TRAZADOS BÁSICOS EN EL PLANO OBJETIVOS Recordar conceptos y construcciones elementales sobre Disponer de un medio de investigación inductiva en la ela - Familiarizarse con las herramientas tradicionales (escuadra, 1 2 3 lugares geométricos, ángulos, etc. y hallar aplicaciones. boración de esquemas geométricos. cartabón y compás), ma ne jándolas con precisión y soltura. 1 LUGARES GEOMÉTRICOS Un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica reciben el nombre de lugar geométrico (l.g.). 1.1 La circunferencia. El ejemplo más sencillo de definición de una figura como lugar geométrico es la circunferencia (fig.1.1a): lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan una distancia, llamada radio ( r ), de un punto fijo, llamado centro (O). Así, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un punto P, es una circunferencia de centro dicho punto y radio PO i = r (fig.1.1b). Aunque no se puede hablar en sentido estricto de los lugares geométricos como un método, es un recurso conceptual muy intuitivo y habitual en la práctica del dibujo. 1.2 Mediatriz de un segmento. Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes de los extremos del segmento AB dado. Dicha mediatriz es la recta m perpendicular al segmento AB por su punto medio M. Para construirla se hace centro en los extremos A y B del segmento considerado y se trazan arcos de igual radio que se cortan en los puntos P y Q. Su unión determina la recta mediatriz del segmento AB considerado. 1.3 La mediana, como paralela media. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas paralelas (r y s) es la mediatriz n del segmento que tiene por extremos los puntos A y B ; es, en definitiva, la paralela media o mediana de las rectas consideradas. Así, en una autovía, la mediana es la línea que separa los dos sentidos de circulación. 1.4 Bisectriz de un ángulo. Es el l.g. de los puntos del plano equidistantes de los lados del ángulo. Es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales. 1.4.1 Trazado si el vértice está localizado. Con centro en el vértice V se dibuja un arco cualquiera que corta a los lados en A y B. Con centro en ellos, se trazan dos nuevos arcos, de igual radio, consiguiendo el punto P. La unión de P con V determina la recta bisectriz. 1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado. Sea el ángulo formado por las rectas r y s, cuyo vértice es inaccesible. Se traza una secante t cualquiera y se dibujan las bisectrices a, b, c y d de los ángulos que forman la secante con los lados del ángulo. Dichas rectas se cortan en P y Q, definiendo la bisectriz buscada. 2 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 2.1 Ángulo central. Su vértice está situado en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. La medida del ángulo central es la misma que la del ángulo que abarca. Esto es: α = AB 2.2 Ángulo inscrito. Su vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El valor del ángulo es la mitad del central cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda. Para demostrarlo consideremos un ángulo inscrito con un lado como diámetro. En el triángulo isósceles AOV, se tiene: α = γ ; y el ángulo exterior β = α + γ = 2α ; luego: α = β / 2 Por tanto, en general, para un ángulo inscrito con sus lados cuerdas cualesquiera, como el a MVN de la figura adjunta, se verificará que: α = β / 2 2.3 Ángulo semiinscrito. Su vértice está en la circunferencia y sus lados lo forman una cuerda y una tangente. El valor de un ángulo semiinscrito, como en un inscrito, es la mitad del ángulo central, cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda. Como OVB es recto y el triángulo AOV es isósceles: α = 90 - γ = 90 - (180 - β )/2 esto es: α = β / 2 2.4 Ángulo exterior. Su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella. Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados. En el triángulo ACV que se forma, se cumple: α = 180 - VAC - (180 - ACB) α = 180 - γ / 2 - (180 - β / 2) ; luego: α = ( β - γ )/2 2.5 Ángulo interior. Su vértice es interior a la circunferencia. Su valor es igual a la semisuma de los ángulos centrales que abarcan sus extremos y el ángulo opuesto por el vértice. Considerando el triángulo BCV, se cumple: α = 180 - BVC = 180 - (180 - VBC- VCB) α = 180 - (180 - γ / 2 - β / 2) ; luego: α = ( β + γ )/2 15
3 ARCO CAPAZ 5 CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS «Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se observa un segmento, de dicho plano, bajo un mismo ángulo». La construcción del arco capaz de un ángulo α (cualquiera) de un segmento AB, consiste en dibujar un arco de circunferencia tal que los ángulos inscritos en ella, que determinan una cuerda AB, tengan el valor α. Si el ángulo inscrito mide α, el central valdrá 2α y, en consecuencia, en el triángulo OAB su ángulo γ será el complementario de α : γ = (180-2α )/2 = 90 - α Por tanto, para construir un arco capaz de un ángulo α dado, cuyos lados pasen por dos puntos A y B, se procede como sigue: - Por A se traza el ángulo α dado y la recta s perpendicular a r, que corta a la mediatriz m en el punto O, centro del arco capaz. - Con centro O y radio OA = OB se dibuja el arco capaz, lugar geométrico de todos los puntos que miran con el mismo ángulo los extremos del segmento AB. El arco capaz simétrico respecto del segmento AB considerado, también es solución. 4 RECTIFICACIÓN APROXIMADA DE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA En Geometría, se entiende por rectificación el determinar, sobre una línea recta, la longitud de una curva, de un arco o de una circunferencia. 4.1 Rectificación de una semicircunferencia. La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma de los lados del triángulo equilátero ( l 3 ) y el cuadrado ( l 4 ) inscritos en ella. En la figura, el punto 3 (obtenido al llevar desde el punto 1 dos veces el radio), determina l 3 =1-3. La distancia l 4 =1-4 (lado del cuadrado inscrito) se consigue trazando dos diámetros perpendiculares. La suma de ambos segmentos es aproximadamente igual a π r (longitud de la circunferencia), como se demuestra, analíticamente, en la parte inferior de la figura. 4.2 Rectificación de una circunferencia. Siguiendo la construcción anterior, la rectificación será igual a la de un segmento suma de dos semicircunferencias. Esto es: AB + AB = 2 π r. 4.3 Rectificación de un cuadrante. La determinación del punto medio del segmento AB, mediante el trazado de su mediatriz, define el segmento AB / 2, cuya longitud es la rectificación de un cuadrante de circunferencia. 4.4 Rectificación de un arco menor de 90. Dado AR < 90, se procede como sigue: Se une el centro O con el extremo A del arco, se divide el radio OM en cuatro partes iguales y se toma MN igual a tres de dichas partes. La recta NR corta a la recta perpendicular al diámetro por A en el punto B. El segmento AB es la rectificación del arco de circunferencia AR. 16
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