energía del oscilador disminuya en un facor e, en el supueso de un buen oscilador Q >>? () = nt γ γ nt ( ) γ / / n π / 4 4 E = E e E nt = E e = E e nt = γ nπ γ π = = n= Q = Q Q ω Q ω 4 Q Q= π n lo que nos dice que el facor de calidad es π veces el nº de ciclos necesarios para que la energía del oscilador decaiga en un facor e. B.- Sisema masa muelle amoriguado a masa que oscila esará inmersa en un fluido o en conaco con algún oro maerial que presenará ciera oposición al movimieno (rozamienos). Esas fuerzas dependen de alguna poencia de la velocidad de la masa que oscila y se opone a ella. Si las velocidades son pequeñas las fuerzas se pueden modelar a ravés del exponene unidad, pudiendo escribir FR = bv siendo b el coeficiene de rozamieno. Sea pues nuesro sisema masa muelle oscilando en un medio que presena una oposición al movimieno, esando represenada dicha oposición mediane la fuerza de rozamieno descria más arriba. /
as leyes de Newon permien escribir, eniendo en cuena la figura que se muesra a coninuación, F = ma F + F = ma k = k d x Fe + FR = k xi bv = m i d d x d x + + = m b k x d d e R d x d x d x γ d x ω / γ b y ω k m + b + k x= + + x= = = [ ] d d d d m m a ecuación [ ] es idénica a la ecuación [] por lo que odo lo que se ha dicho para el sisema elecromagnéico se puede rasladar oalmene a ese sisema. a solución para esa oscilación, así como la velocidad de vibración, son () =R e ˆ ( ) = cos( ω + () = () cos ( ω + / () = x x Ae x A A A e dx γ v= = A e γ cos( ω ωsen ( ω d + + + C.- Sisema general amoriguado Sea un sisema al que su evolución se puede describir mediane la magniud ψ y que responde a la ecuación diferencial del oscilador libre al que se le ha incorporado un érmino proporcional a la primera derivada de la magniud ψ. d ψ dψ d ψ dψ k k3 k + k + k3ψ = + γ + ω ψ = / γ = y ω = [ ] d d d d k k a ecuación [ ] es idénica a la ecuación [] por lo que odo lo que se ha dicho para el sisema elecromagnéico se puede rasladar oalmene a ese sisema genérico. a solución para esa oscilación, así como la velocidad de vibración, son ψ () =R ˆ e ψ ( ) = Ae cos( ω + ψ = A cos ω + δ / A = A e () () ( ) () dψ γ ψ = = Ae γ cos( ω + + ω sen ( ω + d En la abla que sigue se muesra una comparaiva de las condiciones de oscilación para los res sisemas descrios. Oscilador amoriguado Sobreamoriguamieno Amoriguamieno críico Sisema general ω > γ ω < γ ω = γ Sisema masa muelle b< km b> km bc = km Circuio R - C R < R > R C C C = C
E OSCIADOR FORZADO Debido a que la vibración en el iempo del oscilador amoriguado no se puede manener hemos de comunicar energía mediane una fuene exerna si queremos que el sisema oscile alrededor de su esado de equilibrio a lo largo del iempo. as formas de aporar energía exerna son variadas pero nosoros sólo veremos el caso en que la fuene exerna cambia de forma sinusoidal pues cualquier ora enrada puede descomponerse en sumas de señales sinusoidales según pone de manifieso el análisis de Fourier. Así pues los parámeros que definen el agene exerno son la ampliud, la frecuencia y la fase. Si fijamos la ampliud y la fase y variamos la frecuencia del agene exerno la respuesa presena las siguienes caracerísicas:.- El sisema esá obligado a acepar cualquier frecuencia del agene exerno y aunque al principio el sisema iende a vibrar con la frecuencia del oscilador amoriguado, la cual desaparece paulainamene, con el paso del iempo, en general muy pequeño, la vibración del sisema se hace al rimo del agene exerno (el sisema aprende).- Si la frecuencia del agene exerno esá próxima a la frecuencia de oscilación naural, la ampliud de la oscilación puede hacerse muy grande incluso para valores pequeños de ampliud del agene exerno (fenómenos de resonancia). A.- Circuio R C forzado A..- Esudio general Supongamos que a nuesro circuio R C le añadimos una fuene de ensión alerna de modo que la fase inicial sea cero, es decir ε () = ε cos ( ω ) como se muesra en la figura. En ella se muesran las diferenes magniudes para un insane como son la carga en el condensador q() y la corriene en el circuio i(). as leyes de Kirchoff permien escribir:
