ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD GUIA 2: CÁLCULO BÁSICO DE PROBABILIDADES Y REGLAS DE PROBABILIDAD DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE En la anterior sesión vimos los conceptos básicos de probabilidad y estudiamos la noción frecuentista de la probabilidad, sin embargo vimos que al ser una noción netamente experimental no es aplicable como tal; ahora exploraremos el cálculo básico de probabilidades a partir de las otras nociones probabilísticas. NOCIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD O NOCIÓN DE PROBABILIDAD DE LAPLACE Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no existe ninguna razón que privilegie unos resultados en contra de otros, se calcula la probabilidad de un suceso aleatorio A, según la regla de Laplace como el cociente entre el número de casos favorables a A, y el de todos los posibles resultados del experimento; Esto es: Donde, el número de casos favorables de ocurrencia hace referencia al número de veces que puede darse el evento al realizar una vez el experimento aleatorio en estudio y el número de casos posibles hace referencia al tamaño del conjunto que determina el espacio muestral del experimento. Por ejemplo, supongamos el evento A= obtener cara al lanzar una moneda : Debido a que el espacio muestral es el conjunto: E={cara, sello} tenemos que el número de casos posibles es 2, de los dos un solo punto muestral es un caso favorable (cara) Ejemplo 2: Supongamos el evento: obtener un número 5 al lanzar un dado de 6 caras no trucado Debido a que el espacio muestral es el conjunto: E={1,2,3,4,5,6} tenemos que el número de casos posibles es 6, de estos un solo punto muestral es un caso favorable (5); por lo tanto: Ejemplo 3: Supongamos el evento sacar una 10 de cualquier tipo en una baraja francesa: Debido a que el espacio muestral es el conjunto: E={1 de corazones,2 de corazones,,as de picas} tenemos que el número de casos posibles es 52 (hay 13 cartas de cada tipo), de estos 4 puntos muestral son casos favorables (10 de corazones, 10 de diamantes, 10 de tréboles, 10 de picas); por lo tanto:
NOCIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Con la definición axiomática de la probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas, para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas. Concepto axiomático de probabilidad: Dado un espacio muestral E, diremos que P es una probabilidad sobre A si las siguientes propiedades (axiomas) son verificadas: Ax-1. La probabilidad es una función definida sobre A y que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1, esto es: Ax-2. La probabilidad del suceso seguro es 1, esto es: P[E] = 1 Ax-3. La probabilidad de un evento imposible es 0 Ax -4. La probabilidad de la unión numerable de sucesos disjuntos (es decir excluyentes) es la suma de sus probabilidades, esto es: Ax 5- Si A y B son eventos complementarios P(A) = 1 P(B) Podemos concluir por lo tanto que: - El valor de probabilidad de un evento está comprendido entre 0 y 1 - El valor de probabilidad siempre es positivo - Al sumar todas las probabilidades de eventos en un espacio muestral el resultado es 1 REGLAS BÁSICAS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. REGLA ADITIVA: Sean A,B E no necesariamente disjuntos. Se verifica Si se da el caso de eventos mutuamente excluyentes la regla se transforma en:, debido a que Recordemos que al hablar de eventos mutuamente excluyentes tenemos eventos que no pueden suceder al mismo tiempo. Ejemplos: 1. Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones o una carta negra en una baraja francesa (picas, diamantes, tréboles y corazones) Llamamos C al evento sacar una carta de corazones y N al evento sacar una carta negra, ahora bien son eventos excluyentes debido a que las cartas de corazones son rojas es imposible que pasen los dos eventos a la vez, por lo tanto: )= P(C) +P(N) = 2. Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones o un As en una baraja francesa (picas, diamantes, tréboles y corazones) Llamamos C al evento sacar una carta de corazones y A al evento sacar un As, ahora bien son eventos NO excluyentes debido a que en las cartas de corazones hay un as, por lo cual podría darse el caso de sacar un As de corazones (y estarían ocurriendo ambos eventos simultáneamente) )= P(C) +P(A) =
3. En un grupo de clase en una Universidad en Bogotá el 40% estudiantes que hablan Inglés, el 15% que hablan francés y 5% que dominan ambos idiomas. Calcule la probabilidad de encontrar de encontrar un estudiante que hable una lengua extranjera. )= P(I) +P(F) = 0.4 + 0.15 0.05 = 0.5 NOTEMOS QUE PARA HABLAR DE UNA REGLA ADITIVA MANEJAMOS SIEMPRE UNA DISYUNCIÓN DE EVENTOS (OCURRE UNO O SE PRESENTA LA OCURRENCIA DE OTRO) REGLA MULTIPLICATIVA A continuación veremos el manejo de la regla multiplicativa para eventos independientes Sea A,B E eventos independientes. Se verifica Para eventos dependientes hay modificación de espacio muestral y posiblemente de número de casos favorables al ocurrir el primer evento (A) por lo tanto puede aplicarse en algunos casos la regla realizando esa modificación o aplicar el criterio de probabilidad condicional (que veremos más adelante) propio de la noción Bayesiana de probabilidad. Por ejemplo: 1. Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones y una carta negra en una baraja francesa (picas, diamantes, tréboles y corazones), en dos pasos con reposición es decir, tomando una carta, guardándola de nuevo en la baraja y tomando una nueva. Como se extraen dos cartas de una misma baraja son eventos dependientes debido a que al extraer una se modifica el espacio muestral y el número de casos favorables; sin embargo al existir reposición los eventos dejan de ser dependientes puesto que el experimento se repite en las mismas condiciones iniciales. Llamamos C al evento sacar una carta de corazones y N al evento sacar una carta negra, por lo tanto: 2. Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones y una carta negra en una baraja francesa (picas, diamantes, tréboles y corazones), en dos pasos SIN reposición es decir, tomando una carta y tomando una nueva sin guardar la anterior con las demás. Como se extraen dos cartas de una misma baraja son eventos dependientes debido a que al extraer una se modifica el espacio muestral y el número de casos favorables. Llamamos C al evento sacar una carta de corazones y N al evento sacar una carta negra, por lo tanto: Para este caso tenemos lo siguiente: La probabilidad de sacar una carta de corazones como primera carta es 13/52, al sacar una nueva se modifica el espacio muestral debido a que no hay 52 cartas sino 51, ahora bien para calcular el número de casos favorables de obtener carta negra tenemos las mismas 26 cartas (debido a que la primera probabilidad era la de obtener una carta de corazones (roja)) 3. Calcular la probabilidad de sacar una carta de corazones y luego un As en una baraja francesa (picas, diamantes, tréboles y corazones)
Como se extraen dos cartas de una misma baraja son eventos dependientes debido a que al extraer una se modifica el espacio muestral y el número de casos favorables. Llamamos C al evento sacar una carta de corazones y A al evento sacar una carta negra, por lo tanto: Para este caso tenemos lo siguiente: La probabilidad de sacar una carta de corazones como primera carta es 13/52, al sacar una nueva se modifica el espacio muestral debido a que no hay 52 cartas sino 51, ahora bien para calcular el número de casos favorables de obtener un As tenemos 25 cartas (debido a que la primera probabilidad era la de obtener una carta de corazones (roja) y existe la posibilidad de que la carta extraída fuera un As de corazones) NOTEMOS QUE PARA HABLAR DE UNA REGLA MULTIPLICATIVA MANEJAMOS SIEMPRE UNA CONJUNCIÓN DE EVENTOS (OCURRE UNO Y SE PRESENTA TAMBIÉN LA OCURRENCIA DE OTRO) TALLER 2. Calcule la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos: 1) Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener: a) Un total de 8 b) A lo sumo un total de 5 2) En una generación de 100 estudiantes de nivel medio superior, 54 estudian matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se elige al azar uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) Estudie matemáticas o historia. b) Estudie historia pero no matemáticas. 3) Las probabilidades de que en una estación de servicios sirvan gasolina a 0, 1, 2, 3, 4, 5 ó más automóviles durante un periodo de 30 minutos, son de 0.03, 0.18, 0.24, 0.28, 0.10 y 0.17 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en un periodo de 30 minutos a) más de 2 automóviles reciban gasolina. b) a lo sumo 4 automóviles reciban gasolina. c) 4 ó más automóviles reciban gasolina. d) en dos periodos diferentes de 30 min ocurra que: en el primero 3 automóviles reciban gasolina y en el segundo más de 2 reciban gasolina 4) Una moneda está cargada de modo que la posibilidad de salir cara (H) sea el doble que la de sello (T). a) Hallar P(H) y P(T) b) Al lanzar la moneda dos veces seguidas en ambos lanzamientos se obtenga cara c) Al lanzar la moneda dos veces seguidas en un lanzamiento se obtenga cara y en el otro sello d) al lanzar la moneda 3 veces seguidas se obtengan por lo menos 2 caras e) al lanzar la moneda 3 veces seguidas caiga siempre sello 5) Dos hombres y tres mujeres intervienen en un torneo de ajedrez. Los del mismo sexo tienen iguales probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de posibilidades de ganar que una mujer.
a) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. b) Hallar la probabilidad de que un hombre gane el torneo. c) Si uno de los hombres es casado con una de las mujeres, hallar la probabilidad que uno de ellos gane el torneo. 6) Una clase está formada por 5 estudiantes de primer grado, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de último año. Se escoge un estudiante al azar para representar la clase. Hallar la probabilidad de que el estudiante sea: a) De segundo. b) de último año. c) de penúltimo ó de ultimo año. d) de segundo y último grado 7) Hallar la probabilidad de obtener las siguientes manos del póker suponiendo que se sacan las cartas una tras otra con reposición a) par de ases sacando solo dos cartas b) trío de K sacando solo 3 cartas c) Escalera de 3 a 7 sacando solo 5 cartas d) Color sacando solo 5 cartas e) flor imperial sacando solo 5 cartas 8) Calcule las probabilidades de ocurrencia de los eventos del punto 7 si al efectuar cada experimento no se realiza reposición