Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Carrera: Ingeniería Civil Prier seestre de 013. Solene 1 - Ecuaciones Diferenciales Para cada uno de los siguientes probleas, resuelva ordenadaente y justifique sus respuestas. 1. Resuelva para x > 0, el problea de valor inicial sabiendo que una solución para este problea es y 1 (x) = x 4. d y dx 7 dy + 16 x y = 0 (1) y(1) =, y (1) = 4, () Solución: Buscaos una segunda solución linealente independiente con y 1 de la ecuación (1) ediante la fórula de Abel, 7 e ( y (x) = x 4 x 8 x)dx e = x 4 7ln(x) dx x 8 = x 4 1 dx = x 4 ln(x), [0.5 puntos] Por tanto, la solución general de la ecuación (1) es Derivando la expresión anterior, obteneos y(x) = c 1 x 4 + c x 4 ln(x). y (x) = 4c 1 x 3 + c (4x 3 ln(x) + x 3 ). Así, iponiendo las condiciones iniciales, obteneos que c 1 = y c = 4 [0.5 puntos]. Luego, la solución particular del problea de valor inicial está dada por y(x) = x 4 4x 4 ln(x) = x 4 (1 ln(x)) [0.5 puntos].. Un teróetro se lleva al exterior de una casa, cuya teperatura abiente era de 70 F. Al cabo de 5 inutos, el teróetro registra 60 F, y 5 inutos después registra 54 F. Cuál es la teperatura del exterior?. 1
Solución: Sea T (t) la teperatura que arca el teróetro en el instante t y T la teperatura del exterior. Por ley de Enfriaiento de Newton, dt (t) dt = (T (t) T ), con constante de proporción. Resolviendo esta ecuación conociendo la teperatura en el instante inicial T (0), teneos T (t) = T + (T (0) T )e t. Según el enunciado, sabeos que T (0) = 70 F, T (5) = 60 F y T (10) = 54 F. [0.5 puntos]. Iponiendo las últias dos condiciones, teneos Cobinando las ecuaciones (3) y (4), obteneos 60 T = (70 T )e 5 (3) 54 T = (70 T )e 10. (4) e 5 = 54 T 60 T [0.5 puntos]. Reeplazando esta expresión en la ecuación (3),teneos 60 = T + (70 T ) 54 T 60 T 3600 60T = 60T T + T 14T + 3780 4T = 180 T = 45. Luego, la teperatura del exterior es de 45 F [0.5 puntos]. 3. Para 0 < x < 1, considere la ecuación diferencial x(1 x ) y (1 x ) y + 5x 3 y = 0. (5) a) Pruebe que el cabio t = 1 ln(1 x ) transfora la ecuación (5) en una ecuación de coeficientes constantes. b) Usando lo anterior, encuentre la solución general de la ecuación diferencial. Solución: a) Si t = 1 ln(1 x ), entonces dt dx = = 1 x dt = 1 x. x
Al derivar y con respecto a t, teneos dy dt = dy dx dx dt = 1 x dy d y dt = d ( ) dy dx dx dt dt ( 1 + x = x ) dy dx + (1 x ) x d y [0.4 puntos] dx Multiplicando la últia expresión por x 3 y reeplazando en la ecuación (5), teneos x 3 d y xt + x(1 + x ) dy ( ) x dy dx (1 x ) 1 x dt + 5x3 y = 0 x 3 d y dy + x3 dt dt + 5x3 y = 0 d y dt + dy dt + 5y = 0, que es una ecuación de coeficientes constantes [0.4 puntos]. b) La ecuación característica asociada al problea es λ + λ + 5 = 0, cuyas soluciones son λ = 1 ± i. Por tanto, la solución está dada por y(t) = e t (c 1 cos(t) + c sin(t)) [0.4 puntos]. Finalente, volviendo a la variable original, la solución general de la ecuación (5) es: y(x) = (1 x ) 1/ ( c 1 cos ln(1 x ) + c sin ln(1 x ) ) [0.3 puntos]. 4. Un grupo de ingenieros estia que el oviiento vertical de las alas de un avión x(t) se coporta según la ecuación diferencial d x dt + cdx dt + x = F 0 cos(ωt), (6) donde es la asa del avión, c es una constante de resistencia del aire y es una constante de rigidez de la fuerza restauradora que ejerce el avión en dirección opuesta al oviiento de las alas y F 0 cos(ωt) es una fuerza periodica que se puede producir por diversas vibraciones. Suponga que la resistencia del aire es despreciable y que la frecuencia ω de la fuerza externa es. a) Utilizando el étodo de coeficientes indeterinados o variación de paráetros, resuelva la ecuación diferencial (6). b) Calcule lí t x(t) e interprete lo que ocurriría con las alas del avión. Solución: 3
a) Siendo c = 0 y ω =, dividios por la ecuación (6), ( ) d x dt + x = F 0 cos t. (7) La ecuación característica asociada al problea hoogeneo es λ + = 0, en donde λ = ±. Por tanto, la solución de la ecuación hoogenea es ( ) ( ) x h (t) = c 1 cos t + c sin t [0. puntos]. Buscaos la solución particular de la ecuación (7) por el étodo de coeficientes indeterinados. Tal solución debe ser de la fora ( ) ( ) x p (t) = ta cos t + tb sin t. (8) Derivando dos veces la expresión (8), teneos [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] x p(t) = B cos t A sin t t A cos t + B sin t. Al reeplazar en la ecuación (7), obteneos en donde obteneos ( ) ( ) ( ) B cos t A sin t = F 0 cos t. Por tanto, la solución particular es A = 0 A = 0 ( ) B = F 0 B = F 1 0. x p (t) = F 0 ( ) 1 ( ) t sin t [0.4 puntos] 4
Luego, la solución general para la ecuación (6) es x(t) = c 1 cos ( ) ( ) ( ) t + c sin t + F 1 ( ) 0 t sin t [0. puntos]. Observación: Si se resolvía por étodo de variación de paráetros, la expresión para la solución particular que se obtiene es: ( ) ( ) x p (t) = F 1 ( ) 0 cos t F0 + t sin t. b) Los prieros dos térinos son funciones periódicas que oscilan con aplitud acotada. Sin ebargo, el térino de la solución particular de la ecuación oscila tabién, pero auentando cada vez ás su aplitud, coo uestra la siguiente figura: Figura 1: Gráfica del oviiento vertical de las alas del avión Por tanto, para un tiepo suficienteente grande el oviiento de las alas del avión serán tan grandes que se roperán. [0.7 puntos]. 5