di q dq εk = VR + VC ε + ε = εcos ( ω) = + Ri / i= d C d k = di q d q dq ( ) = + + Ri + R + q= ( ) ε cos ω / ε cos ω d C d d C dq Rdq q ε dq dq ε + + = cos ( ω ) + γ + ω q= cos( ω) [] d d C d d a ecuación [] es una ecuación de º orden complea y no homogénea. a solución de ese ipo de ecuaciones se compone de dos pares, la ª es la solución general de la homogénea y la ª es una solución paricular de la complea, y ponemos q() = qt() + qp() donde qt () iende a cero al cabo de un ciero iempo (respuesa del oscilador amoriguado) por lo que no la esudiaremos y la segunda qp () es la respuesa paricular de la complea y es la que se manendrá en el iempo pues el sisema iende a oscilar con la frecuencia del generador exerno; por lo que pasado un iempo q q, cuáno vale? ransiorio podemos decir que () P ( ) Para responder a esa preguna consruimos la ecuación diferencial análoga en el dominio complejo con la variable ẑ( ). ˆ ˆ ε zˆ e zˆ zˆ ε zˆ e q q zˆ [3] d z dz jω jω + γ + ω = + γ + ω = / P =Re d d () () [ ] Si enemos en cuena que el sisema iene que responder a cualquier frecuencia j( ) del generador proponemos como solución zˆ = Ae ω δ donde A y δ son las consanes a deerminar (el sisema aprende). Susiuyendo en [3] enemos jω jδ jω jδ jω jδ ε jω Aω e e + j γωae e + ω Ae e = e ε jδ A( ω ω ) + γω A j = e ω Igualando las pares reales y las pares imaginarias resula el sisema de ecuaciones ε ε ( ) ( ) A ω / ω = cosδ A ω = ( ω ω ) + ( γω) ε [4] γωa= senδ γω anδ ( ω) = ω ω De lo anerior deducimos que nuesra solución física es q() qp () = A( ω) cos( ω δ ( ω) ) [S.4] dq i() = = ω A( ω) sen ( ω d
A..- Resonancia Vamos a esudiar dos ipos de resonancias, que nos mosrarán diferenes aspecos de las vibraciones. A...- Resonancia en ampliud. a preguna que debe hacerse es a qué frecuencia del agene exerno ω la ampliud de la oscilación A( ω) es máxima? Ese es un problema de exremos por lo que an solo hay que derivar e igualar a cero. da( ω) d A( ω) = ωr < (máximo) dω dω ω= ωr Si realizamos los pasos descrios más arriba llegamos a la conclusión siguiene ε R ( R) ε Q ω = ω = ω γ A ω = = [5] / / γ ω ω 4Q En la figura que sigue se muesra la ampliud de corriene en el circuio en función de ω ω Conclusiones.- Si Q ( Q ) A( ) γ γ ω ω y ω ω R R.- exise máximo de ampliud siempre y cuando la frecuencia de resonancia sea un número real. Por ano si ω < γ no exise máximo de ampliud
A.. Resonancia en energía a poencia elécrica absorbida por el circuio será el produco de la ensión de alimenación por la corriene en el circuio. dq P() = ε ()() i = ε() = ε cos( ω) ( ω A( ω) sen ( ω ) d a poencia media absorbida en un periodo será T T ω A( ω) ε ω A( ω) ε P = P() d cos( ) sen ( ) d sen T = ω ω δ δ T = Decimos que el sisema es resonane en energía cuando la poencia media absorbida por el circuio es máxima. P es máxima senδ = an δ ω = ω ωr = ω A esa frecuencia la ensión de alimenación y la corriene en el circuio esán en fase. εω A( ω) ε P = = MAX 4γ Cabe hacerse una úlima preguna a qué frecuencias la poencia media absorbida es la miad de la máxima? ω A( ω) ε γω ε P( ω) = P = ab MAX / 4γ ( ω ω ) + ( γω) Resolviendo y omando los valores posiivos de las soluciones resulan ω = γ + ω + γ ω ω = γ Q = ω = ω = ω ω γ ω = γ + ω + γ ω Δω Al valor Δ ω = ω ωse le llama ancho de banda del oscilador y por ano si Q Δω lo que es de mucha relevancia en el esudio de filros y circuios de sinonía.
B.- Sisema masa muelle forzado De igual manera que en el caso del circuio R C podemos forzar al sisema masa muelle amoriguado mediane una fuerza sinusoidal como F ( ) = F cos ( ω ) i para obener el sisema mecánico forzado más elemenal. En la figura se muesra dicho sisema que, aplicando las leyes de Newon, responde a la ecuación diferencial 3 F = ma F + F + F = ma () k e R k = dx d x cos( ω ) = F i k xi b i m i d d d x d x + + = cos ( ω ) m b k x F d d d x d x F + γ + ω x = cos( ω) [ ] d d m Esa ecuación es idénica a [] por lo que podemos hacer los mismos comenarios y exraer las mismas conclusiones, es decir habrá un ransiorio, el de la oscilación amoriguada, que una vez superado ras un breve lapso emporal y permanecerá la respuesa permanene que oscilará con la frecuencia de la fuerza exerna. a solución para nuesro sisema y su velocidad vienen dados por F F ( ) ( ) m A ω / ω = cosδ A ω = m ( ω ω ) + ( γω) F γωa= senδ γω m anδ ( ω) = ω ω dx x () xp () = A( ω) cos( ω δ ( ω) ) v() = = ω A( ω) sen ( ω d C.- Sisema general forzado Del mismo modo si al sisema general amoriguado se le aplica un agene sinusoidal, al cual es sensible nuesro sisema, de la forma p ( ) = p cos ( ω ), enonces la ecuación diferencial por la que se rige la evolución del sisema será d ψ dψ d ψ dψ p k + k + k3ψ = pcos ( ω) + γ + ω ψ = cos( ω) [ ] d d d d k a ecuación [ ] es idénica a [] y por ano iene la misma solución y podemos sacar las mismas conclusiones que en los epígrafes precedenes. a solución y su primera derivada se expresan p p k A( ω ω ) = cosδ A( ) / k ω = ( ω ω ) ( γω) p + γωa= senδ k γω anδ ( ω) = ω ω dψ ψ () ψp () = A( ω) cos( ω δ ( ω) ) ψ () = = ω A( ω) sen ( ω d
D.- Oros fenómenos de resonancias El fenómeno de resonancia es mucho más general que los casos planeados ya que la resonancia debe enenderse como el proceso por el cual la ineracción enre el sisema y el agene exerno es máxima. Algunos ejemplos son la resonancia ópica que se observa cuando una radiación elecromagnéica de amplio especro araviesa un gas a baja presión. as energías correspondienes a deerminadas frecuencias son absorbidas por el gas debido a la resonancia a dichas frecuencias que presenan cieros esados elecrónicos de los áomos o moléculas que componen el gas; la resonancia nuclear que consise en la emisión de rayos γ por núcleos aómicos cuando son bombardeados por un haz de proones lo cual sólo ocurre si las energías de los proones son unas muy concreas y por úlimo la resonancia magnéica nuclear (RMN) relacionada con la absorción por áomos de hidrógeno de cieras energías de radio frecuencia cuando esán inmersos en un deerminado campo magnéico y que es de gran aplicación para hacer diagnósicos en medicina.